Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

 

Elementos de la elipse

 

1Focos: Son los puntos fijos F y F'.

 

2 Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

 

3Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.

 

4Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

 

5Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

 

6Distancia focal: Es el segmento \overline{FF'} de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.

 

7Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'.

 

8Eje mayor: Es el segmento \overline{AA'} de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.

 

9Eje menor: Es el segmento \overline{BB'} de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.

 

10Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.

 

11Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.

 

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Vamos

Relación entre la distancia focal y los semiejes

 

ejemplo de la relacion entre la distancia focal y los semiejes

 

Viene dada por

 

a^2 = b^2 + c^2

 

Excentricidad

 

Es un número que mide en mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

 

e = \cfrac{c}{a}

 

con c \leq a, \ \ 0 \leq e \leq 1

 

Ecuación reducida

 

Si el eje principal está en el de abscisas se obtendrá la siguiente ecuación:

 

\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1

 

Las coordenadas de los focos son:

 

F'(-c, 0)  y  F(c, 0)

 

Elipse con los focos en el eje OY

 

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

 

\cfrac{y^2}{a^2} + \cfrac{x^2}{b^2} = 1

 

Las coordenadas de los focos son:

 

F'(0, -c)  y  F(0, c)

 

Elipse con eje paralelos a OX y centro distinto al origen

 

Si el centro de la elipse C(x_0,y_0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X_0 + c, y_0)  y  F'(X_0 - c, y_0). Y la ecuación de la elipse será:

 

\cfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \cfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1

 

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

 

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0

 

Donde A  y  B tienen el mismo signo.

 

Elipse con eje paralelo a OY y centro distinto al origen

 

Si el centro de la elipse C(x_0,y_0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X_0, y+c)  y  F'(X_0, y_0 - c). Y la ecuación de la elipse será:

 

\cfrac{(y - y_0)^2}{a^2} + \cfrac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1

 

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

 

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0

 

Donde A y B tienen el mismo signo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗