1
Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.

Consideremos la siguiente representación grafica del problema.
 

Punto medio de un paralelogramo

 
Notemos que el punto M por un lado es el punto medio de los puntos A y C, entonces
 

    $$(0,0,1)=\left(\cfrac{1+x_{c}}{2},\cfrac{0+y_{c}}{2},\cfrac{0+z_{c}}{2}\right).$$

 
De esta forma podemos plantear las siguientes ecuaciones para encontrar las coordenadas del punto C.
 

    $$0=\cfrac{1+x_{c}}{2},\quad 0=\cfrac{0+y_{c}}{2},\quad 1=\cfrac{0+z_{c}}{2}.$$

 

    $$x_{c}=-1,\quad y_{c}=0,\quad z_{c}=2.$$

 

    $$C=(-1,0,2).$$

 
De manera similar procedemos para encontrar las coordenadas del punto D.
 

    $$(0,0,1)=\left(\cfrac{0+x_{D}}{2},\cfrac{1+y_{D}}{2},\cfrac{0+z_{D}}{2}\right).$$

 
De esta forma podemos plantear las siguientes ecuaciones para encontrar las coordenadas del punto D.
 

    $$0=\cfrac{0+x_{D}}{2},\quad 0=\cfrac{1+y_{D}}{2},\quad 1=\cfrac{0+z_{D}}{2}.$$

 

    $$x_{D}=0,\quad y_{D}=-1,\quad z_{D}=2.$$

 

    $$D=(0,-1,2).$$

2
Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, −1, 5) y C(5, 5, 4), hallar:

1Las ecuaciones de las medianas del triángulo

2Las coordenadas del baricentro del triángulo.

3Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.

Consideremos la siguiente representación grafica del problema
 

Centro de un triángulo

 
1Para hallar las medianas del triángulo primero hallaremos los puntos medios de los lados del triángulo
 

    $$P\left(\cfrac{2+1}{2},\cfrac{3-1}{2},\cfrac{4+5}{2}\right),\quad P\left(\cfrac{3}{2},1,\cfrac{9}{2}\right).$$

 

    $$M\left(\cfrac{2+5}{2},\cfrac{3+5}{2},\cfrac{4+4}{2}\right),\quad M\left(\cfrac{7}{2},4,4\right).$$

 

    $$N\left(\cfrac{1+5}{2},\cfrac{-1+5}{2},\cfrac{5+4}{2}\right),\quad N\left(3,2,\cfrac{9}{2}\right).$$

 
Ahora hallaremos el vector director de las medianas
 

    $$\vec{NA}=\left(2-3,3-2,4-\cfrac{9}{2}\right)=\left(-1,1,-\cfrac{1}{2}\right),$$

 

    $$\vec{MB}=\left(1-\cfrac{7}{2},-1-4,5-4\right)=\left(-\cfrac{5}{2},-5,1\right),$$

 

    $$\vec{PC}=\left(5-\cfrac{3}{2},5-1,4-\cfrac{9}{2}\right)=\left(\cfrac{4}{2},4,-\cfrac{1}{2}\right).$$

 
Con estas ecuaciones y los puntos A,B y C podemos plantear las ecuaciones de las medianas
 

    $$r=\begin{cases}x=2-\lambda\\ y=3+\lambda\\ z=4-\cfrac{1}{2}\lambda\end{cases}$$

 

    $$s=\begin{cases}x=1-\cfrac{1}{5}\lambda\\ y=-1-5\lambda\\ z=5+\lambda\end{cases}$$

 

    $$t=\begin{cases}x=5+\cfrac{7}{2}\lambda\\ y=5+4\lambda\\ z=4-\cfrac{1}{2}\lambda\end{cases}$$

 
2Las coordenadas del baricentro del triángulo.
 

    $$G\left(\cfrac{2+1+5}{3},\cfrac{3-1+5}{3},\cfrac{4+5+4}{3}\right),\quad G\left(\cfrac{8}{3},\cfrac{7}{3},\cfrac{13}{3}\right).$$

 
3Las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.
 

    $$G'\left(\cfrac{\cfrac{3}{2}+\cfrac{7}{2}+3}{3},\cfrac{1+4+2}{3},\cfrac{\cfrac{9}{2}+4+\cfrac{9}{2}}{3}\right),\quad G'\left(\cfrac{8}{3},\cfrac{7}{3},\cfrac{13}{3}\right).$$

 

Los baricentros de los dos triángulos coinciden.

3
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 4) y B(8, −2, 3). Estudiar si el punto C(2, 1, 3) está alineado con A y B.

Para hallar la recta que pasa por los puntos A y B debemos encontrar el vector director
 

    $$\vec{AB}=\left(8-2,-2-3,3-4\right)=(6,-5,-1).$$

 
La ecuación de la recta es
 

    $$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y-3}{-5}=\cfrac{z-4}{-1}.$$

 

Para que el punto C este alineado con A y B, debe pertenecer a la recta que pasa por A y B.

 

    $$\cfrac{2-2}{6}\neq\cfrac{1-3}{-5}\neq\cfrac{3-4}{-1}.$$

 

Como C no satisface las ecuaciones de la recta, no está alineado con A y B.

4
Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, -3), B(2, m, 1) y C(5, 3, -2) estén alineados y hallar las ecuaciones de la recta que los contiene.

Primero determinamos el valor de los vectores \vec{AC} y \vec{BC},
 

    $$\vec{BC}=\left(5-2,3-m,-2-1\right)=(3,3-m,-3).$$

 

    $$\vec{AC}=\left(5-m,1,1\right).$$

 
Para que esten alineados debemos tener
 

    $${\rm rango}(\vec{BC},\vec{AC})=1.$$

 
Igualando a cero el determinante de los menores la siguiente matriz podemos calcular el valor de m,
 

    $$\begin{pmatrix}5-m&1&1\\ 3&3-m&-3\end{pmatrix}.$$

 
En particular tenemos
 

    $$\begin{vmatrix}5-m&1\\ 3&-3\end{vmatrix}=0.$$

 

    $$-15+3m-3=0,\quad m=6.$$

5
Determinar el valor de x para que los puntos A(0, 0, 1), B(0, 1, 2), C(−2, 1, 3) y D(x, x-1, 2) sean coplanarios.

Primero hallamos los vectores determinados por los puntos
 

    $$\vec{AB}=\left(0-0,1-0,2-1\right)=(0,1,1),$$

 

    $$\vec{AC}=\left(-2-0,1-0,3-1\right)=(-2,1,2),$$

 

    $$\vec{AD}=\left(x-0,x-1,1\right)=(x,x-1,1).$$

 

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por ellos también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

 

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

 

    $$\begin{vmatrix}0&1&1\\ -2&1&2\\ x&x-1&1\end{vmatrix}=0.$$

 

    $$2x-2x+2-x+2=0,\quad x=4.$$

6
¿Qué en relación se ha de verificar entre los parámetros a, b y c para que los puntos A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1) y D(a, b, c) sean coplanarios?

Primero hallamos los vectores determinados por los puntos
 

    $$\vec{AB}=\left(1-1,1-0,0-1\right)=(0,1,-1),$$

 

    $$\vec{AC}=\left(0-1,1-0,1-1\right)=(-1,1,0),$$

 

    $$\vec{AD}=\left(a-1,b-0,c-1\right)=(a-1,b,c-1).$$

 

Para que los puntos sean coplanarios, los vectores determinados por ellos también han de ser coplanarios, es decir, que el rango de los vectores sea 2.

 

Para que el rango sea igual a 2, el determinante de las componentes de los vectores ha de ser igual a cero.

 

    $$\begin{vmatrix}0&1&-1\\ -1&1&0\\ a-1&b&c-1\end{vmatrix}=0.$$

 

    $$b+a-1+c-1=0,\quad a+b+c=2.$$

7
Calcular el valor de a para que los puntos A(a, 0, 1), B(0, 1, 2), C(1, 2, 3) y D(7, 2, 1) sean coplanarios. Calcular también la ecuación del plano que los contiene.

Fijamos el punto B y calculamos los siguientes vectores con punto inicial B,
 

    $$\vec{BA}=\left(a-0,0-1,1-2\right)=(a,-1,-1),$$

 

    $$\vec{BC}=\left(1-0,2-1,3-2\right)=(1,1,1),$$

 

    $$\vec{BD}=\left(7-0,2-1,1-2\right)=(7,1,-1).$$

 
Estos vectores deben cumplir {\rm rango}(\vec{BA},\vec{BC},\vec{BD})=2, por tanto el siguiente determinante debe ser cero,
 

    $$\begin{vmatrix}a&-1&-1\\ 1&1&1\\ 7&1&-1\end{vmatrix}=0.$$

 

    $$-a-7-1+7-1-a=0,\quad a=-1.$$

 
Finalmente, para hallar la ecuación del plano consideraremos los siguientes vectores y el siguiente determinante,
 

    $$B=(0,1,2),\quad \vec{BC}=\left(1,1,1\right),\quad \vec{BD}=(7,1,-1),$$

 

    $$\begin{vmatrix}x&1&7\\ y-1&1&1\\ z-2&1&-1\end{vmatrix}=0.$$

 

    $$-2x+8y-6z+4=0,\quad x-4y+3z-2=0.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗