Binomio al cuadrado

 

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.

 

\displaystyle \left \left ( a+b \right )^2=a^2+2ab+b^2

 

Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.

 

\displaystyle \left \left ( a-b \right )^2=a^2-2ab+b^2

 

 

Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado

 

 

1 (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x ² + 6 x + 9

 

2 (2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9

 

3 (−2x² + 3)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · 3 + 3² = 4x4 − 12x² + 9

 

4 (−2x² − 3y)² = (−2x²)² + 2 · (−2x²) · (−3y) + (−3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y²

 

 

Suma por diferencia

 

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

 

\displaystyle \left ( a+b \right )\left ( a-b \right )=a^2-b^2

 

 

Ejemplos de ejercicios con suma por diferencia

 

 

1 (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)² − 5² = 4x² − 25

 

2 (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)² − (y³)² = 4x4 − y6

 

 

Binomio al cubo

 

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

 

\displaystyle \left ( a+b \right )^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

 

Recomendamos aprenderte esta fórmula.

 

 

Ejemplos de ejercicios con binomios al cubo

 

 

1 (x + 3)³ =

 

= x³ + 3 · x² · 3 + 3 · x · 3² + 3³ =

= x³ + 9x² + 27x + 27

 

 

2 (2x 3)³ =

 

= (2x)³ + 3 · (2x)² · (−3) + 3 · 2x · (−3)² + (−3)³ =

= 8x³ − 36x² + 54x − 27

 

 

Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula anterior:

 

\displaystyle \left ( a-b \right )^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

 

 

3 (−3x² + 2x)³ =

 

= (−3x²)³ + 3 · (−3x²)² · (2x) + 3 · (−3x²) · (2x)² + (2x)³=

= −27x6 + 3 · 9x4 · 2x 3 · 3x² · 4x² + 8x³ =

= −27x6 + 54x5 36x4 + 8x³

 

 

Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:

 

\displaystyle\left \left ( -a+b \right )^3=-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3

 

 

4 (−3xy² − 2xy)³ =

 

= (−3xy²)³ + 3 · (−3xy²)² · (−2xy) + 3 · (−3xy²) · (−2xy)² + (−2xy)³ =

= −27x³y6 − 3 · 9x²y4 · 2xy − 3 · 3xy² · 4x²y² − 8x³y³ =

= −27x³y6 − 54x³y5 − 36x³y4− 8x³y³

 

Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:

 

\displaystyle \left ( -a-b \right )^3=-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3

 

 

 

Trinomio al cuadrado

 

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

 

\displaystyle\left (a+b+c \right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

 

 

Ejemplos de ejercicios con trinomios al cuadrado

 

 

1(x² − x + 1)² =

 

= (x²)² + (−x)² + 1² + 2 · · (−x) + 2 · · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x4 + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x=

= x4 − 2x³ + 3x² − 2x + 1

 

 

2(2x² − x − 3)² =

 

= (2x²)² + (−x)² + (−3)² + 2 · (2x²) · (−x) + 2 · (2x²) · (−3) + 2 · (−x) · (−3) =

= 4x4 + x² + 9 − 4x³ − 12x² + 6x =

= 4x4 − 4x³ − 11x² + 6x + 9

 

 

 

Suma de cubos

 

Ahora en vez de desarrollar a las expresiones, lo que haremos será factorizarlas, es decir, las escribiremos como el producto de otras dos expresiones.

La forma en que se factoriza la suma de cubos es la siguiente:

 

\displaystyle a^3+b^3=\left ( a+b \right )\left ( a^2-ab+b^2 \right )

 

 

Ejemplo de ejercicio con suma de cubos

 

Factorizar la expresión siguiente:

 

\displaystyle 8x^{3}+27=?

 

Primero, miramos como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:

 

\displaystyle \left ( 2x \right )^{3}+3^{3}

 

Utilizando la fórmula de cubos y considerando que \displaystyle a=2x  y  \displaystyle b=3 , tenemos:

 

\displaystyle \left ( 2x+3 \right )\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( 2x\cdot 3 \right ) +3^{2}\right )

 

Desarollando, tenemos:

 

\displaystyle 8x^{3}+27= \left ( 2x+3 \right )\left ( \left 4x^{2}-6x+9)

 

 

Diferencia de cubos

 

La fórmula para diferencia de cubos tiene la siguiente estructura:

 

\displaystyle a^3-b^3=\left ( a-b \right )\left ( a^2+ab+b^2 \right )

 

 

Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos

 

Factorizar la expresión siguiente:

 

\displaystyle 8x^{3}-27=?

 

Igual que anteriormente, es importante mirar, en primer lugar, como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera siguiente:

 

\displaystyle \left ( 2x \right )^{3}-3^{3}

 

Utilizando la fórmula de cubos y considerando que \displaystyle a=2x  y  \displaystyle b=3 , tenemos:

 

\displaystyle \left ( 2x-3 \right )\left ( \left ( 2x \right )^{2}+\left ( 2x\cdot 3 \right ) +3^{2}\right )

 

Desarollando, tenemos:

 

\displaystyle 8x^{3}-27= \left ( 2x-3 \right )\left ( \left 4x^{2}+6x+9)

 

 

 

Producto de dos binomios que tienen un término común

 

Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera:

 

\displaystyle \left ( x+a \right )\left ( x+b \right )=x^2+\left ( a+b \right )x+ab

 

Ejemplo de ejercicio con producto de dos binomios con término común

 

Desarollar la expresión siguiente:

 

\displaystyle \left ( x+2 \right )\left ( x+3 \right )=?

 

No es necesario recordar la fórmula, si, siguiendo los pasos de desarrollo y con atención a los signos, simplemente operamos paso a paso.

Primero, tomamos los términos dentro del primer paréntesis y los multiplicamos con la segunda de esta manera:

\displaystyle \left x( x+3 \right )+ \left 2\left ( x+3 \right ) =

 

\displaystyle \left ( x^{2}+3x \right )+ \left \left (2 x+3\cdot 2 \right ) =

Recomendamos guardar los paréntesis y deshacerlos posteriormente. Así, nos aseguramos de no haber olvidado cambiar un + por un - o al revés. En este caso, no hay ningún cambio de signo.

\displaystyle \left ( x^{2}+3x \right )+ \left \left (2 x+3\cdot 2 \right ) =

 

\displaystyle x^{2}+3x + 2 x+6 =x^{2}+5x+6

 

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (24 votes, average: 4,08 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido