Representación de números complejos en el plano complejo

 

1 Representa los siguientes números en el plano complejo

 

A -3

B 3i

C -3+i

D 2-3i

E -1-4i

 

1 Representa los siguientes números en el plano complejo

 

A -3

 

La parte real del número es -3 y la parte imaginaria es 0i

 

Representación gráfica de un número real en el plano complejo

 

B 3i

 

La parte real del número es 0 y la parte imaginaria es 3i

 

Representación gráfica de un número imaginario en el plano complejo 2

 

C -3+i

 

La parte real del número es -3 y la parte imaginaria es i

 

Representación gráfica de un número complejo 3

 

D 2-3i

 

La parte real del número es 2 y la parte imaginaria es 3i

 

Número complejo en el plano complejo 4

 

E -1-4i

 

La parte real del número es -1 y la parte imaginaria es 4i

 

Representación de un número complejo en el plano complejo 5

 

2 Representa los siguientes números en el plano complejo

 

A e^{\frac{\pi }{2}i}

B e^{-\frac{\pi }{2}i}

C e^{-\frac{3\pi }{2}i}

D 2e^{\frac{3\pi }{4}i}

E 3e^{-\frac{5\pi }{3}i}

 

2 Representa los siguientes números en el plano complejo

 

A e^{\frac{\pi }{2}i}

 

El módulo del número complejo es 1 y forma un ángulo de \cfrac{\pi }{2} con el eje real.

 

Número imaginario en el plano complejo 6

 

B e^{-\frac{\pi }{2}i}

 

El módulo del número complejo es 1 y forma un ángulo de -\cfrac{\pi }{2} con el eje real.

 

Número imaginario negativo en el plano complejo

 

C e^{-\frac{3\pi }{2}i}

 

El módulo del número complejo es 1 y forma un ángulo de -\cfrac{3\pi }{2}con el eje real.

 

Número imaginario positivo en el plano complejo

 

D 2e^{\frac{3\pi }{4}i}

 

El módulo del número complejo es 2 y forma un ángulo de \cfrac{3\pi }{4} con el eje real.

 

Número complejo en el plano complejo

 

E 3e^{-\frac{5\pi }{3}i}

 

El módulo del número complejo es 3 y forma un ángulo de -\cfrac{5\pi }{3} con el eje real.

 

Representación gráfica de un número complejo en el plano complejo

Conversión de números complejos de forma cartesiana a polar

 

3 Convierte los siguientes números complejos a forma polar

 

A -4

B 3+2i

C -2i

D -2+i

E 5-3i

F -4-2i

 

3 Convierte los siguientes números complejos a forma polarA -4 

1 Como el número -4 solo tiene parte real, podemos deducir que su módulo es r=\left | z \right |=4.

 

2 El ángulo, \theta, que forma con el eje real se calcula con \theta =\arctan \left ( \cfrac{b}{a} \right )

donde:

 

b\rightarrow coeficiente de i

a\rightarrow parte real del número complejo

 

3 Así:

 

\theta =\arctan\left ( \cfrac{0}{-4} \right )=\pi

 

4 Sustituimos en a+bi=re^{\theta i}

 

Por lo que: -4=4e^{\pi i}

 

B 3+2i

 

1 Calculamos el módulo del número complejo

 

r=\left | z \right |=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}

 

2 Calculamos \theta

 

\theta =\arctan \left ( \cfrac{b}{a} \right )=\arctan \left ( \cfrac{2}{3} \right )=0.588

 

3 Sustituimos en a+bi=re^{\theta i}

 

3+2i=\sqrt{13}e^{0.588i}

 

C -2i

 

1 Calculamos el módulo del número complejo

 

r=\left | z \right |=\sqrt{(-2)^{2}+0^{2}}=2

 

2 Calculamos \theta

 

\theta =\arctan \left ( \cfrac{b}{a} \right )=\arctan \left ( \cfrac{-2}{0} \right )=\cfrac{3\pi }{2}

 

3 Sustituimos en a+bi=re^{\theta i}

 

-2i=2e^{\frac{3\pi }{2}i}

 

D -2+i

 

1 Calculamos el módulo del número complejo

 

r=\left | z \right |=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}

 

2 Calculamos \theta

 

\theta =\arctan \left ( \cfrac{b}{a} \right )=\arctan \left ( \cfrac{1}{-2} \right )=-0.4636

 

3 Sustituimos en a+bi=re^{\theta i}

 

-2+i=\sqrt{5}e^{-0.4636i}

 

E 5-3i

 

1 Calculamos el módulo del número complejo

 

r=\left | z \right |=\sqrt{5^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{34}

 

2 Calculamos \theta

 

\theta =\arctan \left ( \cfrac{b}{a} \right )=\arctan \left ( \cfrac{-3}{5} \right )=-0.5405

 

3 Sustituimos en a+bi=re^{\theta i}

 

5-3i=\sqrt{34}e^{-0.5405i}

 

F -4-2i

 

1 Calculamos el módulo del número complejo

 

r=\left | z \right |=\sqrt{(-4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{20}

 

2 Calculamos \theta

 

\theta =\arctan \left ( \cfrac{b}{a} \right )=\arctan \left ( \cfrac{-2}{-4} \right )=3.6052

 

3 Sustituimos en a+bi=re^{\theta i}

 

-4-2i=\sqrt{20}e^{3.6052i}

 

Conversión de números complejos de forma polar a cartesiana

 

4 Convierte los siguientes números complejos de forma polar a forma cartesiana

 

A e^{\frac{\pi }{2}i}

B e^{\frac{3\pi }{4}i}

C 2e^{-\frac{\pi }{4}i}

D 3e^{-\frac{5\pi }{3}i}

E e^{\pi i}

 

4 Convierte los siguientes números complejos de forma polar a forma cartesianaA e^{\frac{\pi }{2}i} 

Calculamos a y b usando: a=r\cos \theta y b=r\sin \theta

 

a=1\cdot \cos \cfrac{\pi }{2}= 0          b=1\cdot \sin \cfrac{\pi }{2}= 1

 

e^{\frac{\pi }{2}i}=0+i=i

 

B e^{\frac{3\pi }{4}i}

 

Calculamos a y b usando: a=r\cos \theta y b=r\sin \theta

 

a=1\cdot \cos \cfrac{3\pi }{4}= -\cfrac{\sqrt{2}}{2}          b=1\cdot \sin \cfrac{3\pi }{4}= \cfrac{\sqrt{2}}{2}

 

e^{\frac{3\pi }{4}i}=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}\, i

 

C 2e^{-\frac{\pi }{4}i}

 

Calculamos a y b usando: a=r\cos \theta y b=r\sin \theta

 

a=2\cdot \cos \left (-\cfrac{\pi }{4} \right )= \sqrt{2}          b=2\cdot \sin \left (-\cfrac{\pi }{4} \right )= -\sqrt{2}

 

2e^{-\frac{\pi }{4}i}=\sqrt{2}-\sqrt{2}\, i

 

D 3e^{-\frac{5\pi }{3}i}

 

Calculamos a y b usando: a=r\cos \theta y b=r\sin \theta

 

a=3\cdot \cos \left (-\cfrac{5\pi }{3} \right )= \cfrac{3}{2}          a=3\cdot \sin \left (-\cfrac{5\pi }{3} \right )= \cfrac{3\sqrt{3}}{2}

 

3e^{-\frac{5\pi }{3}i}=\cfrac{3}{2}+\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\, i

 

E e^{\pi i}

 

Calculamos a y b usando: a=r\cos \theta y b=r\sin \theta

 

a=1\cdot \cos \pi =1          b=1\cdot \sin \pi =0

 

e^{\pi i}=-1

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Luis

Doctor en Biología Experimental 14 años de experiencia como profesor particular de Matemáticas, Física, Química y Biología.