Para poder resolver estos ejercicio recordemos la definición de logaritmo la cual nos dice que si y es igual al logaritmo, base a, de b

 

\displaystyle \log_{a}{b} = y

 

implica que a^y = b, dicho esto, procedamos a resolver los ejercicios.

Aplicando la definición de logaritmo, calcula el valor de y

1 \displaystyle \log_{\frac{1}{2}}0.25=y

Nuestra expresión es

 

\displaystyle\log_{\frac{1}{2}}0.25=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y pasamos 0.25 a fracción, esto es \displaystyle 0.25 = \frac{1}{4}, posteriormente simplificamos

 

    \begin{align*} \log_{\frac{1}{2}}0.25 &= y\\\left( \frac{1}{2}\right)^y &= 0.25\\\left( \frac{1}{2}\right)^y &= \frac{1}{4}\\\frac{1^y}{2^y} &= \frac{1}{4}\\\frac{1}{2^y} &= \frac{1}{4}\\2^y &= 4\\y &= 2\end{align*}

2 \log_{\sqrt{5}}125=y

Nuestra expresión es

 

\log_{\sqrt{5}}125=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo

 

     \begin{align*} \log_{\sqrt{5}}{125} &= y\\\left( \sqrt{5}\right)^y &= 125\\5^{\left( \frac{1}{2}y\right)} &= 5^3\\5^{\frac{y}{2}} &= 5^3\\\frac{y}{2} &= 3\\y &= 6\end{align*}

 

3 \log0.001=y

Nuestra expresión es

 

\log0.001=y

 

Notemos que al escribir \log{x} nos referimos a base 10, esto es \log_{10}{x}. Aplicamos la definición de logaritmo

 

     \begin{align*} \log{0.001}&= y\\10^y &= 0.001\\10^y &= \frac{1}{1000}\\10^y &= 10^{-3}\\y &= -3\end{align*}

 

4 \displaystyle  \ln \frac{1}{e^5}=y

Nuestra expresión es

\displaystyle  \ln \frac{1}{e^5}=y

 

Recordemos que el logaritmo natural es simplemente el logaritmo base e, esto es, \ln{x} = \log_{e}{x}. Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

 

     \begin{align*} \ln \frac{1}{e^5} &= y\\e^{y} &= \frac{1}{e^5}\\e^{y} &= e^{-5}\\y &= -5\end{align*}

 

5  \displaystyle \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y

Nuestra expresión es

 

\displaystyle \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}}=y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

 

    \begin{align*} \log_{\sqrt{3}}\sqrt[5]{\frac{1}{81}} &= y\\\sqrt{3}^y &= \sqrt[5]{\frac{1}{81}}\\3^{\frac{y}{2}} &= \sqrt[5]{\frac{1}{3^4}}\\3^{\frac{y}{2}} &= \sqrt[5]{3^{-4}}\\3^{\frac{y}{2}} &= 3^{-\frac{4}{5}}\\\frac{y}{2} &= -\frac{4}{5}\\y &= -\frac{8}{5}\end{align*}

 

6  \log_{2}{32} = y

Nuestra expresión es

 

3  \log_{2}{32} = y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

 

    \begin{align*} \log_{2}{32} &= y\\2^{y} &= 32\\2^{y} &= 2^5\\y &= 5\end{align*}

 

7 \displaystyle \log_{9}{\frac{1}{3}} = y

Nuestra expresión es

 

\displaystyle \log_{9}{\frac{1}{3}} = y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

 

     \begin{align*} \log_{9}{\frac{1}{3}} &= y\\9^{y} &= \frac{1}{3}\\\left( 3^2 \right)^{y} &= 3^{-1}\\3^{2y} &= 3^{-1}\\2y &= -1\\y &= -\frac{1}{2}\end{align*}

 

8 \log_{9}{\sqrt[4]{3}} = y

Nuestra expresión es

 

\log_{9}{\sqrt[4]{3}} = y

 

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos

 

    \begin{align*} \log_{9}{\sqrt[4]{3}} &= y\\9^y &= \sqrt[4]{3}\\\left( 3^2 \right)^{y} &= \sqrt[4]{3}\\3^{2y} &= 3^{\frac{1}{4}}\\2y &= \frac{1}{4}\\y &= \frac{1}{8}\end{align*}

 

9\log_{y}{81} = -4

Nuestra expresión es

 

\log_{y}{81} = -4

 

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos. Notemos que en este caso es un poco distinto ya que la y es la base del logaritmo.

 

    \begin{align*} \log_{y}{81} &= -4\\y^{-4} &= 81\\\frac{1}{y^{4}} &= 3^4\\y^{4} &= \frac{1}{3^{4}}\\y^{4} &= \frac{1^{4}}{3^{4}}\\y^{4} &= \left(\frac{1}{3}\right)^{4}\\y = \pm \frac{1}{3}\end{align*}

 

10 \log_{2}{y^3} = 6

Nuestra expresión es

 

\log_{2}{y^3} = 6

 

Aplicamos la definición de logaritmo y resolvemos. Notemos que en este caso es un poco distinto ya que la y se encuentra en el argumento del logaritmo

 

    \begin{align*} \log_{2}{y^3} &= 6\\2^{6} &= y^3\\\left( 2^2 \right)^3 &= y^3\\4^3 &= y^3\\y &= 4\end{align*}

 

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Vamos

Calcula los siguientes logaritmos

 

Del ejercicio 11 al 14 aplicaremos la propiedad de cambio de base de los logaritmos, esta nos que el logaritmo, base b, de x es igual a

 

\displaystyle \log_{b}{x} = \frac{\log_{c}{x}}{\log_{c}{b}}

 

para otra base c, notemos que la expresión de la derecha ya está en nueva base c.

 

1 Sea \log_{10}{2} = 0.3010, calcula el siguiente logaritmo

 

\log_{10}{0.02}

 

Nuestra expresión a resolver es

 

\log_{10}{0.02}

 

Procedamos convertiendo el argumento a una fracción adecuada

 

    \begin{align*} \log_{10}{0.02} &= \log_{10}{\frac{2}{100}}\\&= \log_{10}{2} - \log_{10}{100}\\&= \log_{10}{2} - \log_{10}{10^2}\\&= 0.3010 - 2\\&= -1.6990\end{align*}

 

2 Sea \log_{10}{2} = 0.3010, calcula el siguiente logaritmo

 

\log_{10}{\sqrt[4]{8}}

 

Nuestra expresión a resolver es

 

\log_{10}{\sqrt[4]{8}}

 

Procedemos escribiendo \sqrt[4]{8} como una pontencia de 2.

 

     \begin{align*} \log_{10}{\sqrt[4]{8}} &= \log_{10}{8^{\frac{1}{4}}}\\&= \log_{10}{\left( 2^3 \right)^{\frac{1}{4}}}\\&= \log_{10}{2^{\frac{3}{4}}}\\&= \frac{3}{4}\log_{10}{2}\\&= \frac{3}{4} (0.3010)\\&= 0.22575\end{align*}

 

3 Sea \log_{10}{2} = 0.3010, calcula el siguiente logaritmo

 

\log_{10}{5}

 

Nuestra expresión a resolver es

 

\log_{10}{5}

 

Procedemos escribiendo 5 como \displaystyle \frac{10}{2} y posteriormente aplicamos algunas propiedades de logaritmos

 

    \begin{align*} \log_{10}{5} &= \log_{10}{\frac{10}{2}}\\&= \log_{10}{10} - \log_{10}{2}\\&= 1 - 0.3010\\&= 0.6990\end{align*}

 

4 Sea \log_{10}{2} = 0.3010, calcula el siguiente logaritmo

 

\log_{10}{0.0625}

 

Nuestra expresión a resolver es

 

\log_{10}{0.0625}

 

Procedemos escribiendo 0.0625 como una fracción en la cual haya una potencia de 2 y aplicamos propiedades de logaritmos

 

     \begin{align*} \log_{10}{0.0625} &= \log_{10}{\frac{625}{10^4}}\\2^{6} &= y^3\\&= \log_{10}{\frac{5^4}{2^4 \cdot 5^4}}\\&= \log_{10}{\frac{1}{2^4}}\\&= \log_{10}{2^{-4}}\\&= -4\log_{10}{2}\\&= -4(0.3010)\\&= -1.204\\\end{align*}

 

Desarrolla las siguientes expresiones

 

1 \displaystyle \ln{\frac{x^2 y (m + n)}{m n}}

 

Nuestra expresión a desarrollar es

 

\displaystyle \ln{\frac{x^2 y (m + n)}{m n}}

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} \ln{\frac{x^2 y (m + n)}{m n}} &= \ln{x^2 y (m + n)} - \ln{m n}\\&= \ln{x^2} + \ln{y} + \ln{(m + n)} - \ln{m} - \ln{n}\\&= 2\ln{x} + \ln{y} + \ln{(m + n)} - \ln{m} - \ln{n}\\\end{align*}

 

2 \displaystyle \log_{2}{\frac{a^2 - b^2}{ab}}

Nuestra expresión a desarrollar es

 

\displaystyle \log_{2}{\frac{a^2 - b^2}{ab}}

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} \log_{2}{\frac{a^2 - b^2}{ab}} &= \log_{2}{\frac{(a + b)(a - b)}{ab}}\\&= \log_{2}{(a + b)(a - b)} - \log_{2}{ab}\\&= \log_{2}{(a + b)} + \log_{2}{(a - b)} - \log_{2}{ab}\\&= \log_{2}{(a + b)} + \log_{2}{(a - b)} - \log_{2}{a} - \log_{2}{b}\\\end{align*}

 

3 \log_{10}{2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}

Nuestra expresión a desarrollar es

 

\log_{10}{2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} \log_{10}{2\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}} &= \log_{10}{2\left(2 \sqrt{2 \sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\&= \log_{10}{2} + \log_{10}{\left(2 \sqrt{2 \sqrt{2}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\&= \log_{10}{2} + \frac{1}{2}\log_{10}{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}\\&= \log_{10}{2} + \frac{1}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{2}\log_{10}{\left(2 \sqrt{2} \right)^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{3}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{2 \sqrt{2}}\\&= \frac{3}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{2 (2)^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{3}{2}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{2} + \frac{1}{4}\log_{10}{(2)^{\frac{1}{2}}}\\&= \frac{7}{4}\log_{10}{2} + \frac{1}{8}\log_{10}{2}\\&= \frac{15}{8}\log_{10}{2}\\\end{align*}

 


Obtener el valor de x utilizando logaritmos

4 x = \sqrt[5]{493}

 

Nuestra expresión es

 

x = \sqrt[5]{493}

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} x &= \sqrt[5]{493}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\sqrt[5]{493}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{493^{\frac{1}{5}}}\\\log_{10}{x} &= \frac{1}{5}\log_{10}{493}\\\log_{10}{x} &= \frac{1}{5}(2.6928)\\\log_{10}{x} &= 0.53856\\x &= 10^{0.53856}\\x &= 3.4559\\\end{align*}

 

5 \displaystyle x = \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}

Nuestra expresión es

 

\displaystyle x = \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} x &= \frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\frac{\sqrt[3]{0.3688}}{22.958^5}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\sqrt[3]{0.3688}} - \log_{10}{22.958^5}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{0.3688^{\frac{1}{3}}} - \log_{10}{22.958^5}\\\log_{10}{x} &= \frac{1}{3}\log_{10}{0.3688} - 5\log_{10}{22.958}\\\log_{10}{x} &= -6.94907\\x &= 10^{-6.94907}\\x &= \frac{1.12442}{10^7}\\\end{align*}

 

6 \displaystyle x = \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}

Nuestra expresión es

 

\displaystyle x = \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}

 

Procedamos a resolver el ejercicio

 

    \begin{align*} x &= \frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{\frac{425\sqrt{2.73}}{\sqrt[3]{48.4}}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{425\sqrt{2.73}} - \log_{10}{\sqrt[3]{48.4}}\\\log_{10}{x} &= \log_{10}{425} + \frac{1}{2}\log_{10}{2.73} - \frac{1}{3}\log_{10}{48.4}\\\log_{10}{x} &= 2.6284 + \frac{1}{2}(0.4362) - \frac{1}{3}(1.6848)\\\log_{10}{x} &= 2.2849\\x &= 10^{2.2849}\\x &= 192.708\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗