Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

 

A_{m\times n}\times B_{n\times p}=C_{m\times p}

 

El elemento c_{ij} de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

 

Ejemplo

 

A\times B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

=\begin{pmatrix} 2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \;\; & 2\cdot 0+0\cdot 2+1\cdot 1 \;\; & 2\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0\\ 3\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 1 \;\; & 3\cdot 0+0\cdot 2+0\cdot 1 \;\; & 3\cdot 1+0\cdot 1+0\cdot 0\\ 5\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1 \;\; & 5\cdot 0+1\cdot 2+1\cdot 1 \;\; & 5\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0 \end{pmatrix}

 

=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3\\ 7 & 3 & 6 \end{pmatrix}

 

Propiedades del producto de matrices

 

 

 1  Asociativa:

A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C

 

 2  Elemento neutro:

A\cdot I=A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

 

 3  Distributiva del producto respecto de la suma:

A\cdot (B+C)=A\cdot B + A\cdot C

 

 4  No es Conmutativa:

A\cdot B\neq B\cdot A

 

 

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Vamos

Ejemplo de producto de matrices 

 

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \epsilon \; M_{2\times 3}                    B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \epsilon \; M_{3\times 2}

 

A\times B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 15 \end{pmatrix}

 

B\times A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1& 0 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 4 & 2\\ 9 & 12 & 6\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

 

Podemos ver que en este caso, A\cdot B\neq B\cdot A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues A\cdot B\; \epsilon \; M_{2\times 2}\; y B\cdot A\; \epsilon \; M_{3\times 3}.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗