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Suma, multiplicación y potencia de matrices
Dimensión de matrices
Conmutación de matrices
Ecuaciones matriciales
Problema de matrices contextualizado

Suma, multiplicación y potencia de matrices

Sean las matrices: $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1& 1& 1\\ 3& 0& 4 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 4 &-1 &2 \\ 3& 0& 2\\ 0& -1& 4 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -2& 0& 3\\ 4& 2& 1 \end{pmatrix}$

Efectuar las siguientes operaciones:

1 $(A + B)^2$

2 $(A − B)^2$

3 $(B)^3$

4 $A \cdot C^t$

1 Para resolver, seguimos la jerarquía de operaciones, por lo cual primero sumamos las matrices:

$(A+B)^2=\left (\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ -1& 1& 1\\ 3& 0& 4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 &-1 &2 \\ 3& 0& 2\\ 0& -1& 4 \end{pmatrix}\right)^2\\(A+B)^2= \begin{pmatrix} 4 & -2 & 4 \\ 2& 1& 3\\ 3& -1& 8 \end{pmatrix}^2 =\left(\begin{matrix} 4 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 8 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 4 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & -1 & 8 \end{matrix}\right)$

Después, calculamos el cuadrado de la matriz:

$(A+B)^2=\left(\begin{matrix} 4*4+\left(-2\right)*2+4*3 & 4*\left(-2\right)+\left(-2\right)*1+4*\left(-1\right) & 4*4+\left(-2\right)*3+4*8 \\ 2*4+1*2+3*3 & 2*\left(-2\right)+1*1+3*\left(-1\right) & 2*4+1*3+3*8 \\ 3*4+\left(-1\right)*2+8*3 & 3*\left(-2\right)+\left(-1\right)*1+8*\left(-1\right) & 3*4+\left(-1\right)*3+8*8 \end{matrix}\right)$

Finalmente, mediante el desarrollando las operaciones obtenemos:

$(A+B)^2=\left(\begin{matrix} 24 & -14 & 42 \\ 19 & -6 & 35 \\ 34 & -15 & 73 \end{matrix}\right)$

2 Para resolver este ejercicio, primero calculamos el producto de las matrices:

$A\cdot B=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -3 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 4 \\ 12 & -7 & 22 \end{matrix}\right)$

Después, calculamos el cuadrado del producto:

$(AB)^2=\left(\begin{matrix} -3 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 4 \\ 12 & -7 & 22 \end{matrix}\right)^2=\left(\begin{matrix} 83 & -36 & 106 \\ 51 & -26 & 82 \\ 235 & -178 & 528 \end{matrix}\right)$

3 En este caso, para resolver podemos reescribir la expresión $B^3$ como $B^2\cdot B$ . Así bien como $B=\left(\begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{matrix}\right)$

Entonces $B^2=\left(\begin{matrix} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{matrix}\right)$

Así, tenemos que: $B^3=B^2\cdot B=\left(\begin{matrix} 13 & -6 & 14 \\ 12 & -5 & 14 \\ -3 & -4 & 14 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 4 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 34 & -27 & 70 \\ 33 & -26 & 70 \\ -24 & -11 & 42 \end{matrix}\right)$

4En este ejercicio primero calculamos la matriz transpuesta y después multiplicamos

$A\cdot C^t=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{matrix}\right)^t=\left(\begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 4 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} 0 & -2 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{matrix}\right)$

Calculando el producto obtenemos

$A\cdot C^t=\left(\begin{matrix} -3 & 6 & 0 \\ 0 & 5 & -1 \\ -4 & 6 & 16 \end{matrix}\right)$

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Dimensión de matrices

Sean las matrices: $A=\begin{pmatrix} 2 & -1& 0\\ 0 & 2& -1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ 2&2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 &-2 \\ 0&2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Para cada una de las siguientes expresiones, explique en que casos es posible calcular el producto y en cuales no.

1 $(A^t \cdot B ) \cdot C$

2 $(B \cdot C^t) \cdot A^t$

3 Determina la dimensión de $M$ para que pueda efectuarse el producto $A \cdot M \cdot C$

4 Determina la dimensión de $M$ para que $C^t \cdot M$ sea una matriz cuadrada.

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Antes de plantear las soluciones es importante destacar que la notación sobre la dimensión de una matriz $M$ constituida por $m$ filas y $n$ columnas se denota de la siguiente manera: $M_{m\times n}$ .

Además, para poder efectuar la multiplicación de dos matrices, se debe satisfacer que: El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz (con la particularidad de que la matriz obtenida del producto tendrá el mismo número de filas que la primera matriz y el mismo número de columnas que la segunda matriz).

1 Para determinar si es posible calcular el producto $(A^t \cdot B ) \cdot C$ debemos analizar las dimensiones de cada una de las matrices involucradas:
$A$ es una matriz de dimensión $2\times3$ por lo que $A^t$ es $3\times 2$ .
$B$ es una matriz de dimensión $2\times2$ .
$C$ es una matriz de dimensión $3\times2$ .
Así bien podemos expresar lo anterior de la siguiente manera:

$(A_{3\times 2}^t \cdot B_{2\times 2}) \cdot C_{3\times2}=(A^t\cdot B)_{3\times 2}\cdot C_{3\times2}$

Notemos que como el numero de columnas de $(A^t\cdot B)$ no coincide con el número de filas de $C$ por lo cual la operación no puede ser efectuada.

2 $(B\cdot C^t)\cdot A^t$

Notemos que:

$A^t$ es una matriz de dimensión $3\times 2$ .
$B$ es una matriz de dimensión $2\times2$ .
$C$ es una matriz de dimensión $3\times2$ por lo que $C^t$ es de dimensión $2\times 2$ .

Podemos reescribir:

$(B_{2\times 2} \cdot C_{2\times 3}^t)\cdot A_{3\times 2}^t=(B\cdot C)_{2\times 3}\cdot A_{3\times 2}=(B\cdot C^t \cdot A^t)_{2\times 2}$

Por lo cual la operación si puede efectuarse, especificamente la matriz resultante será de dimensión $2\times 2$ .

3 Determinar la dimensión de $M$ para que pueda efectuarse el producto $A \cdot M\cdot C$

Recordemos que para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda, $A$ es una matriz de dimensión $2\times 3$ , es decir dos filas y tres columnas entonces $M$ debe de tener tres filas, es decir $m=3$

4 Determina la dimensión de $M$ para que $C^t\cdot M$ sea una matriz cuadrada.

La matriz $C$ tiene de dimensión $3\times2$ por tanto su traspuesta tiene de dimensión $2\times3$ , para poder multiplicarla por $M$ el número de columnas de $C^t$ tiene que coincidir con el número de filas de $M$ , es decir que $m=3$ .

El producto de $C^t\cdot M$ es una matriz con el mismo número de filas que $C^t$ es decir $2$ y el mismo número de columnas que $M$ . Por ser el producto una matriz cuadrada el número de columnas de $M$ tiene que ser también 2.Entonces la matriz $M$ tiene de dimensión $3\times 2$ .

Conmutación de matrices

Calcular todas las matrices que conmuten con la matriz: $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0& 1 \end{pmatrix}$

Recordemos que para que dos matrices conmuten deben de satisfacer que $A\cdot B=B \cdot A$ . Si consideramos $A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0& 1 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} a & b\\ c& d \end{pmatrix}$ , tenemos la siguiente igualdad:

$\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$

Desarrollando en ambos lados de la desigualdad obtenemos:

$\begin{pmatrix} a & a+b\\ c&c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & b+d\\ c&d \end{pmatrix}$

De lo anterior se deducen las siguientes igualdades:

$a=a+c\Leftrightarrow c=0$

$a+b=b+d\Leftrightarrow a=d$

$c=c$

$c+d=d \Leftrightarrow c=0$

Por lo cual la matriz debe de ser de la forma $\begin{pmatrix} a & b\\ 0& a \end{pmatrix}$

Ecuaciones matriciales

Sea $A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Resolver la ecuación matricial

$\begin{equation*} A X+2 B=3 C \end{equation*}$

Para calcular el valor de $X$ es necesario aplicar operaciones en ambos lados de la igualdad. Primero restamos en ambos lados $2B$ y luego multiplicamos por la matriz inversa de $A$ como se muestra a continuación:

$\begin{equation*}\begin{aligned}&A X=3 C-2 B \\&A^{-1} A X=A^{-1}(3 G-2 B) \\&I X=A^{-1}(3 C-2 B) \\&X=A^{-1}(3 C-2 B)\end{aligned}\end{equation*}$

Una vez que tenemos expresada la solución, calculamos la matriz inversa de $A$ :

$\begin{equation*} A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \end{equation*}$

Finalmente, sustituimos y desarrollamos:

$\begin{equation*} \begin{aligned} &X=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\left[\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)-2\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\right]= \\ &=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right) \end{aligned} \end{equation*}$

Problema de matrices contextualizado

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1 Representar esta información en dos matrices.

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

1 Representar esta información en dos matrices.

Filas: Modelos A, B, C Columnas: Tipos G, P

$\begin{equation*} M=\left(\begin{array}{ll} 1000 & 8000 \\ 8000 & 6000 \\ 4000 & 6000 \end{array}\right) \end{equation*}$

Matriz de los elementos de las estanterías:

Filas: Tipos G, P Columnas: T, S

$\begin{equation*} N=\left(\begin{array}{ll} 16 & 6 \\ 12 & 4 \end{array}\right) \end{equation*}$

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería.

Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

Filas: Modelos A, B, C Columnas: Tipos T, S

$\begin{equation*} M\cdot N=\left(\begin{array}{ll} 1000 & 8000 \\ 8000 & 6000 \\ 4000 & 6000 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} 16 & 6 \\ 12 & 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 112000 & 38000 \\ 200000 & 72000 \\ 136000 & 48000 \end{array}\right) \end{equation*}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Maria alejandra lemus

Junio 2022

Una ebanistería fabrica tres tipos de muebles: sillas, mesas y armarios. Para la
fabricación de cada mueble se usan 3 materiales diferentes
𝜆 → 𝐵𝑎𝑟𝑛𝑖𝑧
𝛽 → 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑐𝑜𝑙𝑎)
𝛾 → 𝑃𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐿𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎
Las proporciones vienen representadas en la siguiente tabla de producción.
Tabla de
producción
𝝀 𝜷 𝜸
Sillas 1 1 2
Mesas 3 2 1
Armarios 2 1 4
Un cliente encarga a la empresa de ebanistería el siguiente lote compuesto por: 7 sillas,
13 mesas y 11 armarios.
Cuestiones

a) Este problema solo se puede resolver si los vectores de producción son un
sistema generador es decir forman una Base de R3. Demuéstralo y explica por
qué.
b) ¿Cuántos botes de Barniz (𝝀) pegamento (𝜷) y pintura lacada (𝜸) debe encargar
la ebanistería para poder fabricar el lote de productos que le han encargado?
Resuélvelo aplicando la definición de dependencia/independencia lineal
siendo el vector independiente el nº total de cada mueble fabricado, es decir,
(7,13,11). Recuerda explicar cada uno de los pasos.

JEIMY ZAMIRA SOTELO BRAVO

Marzo 2022

Tania

Mayo 2022

Sandra Milena Arevalo

Marzo 2022

Una rueda de Chicago con 12 canastas el precio de una persona es $3.500 si compras dos el precio es de $5.500
Fórmula una situación frente a la pregunta

giancarlo

Junio 2021

Una fábrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. El ingreso mensual en dólares en el mes de diciembre es representado por la siguiente matriz:
M1 M2 M3

Mientras que el costo de producción mensuales en dólares del mes de diciembre es como se muestra en la siguiente matriz:
M1 M2 M3

a) Matricialmente, halle la utilidad en la planta A.
b) Matricialmente, halle la utilidad en la planta B.
c) Halle la matriz utilidad.

MARLYN

Diciembre 2021

1. Una empresa fabrica en su planta 3 productos A, B y C. Los almacenes principales
se encuentran en Asunción, Ciudad del Este, Encarnación y San Lorenzo. Las
ventas durante el año anterior en Asunción se cifraron en 400, 100 y 500 unidades
de los productos A, B y C en orden; las del almacén de Ciudad del Este en 300, 150,
y 400; las del almacén de Encarnación en 100, 100 y 200; y las del almacén de San
Lorenzo en 200, 150 y 300. Los precios de venta de los productos fueron 25, 50 y
80 USD para los productos A, B y C respectivamente.
a) Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4×3.
b) Expresar mediante una matriz X de orden 3×1 el precio de cada producto.
c) ¿Qué es AX?

JOSE MIGUEL HERNANDEZ GALINDO

Abril 2021

Una empresa dedicada a decorar interiores, adquirió un total de 300 unidades entres muebles, puertas y sillas, gastando un total de 8500 dólares. El precio de cada mueble es de 25 dólares, el de una puerta es 10 dólares, y el de una silla es de 10 dólares. Además, el número de muebles comprados es igual al número de puertas más el número de sillas, ¿Cuantos muebles, puertas y sillas ha comprado la empresa?
Nota: Desarrolle el problema por medio del método de Gauss Jordan

coco

Septiembre 2021

Solución
Designemos las variables m:= muebles, p:= puertas y s:= sillas.
El sistema que resulta es:

\ m\ \ \ +\ \ \ \ p\ \ \ \ +\ \ \ s\ =300
25m\ +10p\ +10s\ =8500
m\ =\ \ p\ +s\

La solución al sistema es ninguna:

elsa

Enero 2021

La empresa Keros fabrica envases plásticos para pintura denominados de acuerdo con su capacidad balde 2k, balde 5k y balde 8k. La empresa utiliza como materia prima 20 kilogramos de polietileno cada hora, además para fabricar cada balde 2k se necesitan 100 gramos de polietileno, para cada balde 5k, 200 gramos de polietileno y para cada balde 8k, 2 kilogramos de polietileno. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de unidades de balde 2k que de balde 5k. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora.
PREGUNTAS:
1.El área de ventas se comprometió que para la primera hora de producción tendría la misma cantidad de cada tipo de envase plástico. Es correcta esta afirmación (sustentar utilizando el Método de Cramer)
2.¿Qué relación tiene la cantidad de envases de balde 2k con la cantidad de envases de balde 5k?

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