Fórmulas de integración trigonométricas

 

1\displaystyle\int sen \ x \ dx = -cos \ x + C

 

2\displaystyle\int cos \ x \ dx = sen \ x + C

 

3\displaystyle\int sen \ u \cdot u' \ dx = -cos \ u + C

 

4\displaystyle\int cos \ u \cdot u' \ dx = sen \ u + C

 

5\displaystyle \int \frac{1}{cos^{2}x} dx =\int sec^{2}x \ dx= \int (1+tg^{2}x)dx=tg \ x + C

 

6\displaystyle \int \frac{u'}{cos^{2}u} dx =\int sec^{2}u \cdot u' \ dx= \int (1+tg^{2}u)\cdot u'dx=tg \ u + C

 

7\displaystyle \int \frac{1}{sen^{2}x} \cdot dx =\int cosec^{2}x \ dx= \int (1+cotg^{2}x)dx=-cotg \ x + C

 

8\displaystyle \int \frac{u'}{sen^{2}u}dx =\int cosec^{2}u \cdot u' dx= \int (1+cotg^{2}u)\cdot u'dx=-cotg \ u + C

 

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Ejercicios

Efectúa las siguientes integrales:

1 \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx

1 Separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx & = & \displaystyle \int cos \ x \ dx - \displaystyle \int sen \ x \ dx  \end{array}

 

2 Empleamos las fórmulas 1 y 2 para obtener

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos \ x \ dx - \displaystyle \int sen \ x \ dx  & = & sen \ x  + cos \ x + C  \end{array}

 

3 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (cos \ x - sen \ x)dx  & = & sen \ x  + cos \ x + C  \end{array}

 

2 \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx

1 Separamos la resta de integrales y sacamos las constantes multiplicativas

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx & = & \displaystyle \int 3x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx  \\\\ & = & \displaystyle 3 \int x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx \end{array}

 

2 Empleamos la fórmula 5 para resolver la segunda integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle 3 \int x^{2} dx - \displaystyle \int sec^{2}x \ dx  & = & x^3  - tg \ x + C  \end{array}

 

3 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x^{2}-sec^{2}x)dx  & = & x^3  - tg \ x + C  \end{array}

 

3 \displaystyle \int e^{x} cos \ e^{x} dx

1 El ángulo es u = e^x. Calculamos su derivada

 

u' = e^x

 

2 Reacomodamos los elementos en el integrando y empleamos la fórmula 4 para resolver la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int e^{x} cos \ e^{x} dx  & = & \displaystyle \int cos \ e^{x}\cdot e^x \ dx \\\\ & = & sen \ e^x + C  \end{array}

 

4 \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx

1 El ángulo es u = x^{2}+5. Calculamos su derivada

 

u' = 2x

 

2 Reacomodamos los elementos en el integrando y completamos la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int sen (x^{2}+5) \cdot 2x \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 3 para resolver la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2} \int sen (x^{2} + 5) \cdot 2x \; dx  & = & -\cfrac{1}{2} \; cos (x^{2} + 5) + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \ sen (x^{2}+5)dx  & = & -\cfrac{1}{2} \; cos (x^{2} + 5) + C  \end{array}

 

5 \displaystyle \int \frac{sen(\ln  x)}{x} \; dx

1 El ángulo es u = \ln x. Calculamos su derivada

 

u' = \cfrac{1}{x}

 

2 Reacomodamos los elementos en el integrando

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen(\ln  x)}{x} \; dx & = & \displaystyle  \int sen (\ln x) \cdot \cfrac{1}{x} \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 3 para resolver la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int sen (\ln x) \cdot \cfrac{1}{x} \; dx  & = & - cos (\ln x) + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int \frac{sen(\ln  x)}{x} \; dx  & = & - cos (\ln x) + C  \end{array}

 

6 \displaystyle \int cos^{3}x \; dx

1 Separamos el integrando cos^3 x = cos^2 x \cdot cos \; x; empleamos la identidad cos^2 x = 1 - sen^2 x y realizamos el producto

 

\begin{array}{rcl} cos^3 x & = & cos^2 x \cdot cos \; x \\\\ & = & (1 - sen^2 x) \cdot cos \; x \\\\ & = & cos \; x - sen^2 x \cdot cos \; x  \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{3}x \; dx & = & \displaystyle  \int (cos \; x - sen^2 x \cdot cos \; x) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int cos \; x \; dx - \displaystyle  \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 2 para resolver la primera integral; la segunda es una integral de una función potencia con u = sen \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int cos \; x \; dx - \displaystyle  \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{1}{3} \; sen^3 x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int cos^{3}x \; dx  & = & sen \; x - \cfrac{1}{3} \; sen^3 x + C   \end{array}

 

7 \displaystyle \int sen^{3}x \; dx

1 Separamos el integrando sen^3 x = sen^2 x \cdot sen \; x; empleamos la identidad sen^2 x = 1 - cos^2 x y realizamos el producto

 

\begin{array}{rcl} sen^3 x & = & sen^2 x \cdot sen \; x \\\\ & = & (1 - cos^2 x) \cdot sen \; x \\\\ & = & sen \; x - cos^2 x \cdot sen \; x  \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{3}x \; dx & = & \displaystyle  \int (sen \; x - cos^2 x \cdot sen \; x) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int sen \; x \; dx - \displaystyle  \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 2 para resolver la primera integral; la segunda es una integral de una función potencia con u = cos \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int sen \; x \; dx - \displaystyle  \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx & = & -cos \; x + \cfrac{1}{3} \; cos^3 x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int sen^{3}x \; dx  & = & -cos \; x + \cfrac{1}{3} \; cos^3 x + C   \end{array}

 

8 \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx

1 Separamos el integrando sen^5 x \; cos^2 x = sen \; x \cdot sen^4 x \cdot cos^2 x ; empleamos la identidad sen^2 x = 1 - cos^2 x y realizamos el producto

 

\begin{array}{rcl} sen^5 x \; cos \; x & = & sen \; x \cdot (1 - cos^2 x)^2 \cdot cos^2 x \\\\ & = & cos^2 x \cdot sen \; x - 2 cos^4 x \cdot sen \; x + cos^6 \cdot sen \; x  \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx & = & \displaystyle  \int (cos^2 x \cdot sen \; x - 2 cos^4 x \cdot sen \; x + cos^6 \cdot sen \; x) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx - \displaystyle  2 \int cos^4 x \cdot sen \; x \; dx + \displaystyle  \int cos^6 \cdot sen \; x \; dx  \end{array}

 

3 Resolvemos las integrales potencia con u = cos \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \displaystyle  \int cos^2 x \cdot sen \; x \; dx - \displaystyle  2 \int cos^4 x \cdot sen \; x \; dx + \displaystyle  \int cos^6 \cdot sen \; x \; dx & = & -\cfrac{1}{3} \; cos^3 x + \cfrac{2}{5} \; cos^5 x - \cfrac{1}{7} \; cos^7 x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int sen^{5}x \; cos^{2}x \; dx  & = & -\cfrac{1}{3} \; cos^3 x + \cfrac{2}{5} \; cos^5 x - \cfrac{1}{7} \; cos^7 x + C \end{array}

 

9 \displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x}

1 Empleamos la sustitución sen^2 x + cos^2 x = 1

 

\displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x} = \displaystyle \int \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen \; x \; cos \; x}\; dx

 

2 Ponemos el denominador a cada elemento del numerador

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen^2 x + cos^2 x}{sen \; x \; cos \; x}\; dx & = & \displaystyle \int \frac{sen \; x}{cos \; x}\; dx + \displaystyle \int \frac{cos \; x}{sen \; x}\; dx  \end{array}

 

3 Resolvemos la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \frac{sen \; x}{cos \; x}\; dx + \displaystyle \int \frac{cos \; x}{sen \; x}\; dx  & = & - \ln(cos \; x) + \ln(sen \; x) + C \\\\ & = & \ln (tg \; x) + C \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int \frac{dx}{sen \; x \; cos \; x}  & = & \ln (tg \; x) + C  \end{array}

 

10 \displaystyle \int sen^{2} 4x \; dx

1 Empleamos la identidad

 

\begin{array}{rcl} sen^2 4x & = & \cfrac{1 - cos \; 8x}{2} \\\\  & = & \cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2}cos \; 8x \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y resolvemos

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sen^{2} 4x \; dx & = & \displaystyle \int \left (\cfrac{1}{2} - \cfrac{1}{2}cos \; 8x \right) dx \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \; dx - \cfrac{1}{2}\displaystyle \int cos \; 8x \; dx \\\\  & = & \cfrac{1}{2} \; x - \cfrac{1}{16} \; sen \; 8x + C \end{array}

 

11 \displaystyle \int cos^{5}x \; dx

1 Separamos el integrando cos^5 x = cos^4 x \cdot cos \; x; empleamos la identidad cos^2 x = 1 - sen^2 x y realizamos el producto

 

\begin{array}{rcl} cos^5 x & = & cos^4 x \cdot cos \; x \\\\ & = & (1 - sen^2 x)^2 \cdot cos \; x \\\\ & = & cos \; x - 2 sen^2 x \cdot cos \; x + sen^4 \cdot cos \; x  \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cos^{5}x \; dx & = & \displaystyle  \int (cos \; x - 2 sen^2 x \cdot cos \; x + sen^4 \cdot cos \; x) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int cos \; x \; dx - \displaystyle 2 \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx + \displaystyle \int sen^4 x \cdot cos \; x \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 2 para resolver la primera integral; la segunda es una integral de una función potencia con u = sen \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int cos \; x \; dx - \displaystyle 2 \int sen^2 x \cdot cos \; x \; dx + \displaystyle \int sen^4 x \cdot cos \; x \; dx & = & sen \; x - \cfrac{2}{3} \; sen^3 x + \cfrac{1}{5} \; sen^5 x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int cos^{5}x \; dx  & = & sen \; x - \cfrac{2}{3} \; sen^3 x + \cfrac{1}{5} \; sen^5 x + C \end{array}

 

12 \displaystyle \int sec^{4} x \; dx

1 Separamos el integrando sec^4 x = sec^2 x \cdot sec^2 x; empleamos la identidad sec^2 x = 1 + tg^2 x y realizamos el producto

 

\begin{array}{rcl} sec^4 x & = & sec^2 x \cdot sec^2 x \\\\ & = & (1 + tg^2 x) \cdot sec^2 x \\\\ & = & sec^2 x + tg^2 x \cdot sec^2 x \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int sec^{4}x \; dx & = & \displaystyle  \int (sec^2 x + tg^2 x \cdot sec^2 x) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int sec^2 x \; dx + \displaystyle \int tg^2 x \cdot sec^2 x \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 5 para resolver la primera integral; la segunda es una integral de una función potencia con u = tg \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int sec^2 x \; dx + \displaystyle \int tg^2 x \cdot sec^2 x \; dx  & = & tg \; x + \cfrac{1}{3} \; tg^3 x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int sec^{4}x \; dx  & = & tg \; x + \cfrac{1}{3} \; tg^3 x + C \end{array}

 

13 \displaystyle \int tg^{2} x \; dx

1 Arreglamos el integrando tg^2 x = 1 + tg^2 x - 1; empleamos la identidad sec^2 x = 1 + tg^2 x

 

\begin{array}{rcl} tg^2 x & = & 1 + tg^2 x - 1 \\\\ & = & (1 + tg^2 x) - 1 \\\\ & = & sec^2 x - 1 \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int tg^{2}x \; dx & = & \displaystyle  \int (sec^2 x - 1) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int sec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 5 para resolver la primera integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int sec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx & = & tg \; x  - x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int tg^{2}x \; dx  & = & tg \; x - x + C \end{array}

 

14 \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx

1 El ángulo u = 3x + 1; calculamos la derivada

 

u' = 3

 

2 Acompletamos la integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx & = & \cfrac{1}{3} \displaystyle  \int cosec^2 (3x + 1) \cdot 3 \; dx \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 7 para resolver la integral

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{3} \displaystyle  \int cosec^2 (3x + 1) \cdot 3 \; dx & = & - \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int cosec^{2}(3x+1)dx  & = & - \cfrac{1}{3} cotg(3x + 1) + C \end{array}

 

15 \displaystyle \int cosec^{4} x \; dx

1 Separamos el integrando cosec^4 x = cosec^2 x \cdot cosec^2 x; empleamos la identidad cosec^2 x = 1 + cotg^2 x y realizamos el producto

 

\begin{array}{rcl} cosec^4 x & = & cosec^2 x \cdot cosec^2 x \\\\ & = & (1 + cotg^2 x) \cdot cosec^2 x \\\\ & = & cosec^2 x + cotg^2 x \cdot cosec^2 x \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cosec^{4}x \; dx & = & \displaystyle  \int (cosec^2 x + cotg^2 x \cdot cosec^2 x) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int cosec^2 x \; dx + \displaystyle \int cotg^2 x \cdot cosec^2 x \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 7 para resolver la primera integral; la segunda es una integral de una función potencia con u = cotg \; x

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int cosec^2 x \; dx + \displaystyle \int cotg^2 x \cdot cosec^2 x \; dx  & = & - cotg \; x - \cfrac{1}{3} \; cotg^3 x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int cosec^{4}x \; dx  & = & - cotg \; x - \cfrac{1}{3} \; cotg^3 x + C \end{array}

 

16 \displaystyle \int cotg^{2} x \; dx

1 Arreglamos el integrando cotg^2 x = 1 + cotg^2 x - 1; empleamos la identidad cosec^2 x = 1 + cotg^2 x

 

\begin{array}{rcl} cotg^2 x & = & 1 + cotg^2 x - 1 \\\\ & = & (1 + cotg^2 x) - 1 \\\\ & = & cosec^2 x - 1 \end{array}

 

2 Sustituimos en la integral y separamos la resta de integrales

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int cotg^{2}x \; dx & = & \displaystyle  \int (cosec^2 x - 1) \; dx \\\\  & = & \displaystyle  \int cosec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx  \end{array}

 

3 Empleamos la fórmula 5 para resolver la primera integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle  \int cosec^2 x \; dx - \displaystyle \int \; dx & = & -cotg \; x  - x + C  \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl}  \displaystyle \int cotg^{2}x \; dx  & = & -cotg \; x - x + C \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗