1 Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un
radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas,
¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

Primero notemos que estas son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más radio dará menos vueltas. Si x representa el valor de vueltas buscado, del siguiente diagrama obtenemos que

    $$\begin{matrix} 25 \:\text{cm}    & \longrightarrow  &300 \:\text{vueltas}\\ 75 \:\text{cm}    & \longrightarrow &  x \:\text{vueltas}\\ \end{matrix}$$

la porción de vueltas es igual a la porción de radio en el siguiente sentido

    $$\cfrac{75}{25}=\cfrac{300}{x}$$

Por lo tanto el valor de x es

    $$x=\cfrac{300\cdot 25}{75}=100\:\text{vueltas}.$$

2 Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 €.
¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?

A más personas mayor costo y más días mayor costo también, por tanto son magnitudes directamente proporcionales. Sea x el valor de costo que estamos buscando, entonces

    $$\begin{matrix} 6 \:\text{personas}    & \longrightarrow  &12 \:\text{días}&\longrightarrow &  792 \text{€}\\ 15 \:\text{personas}    & \longrightarrow &  8 \:\text{días}&\longrightarrow &  x \text{€}\\ \end{matrix}$$

Por lo tanto la porción de personas multiplicada por la porción de días es igual a la porción de dinero, esto es,

    $$\cfrac{6}{15}\cdot\cfrac{12}{8}=\cfrac{792}{x}.$$

Ahora despejamos el valor de x

    $$x=\cfrac{15\cdot 8\cdot 792}{6\cdot 12}=1320 \text{€}.$$

De esta forma el hotel para 15 personas por ocho días costará 1320 €.

3 Si con 12 botes de  \frac{1}{2}l  de pintura cada uno se han pintado 90m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2l  de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

Cuanta más pintura tenga un bote menos botes necesitaremos. Son magnitudes inversamente proporcionales.Cuanta más superficie tengamos que pintar más botes necesitaremos. Son magnitudes directamente proporcionales.

Esta información nos permite plantear el siguiente diagrama

    $$\begin{matrix} \frac{1}{2}l \:\text{personas}    & \longrightarrow  &90\cdot 0.8 \:\text{m}^2&\longrightarrow &  12\: \text{botes}\\ 2l \:\text{personas}    & \longrightarrow &  200\cdot 1.2 \:\text{m}^{2}&\longrightarrow &  x \:\text{botes}\\ \end{matrix}$$

En este caso tenemos que x representa el número de botes de pintura que necesitamos. En la columna de la mitad del digrama hemos pasado a la longitud de la verja a metros y hemos calculado el área de dicha verja multiplicando la altura por la longitud.

Ahora despejamos el valor de x de la siguiente ecuación

    $$\cfrac{2}{0.5}\cdot\cfrac{90\cdot 0.8}{200\cdot 1.2}=\cfrac{12}{x},$$

    $$x=\cfrac{12\cdot 0.5\cdot 200\cdot 1.2}{2\cdot 90\cdot 0.8}=10\:\text{botes}.$$

4 11 obreros labran un campo rectangular de 220m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

A más superficie más días necesitaremos. Son magnitudes directamente proporcionalesA más días menos obreros necesitaremos. Son magnitudes inversamente proporcionales

Así tenemos el siguiente diagrama

    $$\begin{matrix} 220\cdot 48 \:\text{m}^2    & \longrightarrow  & 6 \:\text{días} &\longrightarrow &  11\: \text{obreros}\\ 300\cdot 56 \:\text{m}^2    & \longrightarrow &  5 \:\text{días}&\longrightarrow &  x \:\text{obreros}\\ \end{matrix}$$

En el planteamiento de diagrama en la primera columna hemos calculado el área del campo, multiplicando el ancho por el largo. Ahora debemos despejar el valor de x de la siguiente ecuación

    $$\cfrac{220\cdot 48}{300\cdot 56}\cdot \cfrac{5}{6}=\cfrac{11}{x},$$

    $$x=\cfrac{300\cdot 56\cdot 6\cdot 11}{220\cdot 48\cdot 5}=21\:\text{obreros}.$$

Esto significa que necesitamos para 21 obreros para labrar el campo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días.

5 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400\text{m}^3 de capacidad.
¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500\text{m}^3 cada uno?

A más grifos menos horas. Son magnitudes inversamente proporcionalesA más depósitos más horas. Son magnitudes directamente proporcionales

A más \text{m}^{3} más horas. Son magnitudes directamente proporcionales

Con esta información podemos plantear el siguiente diagrama

    $$\begin{matrix} 6\:\text{grifos}    & \longrightarrow  & 10 \:\text{horas} &\longrightarrow &  1\: \text{deposito}&\longrightarrow &  400\: \text{m}^3\\ 4 \:\text{grifos}    & \longrightarrow &  x \:\text{horas}&\longrightarrow &  2 \:\text{deposito}&\longrightarrow &  500\: \text{m}^3\\ \end{matrix}$$

Estas 4 cantidades en proporción se relacionan de la siguiente manera

    $$\cfrac{10}{x}=\cfrac{4}{6}\cdot \cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{400}{500},$$

despejando el valor x de horas tenemos que

    $$x=\cfrac{6000}{1600}=37.5\:\text{horas}.$$

Concluimos que cuatro grifos tardan 37.5 horas en llenar 2 depósitos de 500\text{m}^3.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗