El producto de un número por un vector es el resultado de multiplicar las entradas del vector por una constante.

 

vec{u}=(u_1, u_2)
kcdot(u_1,u_2)=(kcdot u_1,kcdot u_2)

 

Por ejemplo, consideremos el vector vec{u}=(-2,5) . Para obtener el vector 3vec{u}, realizamos la siguiente operación. 

 

3cdot vec{u}=3cdot (-2,5)=(3cdot (-2), 3cdot 5) = (-6,15)

 

Cuando multiplicamos un vector por un escalar siempre se obtiene un vector colineal a este.  Gráficamente, el vector resultante se puede interpretar como una expansión  o contracción del vector original. Por ejemplo, en el caso del vector vec{u},  el vector 3vec{u}  es la expansión de tres veces su magnitud. Sin embargo, dependiendo del signo del escalar el vector resultante de la expansión o contracción podría cambiar de sentido al vector.

 

Un vector se expande y contrae al ser multiplicado por una constante

 

El producto de un número k por un vector vec{u}es otro vector:

1 De igual dirección que el vector vec{u}.

2 Del mismo sentido que el vector vec{u} si k es positivo.

Vectores con el mismo sentido

3 De sentido contrario del vector vec{u} si k es negativo.

Vectores con sentidos opuestos

4 De módulo  |k|cdot|vec{u}| .

 

Propiedades del producto de un número por un vector

1 Asociativa

kcdot(k'cdotvec{u})=(kcdot k')cdot vec{u}

2 Distributiva respecto a la suma de vectores

kcdot(vec{u}+vec{v})=kcdot vec{u}+kcdotvec{v}

3 Distributiva respecto a los escalares

(k+k')cdot vec{u}= kcdot vec{u}+k'cdot vec{u}

4 Elemento neutro

1cdot vec{u}=vec{u}

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Ejemplos de productos de vectores

1 Multiplique el vector vec{u}=(8,6.3,5) por la constante 10.

10cdotvec{u} = 10cdot (8,6.3,5)=(10cdot 8, 10cdot 6.3, 10cdot 5)=(80,63,50)


2 Utilice la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores para determinar el valor de  3cdot [(15,72)+(31,3)].

De acuerdo al punto 2 de la lista de propiedades, este producto es igual a3cdot [(15,72)+(31,3)]=3cdot (15,72) + 3cdot (31,3) .A partir de aquí, simplificamos la expresión de la siguiente manera{ 3cdot (15,72) + 3cdot (31,3) = (3cdot 15,3cdot 72) + (3cdot 31,3cdot 3) = (138, 225) }

3 Utilice la propiedad distributiva respecto a los escalares para determinar el valor de  (22.5 + 49)cdot (32, 101, 59.3) .

De acuerdo al punto 3 de la lista de propiedades, este producto es igual a (22.5 + 49)boldsymbol{cdot} (32, 101, 59.3) = 22.5 boldsymbol{cdot} (32, 101, 59.3) + 49 boldsymbol{cdot} (32, 101, 59.3)Podemos simplificar esta última expresión de la siguiente manera. begin{eqnarray*} && 22.5 boldsymbol{cdot} (32, 101, 59.3) + 49 boldsymbol{cdot} (32, 101, 59.3) = && (22.5 boldsymbol{cdot} 32, 22.5 boldsymbol{cdot} 101, 22.5 boldsymbol{cdot} 59.3)+ (49 boldsymbol{cdot} 32, 49 boldsymbol{cdot} 101, 49 boldsymbol{cdot} 59.3)= && (720, 2272.5, 1334.25) + (1568, 4949, 2905.7)= &&(2288, 7221.5, 4239.95) end{eqnarray*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗