1 Resuelve la inecuación: \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right]+1 \leq x

Para resolver la inecuación, primero es necesario desarrollar las operaciones indicadas por los paréntesis, por lo cual primero multiplicamos por -1:

    \begin{equation*} \frac{2}{3}\left(x-1+\frac{x-2}{3}\right)+1 \leq x \end{equation*}

Después, multiplicamos \frac{2}{3} por lo que se encuentra entre paréntesis:

    \begin{equation*} \frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1 \leq x \end{equation*}

Para simplificar la expresión, multiplicamos ambos lados de la inecuación por 9:

    \begin{equation*} 9\left(\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1 \right)\leq 9\left(x \right) \end{equation*}

    \begin{equation*} 6x-6+2x-4+9 \leq 9x \end{equation*}

Agrupamos los términos semejantes:

    \begin{equation*} -6-4+9 \leq 9x-6x-2x \end{equation*}

    \begin{equation*} -1 \leq x \end{equation*}

De esta forma, podemos concluir que para que la inecuación se satisfaga x será mayor o igual que -1
Gráficamente, se puede representar de la siguiente manera:

Conjunto solución de una inecuación

Mientras que algebraicamente, de la siguiente forma:

    \begin{equation*} x \in[-1, \infty) \end{equation*}

2 Resuelve la inecuación: 4x^2-4x+1\leq 0

Primero, calculemos las raíces de la ecuación. Para esto, igualamos la expresión 4x^2-4x+1 a cero y utilizamos la formula general:

    \begin{equation*}4x^2-4x+1=0\end{equation*}

    \begin{equation*}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{16-16}}{8}\end{equation*}

    \begin{equation*}x=\frac{1}{2}\end{equation*}

Una vez calculadas las raíces, podemos reescribir la inecuación:

    \begin{equation*}\left ( x-\frac{1}{2}\right)^2\leq 0\end{equation*}

Calculamos la raíz cuadrada de ambos lados de la inecuación:

    \begin{equation*}\sqrt{\left ( x-\frac{1}{2}\right)^2}\leq \sqrt{0}\end{equation*}

    \begin{equation*}\left | x-\frac{1}{2}\right| \leq 0\end{equation*}

Notemos que el valor absoluto siempre será un número positivo, entonces la inecuación únicamente se satisface cuando es igual a cero, de la siguiente forma:

    \begin{equation*}\left | x-\frac{1}{2}\right| = 0\end{equation*}

Simplificamos y resolvemos:

    \begin{equation*} x-\frac{1}{2} = 0\end{equation*}

    \begin{equation*} x=\frac{1}{2}\end{equation*}

3 Resuelve: \frac{x^2+4}{x^2-4}\geq 0

Calculemos las raíces del numerador y del denominador para analizar el comportamiento de la inecuación por intervalos.

Primero, calculamos las raíces del numerador:

    \begin{equation*}x^2+4=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{-4}\notin \mathbb{R}\end{equation*}

El numerador siempre es positivo, por tanto solo estudiaremos el signo del denominador:

    \begin{equation*}x^2-4=0 \Rightarrow x=2\;\textup{o}\;x=-2\end{equation*}

Después consideremos tres intervalos: \left (-\infty,-2 \right ), \left (-2,2 \right ) y \left (2,\infty \right )
Consideramos tres valores para  x, cada uno perteneciente a un intervalo distinto:

Caso 1: x=0

    \begin{equation*}\frac{0^2+4}{0^2-4}=-1<0\end{equation*}

Por tanto los valores de x en intervalo \left (-2,2 \right ) no satisfacen la inecuación.

Caso 2: x=3

    \begin{equation*}\frac{3^2+4}{3^2-4}=\frac{13}{5}>0\end{equation*}

Por tanto los valores de x en el intervalo \left (2,\infty \right ) satisfacen la inecuación.

Caso 3: x=-3

    \begin{equation*}\frac{(-3)^2+4}{(-3)^2-4}=\frac{13}{5}>0\end{equation*}

Por tanto los valores de x en el intervalo \left (-\infty, -2 \right ) satisfacen la inecuación.
La representación gráfica de la solución es:

Conjunto solución de una inecuación del cociente de dos expresiones cuadráticas

La representación algebraica de la solución es:

    \begin{equation*}x\in \left (-\infty, -2 \right )\cup\left (2,\infty \right ) \end{equation*}

4 Calcula los valores de k para los que las raíces de la ecuación x^2-6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.

Para que la ecuación tenga dos raíces reales y distintas el discriminate b^2-4ac tiene que ser mayor que cero es decir:

    \begin{equation*}(-6)^2-4(1)(k)>0\end{equation*}

Resolvemos la inecuación:

    \begin{equation*}36-4k>0\end{equation*}

    \begin{equation*}36>4k\end{equation*}

Para despejar k, dividimos todo entre 4:

    \begin{equation*}\frac{36}{4}>\frac{4k}{4}\end{equation*}

    \begin{equation*}9>k\end{equation*}

Por lo anterior, podemos concluir que k es menor que 9.

La representación gráfica del conjunto solución es:

Conjunto solución de una inecuación lineal

La representación algebraica del conjunto solución es:

    \begin{equation*}x\in (-\infty,9)\end{equation*}

5 Resuelve, graficamente, los siguientes sistemas de inecuaciones:

    \begin{equation*} \textup{sistema}\;1\left\{\begin{array} { l } { x \geq 4 } \\ { y \geq 2 } \end{array} \quad \textup{sistema}\;2 \left\{\begin{array} { l } { x + y \geq 0 } \\ { 2 x - y \geq 0 } \end{array} \quad \textup{sistema}\;3 \left\{\begin{array}{l} x+y \geq 0 \\ 2 x-y \geq 0 \\ x \leq 6 \end{array}\right.\right.\right. \end{equation*}

Sistema 1

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x \geq 4 \\ y \geq 2 \end{array}\right. \end{equation*}

Transformamos las dos inecuaciones en igualdades:

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x= 4 \\ y =2 \end{array}\right. \end{equation*}

Como x\geq 4 el conjunto solución estará a la derecha de x=4 incluyendo la recta.

Como y\geq 2 el conjunto solución estará encima de la recta y=2 incluyendo la recta.

Finalmente, representamos el conjunto solución de ambas inecuaciones. La solución al sistema es la intersección de las regiones soluciones

Representación gráfica de la solución de un sistema lineal de inecuaciones

Sistema 2

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x +y\geq 0\\ 2x-y \geq 0 \end{array}\right. \end{equation*}

Primero,  representamos la región solución de la primera inecuación.

Para graficar la primera inecuación, podemos, por ejemplo, transformar la inecuación en una igualdad y calcular dos puntos que pasen por la recta, de la siguiente manera:

    \begin{equation*}x+y=0\end{equation*}

    \begin{equation*}x=0\Rightarrow y=0\end{equation*}

    \begin{equation*}x=1\Rightarrow y=-1\end{equation*}

Con las coordenadas (0,0) y (1,-1) podemos trazar la gráfica.

Como x+y\geq 0 el conjunto solución estará arriba de la recta x+y\geq 0 incluyendo la recta. Podemos verificar lo anterior considerando alguna coordenada arriba de la recta, por ejemplo (2,2):\; 2+2\geq 0.

Grafica de la inecuación x+y>0

Para graficar la segunda inecuación, realizamos un procedimiento similar.

Transformamos la desigualdad en igualdad:

    \begin{equation*}2x-y=0\end{equation*}

    \begin{equation*}x=0\Rightarrow y=0\end{equation*}

    \begin{equation*}x=1\Rightarrow y=2\end{equation*}

Con las coordenadas (0,0) y (1,2) podemos trazar la gráfica.

Como 2x-y\geq 0 el conjunto solución estará debajo de la recta 2x-y\geq 0 incluyendo la recta. Podemos verificar lo anterior considerando alguna coordenada, por ejemplo (2,2):\; 2(2)-2\geq 0.

Grafica de la inecuación 2x-y>0

La solución es la intersección de las regiones soluciones.

Conjunto solución del sistema de inecuaciones x+y>0 y 2x-y>0

Sistema 3

    \begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} x+y \geq 0 \\ 2 x-y \geq 0 \\ x \leq 6 \end{array}\right. \end{equation*}

Por el sistema anteriormente resuelto sabemos que el conjunto solución de la primera y segunda inecuación se representa gráficamente de la siguiente manera:

Conjunto solución del sistema de inecuaciones x+y>0 y 2x-y>0

Después, representamos la región solución de la tercera inecuación. Graficamos, la recta x = 6 incluyendo la recta. Por lo cual los valores a la izquierda de la recta satisfacen la inecuación (si no estamos seguros podemos considerar x= 2, notemos que 2<6.

     Solución de la inecuación x<6

Finalmente, la solución del sistema de inecuaciones es la intersección de las regiones soluciones.

Representación gráfica de la solución del sistema de inecuaciones.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗