Name: Distancia entre dos rectas
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Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas que se cruzan
Ejercicio

Distancia entre rectas paralelas

La distancia de una recta $r$ a otra paralela $s$ , es la distancia desde un punto cualquiera de $r$ a $s$ .

distancia entre dos rectas paralelas

La fórmula que nos permite encontrar la distancia entre dos rectas es

$d(r, s) = d(A, s) = \cfrac{\left|\vec{u} \times \overrightarrow{AB}\right|}{|\vec{u}|}$

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Distancia entre rectas que se cruzan

La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común. Sean $(A, \vec{u})$ y $(B, \vec{v})$ las determinaciones lineales de las rectas $r$ y $s$ .

distancia entre rectas que se cruzan

Los vectores $\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}$ determinan un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.

El volumen de un paralelepípedo es igual al área de su base por la altura.

$V = A_b \cdot h$ .

Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:

$d(r, s) = h = \cfrac{V}{A_b} = \cfrac{|\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Ejercicio

1Hallar la mínima distancia entre las rectas:

$r \equiv \cfrac{x + 8}{2} = \cfrac{y - 10}{3} = \cfrac{z - 6}{1}, \ \ \ \ s \equiv \cfrac{x - 1}{-1} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z - 1}{4}$

1Encontramos la determinación lineal de la recta $r$

$A(-8, 10, 6), \ \ \ \ \vec{u} = (2, 3, 1)$

2Encontramos la determinación lineal de la recta $s$

$B(1, 1, 1), \ \ \ \ \vec{v} = (-1, 2, 4)$

3Calculamos el vector $\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB} = (1 + 8, 1 - 10, 1 - 6) = (9, -9, -5)$

4Calculamos el volumen del paralelepípedo

$\begin{array}{rcl}V & = &|\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}| \\\\ & = & \left | \begin{array}{ccc} 9 & -9 & -5 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{array} \right | \\\\ & = & 9 \left | \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right | + 9 \left | \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{array} \right | - 5 \left | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right | \\\\ & = & 9 \cdot 10 + 9 \cdot 9 - 5 \cdot 7 \\\\ & = & 136 \end{array}$

5Calculamos el área de la base del paralelepípedo, para esto requerimos el producto vectorial de los vectores directores

$\begin{array}{rcl} \vec{u} \times \vec{v} & = & \left | \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{array} \right | \\\\ & = & \left | \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right | \vec{i} - \left | \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{array} \right | \vec{j} + \left | \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right | \vec{k} \\\\ & = & 10 \vec{i} - 9 \vec{j} + 7 \vec{k} \end{array}$

Luego el área de la base es

$A_b = |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{10^2 + (-9)^2 + 7^2} = \sqrt{230}$

6Así, la distancia viene dada por la altura el paralelepipedo los vértices son: $A(7, 4), B(5, 0), C(-1, 2)$

$d(r, s) = \cfrac{V}{A_b} = \cfrac{136}{\sqrt{230}} = \cfrac{68 \sqrt{230}}{115}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Bjork Colorado

Enero 2021

AYUDENME, NO HE PODIDO
La distancia entre dos rectas es de 5 unidades estas rectas son :
a. 2x+y=22 y 2x+4y=12
b.2x+y=25 y -2x+y=12
c.2x+y=2 y 2x+y=-3
d.2x+2y=2 y yx+2y=-3

florez

Junio 2020

Halle la ecuación del plano que pasa por P y tiene a n⃗ como una normal.
P(2,6,1); n⃗ ↔(1, 4, 2).

por favor me ayudan

Gaspar Leon

Julio 2020

Hola,

recuerda que la normal es perpendicular al plano, eso quiere decir que si tomamos un vector en el plano y realizamos el producto punto con la normal, el resultado es cero. Tenemos la normal y solamente un punto del plano. Para encontrar el vector en el plano consideramos un punto arbitrario (x,y,z) y calculamos el vector v con extremos (2, 6, 1) y (x,y,z)

v=(x,y,z)-(2,6,1)=(x-2,y-6,z-1)

Calculamos el producto punto de n con v e igualamos a cero, n·v=0
(1,4,2) · (x-2,y-6,z-1)=0
(x-2)+4(y-6)+2(z-1)=0
x+4y+2z-28=0

Así, la ecuación del plano solicitado es
x+4y+2z=28

Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

SANTIAGO LISSA

Mayo 2020

MUCHAS GRACIAS
TE AMO
ME SALVASTE DE UNA GRANDE
BUENÍSIMA EXPLICACIÓN
MIL MIL MIL GRACIAS!!!!!!!!

Superprof

Mayo 2020

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