El producto de un número por un vector es el resultado de multiplicar las entradas del vector por una constante.

 

\vec{u}=(u_1, u_2)
k\cdot(u_1,u_2)=(k\cdot u_1,k\cdot u_2)

 

Por ejemplo, consideremos el vector \vec{u}=(-2,5) . Para obtener el vector 3\vec{u}, realizamos la siguiente operación. 

 

3\cdot \vec{u}=3\cdot (-2,5)=(3\cdot (-2), 3\cdot 5) = (-6,15)

 

Cuando multiplicamos un vector por un escalar siempre se obtiene un vector colineal a este.  Gráficamente, el vector resultante se puede interpretar como una expansión  o contracción del vector original. Por ejemplo, en el caso del vector \vec{u},  el vector 3\vec{u}  es la expansión de tres veces su magnitud. Sin embargo, dependiendo del signo del escalar el vector resultante de la expansión o contracción podría cambiar de sentido al vector.

 

Un vector se expande y contrae al ser multiplicado por una constante

 

El producto de un número k por un vector \vec{u}es otro vector:

1 De igual dirección que el vector \vec{u}.

2 Del mismo sentido que el vector \vec{u} si k es positivo.

Vectores con el mismo sentido

3 De sentido contrario del vector \vec{u} si k es negativo.

Vectores con sentidos opuestos

4 De módulo  |k|\cdot|\vec{u}| .

 

Propiedades del producto de un número por un vector

1 Asociativa

k\cdot(k'\cdot\vec{u})=(k\cdot k')\cdot \vec{u}

2 Distributiva respecto a la suma de vectores

k\cdot(\vec{u}+\vec{v})=k\cdot \vec{u}+k\cdot\vec{v}

3 Distributiva respecto a los escalares

(k+k')\cdot \vec{u}= k\cdot \vec{u}+k'\cdot \vec{u}

4 Elemento neutro

1\cdot \vec{u}=\vec{u}

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Ejemplos de productos de vectores

1 Multiplique el vector \vec{u}=(8,6.3,5) por la constante 10.

10\cdot\vec{u} = 10\cdot (8,6.3,5)=(10\cdot 8, 10\cdot 6.3, 10\cdot 5)=(10,63,50)


2 Utilice la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores para determinar el valor de  3\cdot [(15,72)+(31,3)].

De acuerdo al punto 2 de la lista de propiedades, este producto es igual a3\cdot [(15,72)+(31,3)]=3\cdot (15,72) + 3\cdot (31,3) .A partir de aquí, simplificamos la expresión de la siguiente manera{ 3\cdot (15,72) + 3\cdot (31,3) = (3\cdot 15,3\cdot 72) + (3\cdot 31,3\cdot 3) = (138, 225) }

3 Utilice la propiedad distributiva respecto a los escalares para determinar el valor de  (22.5 + 49)\cdot (32, 101, 59.3) .

De acuerdo al punto 3 de la lista de propiedades, este producto es igual a (22.5 + 49)\boldsymbol{\cdot} (32, 101, 59.3) = 22.5 \boldsymbol{\cdot} (32, 101, 59.3) + 49 \boldsymbol{\cdot} (32, 101, 59.3)Podemos simplificar esta última expresión de la siguiente manera.

     \begin{eqnarray*} && 22.5 \boldsymbol{\cdot} (32, 101, 59.3) + 49 \boldsymbol{\cdot} (32, 101, 59.3) =\\ && (22.5 \boldsymbol{\cdot} 32, 22.5 \boldsymbol{\cdot} 101, 22.5 \boldsymbol{\cdot} 59.3)+ (49 \boldsymbol{\cdot} 32, 49 \boldsymbol{\cdot} 101, 49 \boldsymbol{\cdot} 59.3)=\\ && (720, 2272.5, 1334.25) + (1568, 4949, 2905.7)=\\ &&(2288, 7221.5, 4239.95)\\ \end{eqnarray*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗