Dos radicales son equivalentes si sus potencias fraccionarias asociadas también lo son.

 

Ejemplo: {\sqrt[3]{x^2}} y {\sqrt[6]{x^4} } son radicales equivalentes. Para verificar, escribimos ambos radicales en potencias fraccionarias

 

{\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{x^2} & = & x^{\frac{2}{3}} \\\\ \sqrt[6]{x^4} & = & x^{\frac{4}{6}} \end{array} }

 

Los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{2}{3}} y {\displaystyle \frac{4}{6}} son equivalentes, ya que el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios

 

Construcción de radicales equivalentes

Para construir radicales equivalentes basta construir potencias fraccionarias equivalentes, las cuales pueden obtenerse de dos formas: amplificar y simplificar.

 

Amplificación de radicales

 

Se obtiene multiplicando el numerador y el denominador del exponente fraccionario por un mismo número distinto de cero

 

{\sqrt[7]{3} = 3^{\frac{1}{7}} = 3^{\frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2}} = 3^{\frac{2}{14}} = \sqrt[14]{3^2} = \sqrt[14]{9}}

 

Simplificación de radicales

 

Se obtiene dividiendo el numerador y el denominador del exponente fraccionario por un mismo número distinto de cero

 

{\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{2 : 2}{4 : 2}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}}

 

Para amplificar y simplificar un radical, no es necesario expresarlo en forma fraccionaria; basta con multiplicar o dividir por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz.

 

{\sqrt[7]{3} = \sqrt[7 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[14]{3^2} = \sqrt[14]{9}}

{\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = \sqrt[4 : 2]{3^{2 : 2}} = \sqrt{3}}

 

Si la fracción de la potencia asociada es irreducible, se dice que el radical es irreducible.

 

Ejercicios propuestos

1Verifica si los siguientes radicales son equivalentes

 

1{\sqrt[3]{25}, \ \ \sqrt[9]{125^2}}

 

2{\sqrt[3]{\displaystyle \frac{25}{4}}, \ \ \sqrt[6]{\left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )^4}}

 

3{\sqrt[7]{5x^2}, \ \ \sqrt[14]{5^2 x^4}}

 

4{\sqrt[5]{x^4 y^8}, \ \ \sqrt[7]{x^6 y^{12}}

 

5{\sqrt[3]{9}, \ \ \sqrt[6]{9^3}}

1{\sqrt[3]{25}, \ \ \sqrt[9]{125^2}}

Primero expresamos ambos radicales en notación fraccionaria

 

{\begin{array}{l} \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}},  \\\\ \sqrt[9]{125^2} = \sqrt[9]{(5^3)^2} = \sqrt[9]{5^6} = 5^{\frac{6}{9}} \end{array} }

 

Verificamos si los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{2}{3}, \ \frac{6}{9} \ } son equivalentes

 

{ 2 \cdot 9 = 3 \cdot 6 \ \ \  \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{6}{9} } son equivalentes

 

Así, los radicales son equivalentes.

 

2{\sqrt[3]{\displaystyle \frac{25}{4}}, \ \ \sqrt[6]{\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^4}}

 

Expresamos ambos radicales en notación fraccionaria

 

{\begin{array}{l} \sqrt[3]{\displaystyle \frac{25}{4}} = \sqrt[3]{\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^2} = \left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )^{\frac{2}{3}}, \\\\  \sqrt[6]{\left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )^4} = \left ( \displaystyle \frac{5}{2} \right )^{\frac{4}{6}} \end{array} }

 

Verificamos si los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{2}{3}, \ \frac{4}{6} \ } son equivalentes

 

{ 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{4}{6}} son equivalentes

 

Así, los radicales son equivalentes.

 

3{\sqrt[7]{5x^2}, \ \ \sqrt[14]{5^2 x^4}}

 

Expresamos ambos radicales en notación fraccionaria

 

{\begin{array}{l} \sqrt[7]{5x^2} = \left ( 5x^2 \right )^{\frac{1}{7}}, \\\\ \sqrt[14]{5^2 x^4} = \left (5x^2 \right )^{\frac{2}{14}} \end{array} }

 

Verificamos si los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{1}{7}, \ \frac{2}{14} \ } son equivalentes

 

{ 1 \cdot 14 = 7 \cdot 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{7} = \frac{2}{14}} son equivalentes

 

Así, los radicales son equivalentes.

 

4{\sqrt[5]{x^4 y^8}, \ \ \sqrt[7]{x^6 y^{12}}

 

Expresamos ambos radicales en notación fraccionaria

 

{\begin{array}{l} \sqrt[5]{x^4 y^8} = \left ( x y^2 \right )^{\frac{2}{5}}, \\\\ \sqrt[7]{x^6 y^{12}} = \left (x y^2 \right )^{\frac{6}{7}} \end{array} }

 

Verificamos si los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{2}{5}, \ \frac{6}{7} \ } son equivalentes

 

{ 2 \cdot 7 \neq 5 \cdot 6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{7} \neq \frac{2}{14}} no son equivalentes

 

Así, los radicales no son equivalentes.

 

5{\sqrt[3]{9}, \ \ \sqrt[6]{9^3}}

 

Primero expresamos ambos radicales en notación fraccionaria

 

{\begin{array}{l} \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}, \\\\ \sqrt[6]{9^3} = \sqrt[6]{(3^2)^3} = \sqrt[6]{3^6} = 3^{\frac{6}{6}} \end{array} }

 

Verificamos si los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{2}{3}, \ \frac{6}{6} \ } son equivalentes

 

{ 2 \cdot 6 \neq 3 \cdot 6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{2}{3} \neq \frac{6}{6} } no son equivalentes

 

Así, los radicales no son equivalentes.

 

2Para los siguientes radicales, encuentra radicales equivalentes mediante amplificación.

 

1{\sqrt[3]{7}}

 

2{\sqrt[5]{\displaystyle \frac{25}{4}}}

 

3{\sqrt[4]{3x^2}}

1{\sqrt[3]{7}}

Multiplicamos por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 2]{7^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{49}}

{\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 3]{7^{1 \cdot 3}} = \sqrt[9]{7^3} = \sqrt[9]{343}}

{\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 5]{7^{1 \cdot 5}} = \sqrt[15]{7^5} = \sqrt[15]{16,807}}

 

2{\sqrt[5]{\displaystyle \frac{25}{4}}}

 

Multiplicamos por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[5]{\displaystyle \frac{25}{4}} = \sqrt[5 \cdot 2]{\left ( \displaystyle \frac{25}{4} \right )^{1 \cdot 2}} = \sqrt[10]{\left ( \displaystyle \frac{25}{4} \right )^2} = \sqrt[10]{\displaystyle \frac{625}{16}}}

{\sqrt[5]{\displaystyle \frac{25}{4}} = \sqrt[5 \cdot 3]{\left ( \displaystyle \frac{25}{4} \right )^{1 \cdot 3}} = \sqrt[15]{\left ( \displaystyle \frac{25}{4} \right )^3} = \sqrt[15]{\displaystyle \frac{15,625}{64}}}

{\sqrt[5]{\displaystyle \frac{25}{4}} = \sqrt[5 \cdot 4]{\left ( \displaystyle \frac{25}{4} \right )^{1 \cdot 4}} = \sqrt[20]{\left ( \displaystyle \frac{25}{4} \right )^4} = \sqrt[20]{\displaystyle \frac{390,625}{256}}}

 

3{\sqrt[4]{3x^2}}

 

Multiplicamos por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[4]{3x^2} = \sqrt[4 \cdot 2]{\left ( 3x^2 \right )^{1 \cdot 2}} = \sqrt[8]{\left ( 3x^2 \right )^2} = \sqrt[8]{9x^4}}

{\sqrt[4]{3x^2} = \sqrt[4 \cdot 3]{\left ( 3x^2 \right )^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{\left ( 3x^2 \right )^3} = \sqrt[12]{27x^6}}

{\sqrt[4]{3x^2} = \sqrt[4 \cdot 4]{\left ( 3x^2 \right )^{1 \cdot 4}} = \sqrt[16]{\left ( 3x^2 \right )^4} = \sqrt[16]{81x^8}}

3Para los siguientes radicales, encuentra radicales equivalentes mediante simplificación.

 

1{\sqrt[24]{531,441}}

 

2{\sqrt[60]{\displaystyle \frac{4,096}{81^6}}}

 

3{\sqrt[48]{4,096x^{24}}}

1{\sqrt[12]{531,441}}

Dividimos por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[24]{531,441} = \sqrt[24]{3^{12}} = \sqrt[24 : 2]{3^{12 : 2}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}}

{\sqrt[24]{531,441} = \sqrt[24]{3^{12}} = \sqrt[24 : 3]{3^{12 : 3}} = \sqrt[8]{3^4} = \sqrt[8]{81}}

{\sqrt[24]{531,441} = \sqrt[24]{3^{12}} = \sqrt[24 : 4]{3^{12 : 4}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}}

 

2{\sqrt[60]{\displaystyle \frac{4,096}{81^6}}}

 

Dividimos por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[60]{\displaystyle \frac{4,096}{81^6}} = \sqrt[60]{\displaystyle \frac{2^{12}}{ \left (3^4 \right )^6}} = \sqrt[60]{\displaystyle \frac{2^{12}}{(3)^{24}}} = \sqrt[60]{\displaystyle \left ( \frac{2}{3^2} \right )^{12}} = \sqrt[60 : 2]{\left ( \displaystyle \frac{2}{3^2} \right )^{12 : 2}} = \sqrt[30]{\left ( \displaystyle \frac{2}{3^2} \right )^6} = \sqrt[30]{\displaystyle \frac{64}{531,441}}}

{\sqrt[60]{\displaystyle \frac{4,096}{81^6}} = \sqrt[60]{\displaystyle \frac{2^{12}}{ \left (3^4 \right )^6}} = \sqrt[60]{\displaystyle \frac{2^{12}}{(3)^{24}}} = \sqrt[60]{\displaystyle \left ( \frac{2}{3^2} \right )^{12}} = \sqrt[60 : 3]{\left ( \displaystyle \frac{2}{3^2} \right )^{12 : 3}} = \sqrt[20]{\left ( \displaystyle \frac{2}{3^2} \right )^4} = \sqrt[20]{\displaystyle \frac{16}{6,561}}}

{\sqrt[60]{\displaystyle \frac{4,096}{81^6}} = \sqrt[60]{\displaystyle \frac{2^{12}}{ \left (3^4 \right )^6}} = \sqrt[60]{\displaystyle \frac{2^{12}}{(3)^{24}}} = \sqrt[60]{\displaystyle \left ( \frac{2}{3^2} \right )^{12}} = \sqrt[60 : 4]{\left ( \displaystyle \frac{2}{3^2} \right )^{12 : 4}} = \sqrt[15]{\left ( \displaystyle \frac{2}{3^2} \right )^3} = \sqrt[15]{\displaystyle \frac{8}{729}}}

 

3{\sqrt[48]{4,096x^{24}}}

 

Dividimos por un mismo número al exponente del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[48]{4,096x^{24}} = \sqrt[48]{2^{12}x^{24}} = \sqrt[48]{ \left (2x^2 \right )^{12}} = \sqrt[48 : 2]{ \left (2x^2 \right )^{12 : 2}} = \sqrt[24]{ \left (2x^2 \right )^6} = \sqrt[24]{64x^{12}}}

{\sqrt[48]{4,096x^{24}} = \sqrt[48]{2^{12}x^{24}} = \sqrt[48]{ \left (2x^2 \right )^{12}} = \sqrt[48 : 3]{ \left (2x^2 \right )^{12 : 3}} = \sqrt[16]{ \left (2x^2 \right )^4} = \sqrt[16]{16x^8}}

{\sqrt[48]{4,096x^{24}} = \sqrt[48]{2^{12}x^{24}} = \sqrt[48]{ \left (2x^2 \right )^{12}} = \sqrt[48 : 4]{ \left (2x^2 \right )^{12 : 4}} = \sqrt[12]{ \left (2x^2 \right )^3} = \sqrt[12]{8x^6}}

4Verificar si son equivalentes los radicales {\sqrt[3]{x^2 - x}, \ \ \sqrt[6]{x^4 - 2x^3 + x^2}}.

 

Expresamos el primer radical en notación fraccionaria, para ello factorizamos el radicando

 

{\sqrt[3]{x^2 - x} = \sqrt[3]{x(x - 1)} = [x(x - 1)]^{\frac{1}{3}}}

 

Expresamos el segundo radical en notación fraccionaria, para ello factorizamos el radicando

 

{\sqrt[6]{x^4 - 2x^3 + x^2} = \sqrt[6]{x^2 (x^2 - 2x + 1)} = \sqrt[6]{x^2 (x - 1)^2} = [x(x - 1)]^{\frac{2}{6}}}

 

Verificamos si los exponentes fraccionarios {\displaystyle \frac{1}{3}, \ \frac{2}{6} \ } son equivalentes

 

{ 1 \cdot 6 = 3 \cdot 2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} } son equivalentes

 

Así, los radicales son equivalentes.

 

5Usando simplificación de radicales, encuentra un radical equivalente a {\sqrt[4]{\displaystyle \left( \frac{x^4 - x^2}{x^4 - x}\right)^2}}.

 

Tenemos que encontrar un radical equivalente a {\sqrt[4]{\displaystyle \left (\frac{x^4 - x^2}{x^4 - x} \right )^2}}

 

Factorizamos el numerador del radicando sin elevar al cuadrado

 

{\begin{array}{rcl} x^4 - x^2 & = & x^2 \left (x^2 - 1 \right ) \\\\ & = & x^2 (x - 1) (x + 1) \end{array}}

 

Factorizamos el denominador del radicando sin elevar al cuadrado

 

{\begin{array}{rcl} x^4 - x & = & x \left (x^3 - 1 \right ) \\\\ & = & x (x - 1) \left (x^2 + x + 1 \right ) \end{array}}

 

Simplificamos el radicando sin elevar al cuadrado

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{x^4 - x^2}{x^4 - x} & = & \displaystyle \frac{x^2 (x - 1) (x + 1)}{x (x - 1) \left (x^2 + x + 1 \right )} \\\\ & = & \displaystyle \frac{x (x+1)}{x^2 + x + 1} \end{array}}

 

Escribimos el radical con su radicando simplificado

{\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{\displaystyle \left (\frac{x^4 - x^2}{x^4 - x} \right )^2} & = & \sqrt[4]{\left ( \displaystyle \frac{x (x+1)}{x^2 + x + 1} \right )^2} \\\\ & = & \sqrt[4 : 2]{\left ( \displaystyle \frac{x (x+1)}{x^2 + x + 1} \right )^{2 : 2}} \\\\ & = & \sqrt[]{\displaystyle \frac{x (x+1)}{x^2 + x + 1}} \end{array} }

 

Así, se obtiene que los radicales son equivalentes.

 

6Usando simplificación de radicales, encuentra un radical equivalente a {\sqrt[4]{x^2-6x+9}}.

 

Tenemos que encontrar un radical equivalente a {\sqrt[4]{x^2-6x+9}}

 

Factorizamos el radicando

 

{\begin{array}{rcl} x^2 - 6x + 9 & = & \left (x - 3 \right )^2 \end{array}}

 

Escribimos el radical con su radicando simplificado

{\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{x^2-6x+9} & = & \sqrt[4]{\left ( x - 3 \right )^2} \\\\ & = & \sqrt[4 : 2]{\left ( x - 3 \right )^{2 : 2}} \\\\ & = & \sqrt[]{x - 3}} \end{array} }

 

Así, se obtiene que los radicales son equivalentes.

 

7Indica si es irreducible el radical {\sqrt[4]{x^2-6x+9}}.

 

Factorizamos el radicando

 

{\begin{array}{rcl} x^2 - 6x + 9 & = & \left (x - 3 \right )^2 \end{array}}

 

Escribimos el radical en forma fraccionaria

{\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{x^2-6x+9} & = & \sqrt[4]{\left ( x - 3 \right )^2} \\\\ & = & \left ( x - 3 \right )^{\frac{2}{4}} \end{array} }

 

La fracción de la potencia asociada no es irreducible, luego el radical no es irreducible

 

8Indica si es irreducible el radical {\sqrt[3]{x^2-6x+9}}.

 

Factorizamos el radicando

 

{\begin{array}{rcl} x^2 - 6x + 9 & = & \left (x - 3 \right )^2 \end{array}}

 

Escribimos el radical en forma fraccionaria

{\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{x^2-6x+9} & = & \sqrt[3]{\left ( x - 3 \right )^2} \\\\ & = & \left ( x - 3 \right )^{\frac{2}{3}} \end{array} }

 

La fracción de la potencia asociada es irreducible, luego el radical es irreducible

 

9Usando amplificación de radicales, encuentra un radical equivalente a {\sqrt[4]{x^2 y^3 z}}.

 

Tenemos que encontrar un radical equivalente a {\sqrt[4]{x^2 y^3 z}} empleando amplificación de radicales

 

multiplicamos por un mismo número los exponentes del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[4]{x^2 y^3 z} = \sqrt[4 \cdot 2]{\left( x^2 y^3 z \right)^{1 \cdot 2}}=\sqrt[8]{x^4 y^6 z^2}}

 

10Usando simplificación de radicales, encuentra un radical equivalente a {\sqrt[6]{x^2 y^4 z^2}}.

 

Tenemos que encontrar un radical equivalente a {\sqrt[6]{x^2 y^4 z^2}} empleando simplificación de radicales

 

Dividimos por un mismo número los exponentes del radicando y el índice de la raíz

 

{\sqrt[6]{x^2 y^4 z^2} = \sqrt[6]{\left( x y^2 z \right)^2}=\sqrt[6:2]{\left(x y^2 z\right)^{2:2}} = \sqrt[3]{x y^2 z}}

 

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Gaspar

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