Definición de la distancia de un punto a un plano

 

La distancia de un punto, {P}, a un plano, {\pi}, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

El punto {P} y el plano {\pi} son de la forma:

{P(x_0,y_0,z_0) \quad \pi = Ax + By + Cz + D = 0}

y la fórmula de la distancia de un punto a un plano es:

{d(P,\pi) = \cfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}

 

Ejemplos

 

1 Hallar la distancia del punto {P(3, 1, -2)} a los planos {\pi_1 = 2x + y - z + 1 = 0} y {\pi_2 = 2y - 3 = 0}.

Comencemos por calcular la distancia del punto al plano {\pi_1}:

{d(P,\pi_1) = \cfrac{|2(3) + 1(1) -1(-2) + 1|}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}} = \cfrac{|6 + 1 + 2 + 1|}{\sqrt{2^2}} = \cfrac{10}{\sqrt{6}}

Ahora calculemos la distancia que hay del punto al segundo plano {\pi_2}:

{d(P,\pi_2) = \cfrac{|2(1) - 3|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2}} = \cfrac{|2-3|}{\sqrt{2}}= \frac{1}{2} }

 

2 Hallar la distancia del punto {Q(5, 5, 3)} al plano {\pi = (x,y,z) = (0,0,-4) + (2,2,-1)\lambda + (-3,2,0)\mu}.

 

Comenzamos por encontrar la ecuación del plano

{\left| \begin{matrix} x & 2 & -3 \\ y & 2 & 2 \\ z+4 & -1 & 0 \end{matrix} \right| = 0}

Resolviendo la matriz tenemos:

{x\left|\begin{matrix} 2& 2 \\ -1 & 0 \end{matrix}\right| - 2 \left|\begin{matrix} y & 2 \\ z + 4 & 0 \end{matrix}\right| -3 \left|\begin{matrix} y & 2 \\ z+4 & -1 \end{matrix}\right|}

{= 2x -2(-2z - 8) -3(-y - 2z -8) = 2x + 4z +16 +3y +6z + 24}

{= 2x + 3y + 10z + 40 = 0}

Encontramos ahora la distancia que hay del punto al plano

{d(Q,\pi) = \cfrac{|5(2) + 3(5) + 10(3) + 40|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 10^2}} = \cfrac{|10 + 15 + 30 + 40|}{\sqrt{4+9+100}} = \cfrac{95}{113}}

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Vamos

Distancia entre planos paralelos

 

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

Los planos paralelos tienen la siguiente forma:

 

{\pi_1 = Ax + By + Cz +D_1 = 0 \quad \pi_2 = Ax + By + Cz +D_2 = 0 }

 

Y la fórmula para calcular la distancia entre ellos es la siguiente

{d(\pi_1, \pi_2) = \cfrac{D_2 - D_1}{\sqrt{A^2+B^2 + C^2}}}

Ejemplo

 

Calcular la distancia entre los planos {\pi_1 = 2x - y - 2z + 5 = 0} y {\pi_2 = 4x - 2y - 4z + 15 = 0}.

 

Comenzamos por verificar que los planos sean paralelos entonces dividimos los coeficientes equivalentes de cada ecuación, es decir,

{\frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} = \frac{-2}{-4} \neq \frac{5}{15}}

Los coeficientes de {x,y} y {z} son iguales y el coeficiente {D} es diferente, por lo tanto, sí son planos paralelos.

Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal, es decir, la dividimos por 2.

 

{\pi_2 = 2x - y - 2z + \frac{15}{2} = 0}

 

Ahora sí podemos calcular la distancia entre los dos planos paralelos

{d(\pi_1, \pi2) = \cfrac{|\frac{15}{2}-5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \cfrac{|\frac{5}{2}|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{6}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗