Números racionales

Los números racionales son aquellos que pueden representarse mediante el cociente de dos números enteros, o de manera mas precisa son aquellos que pueden representarse como el cociente de un número entero y uno natural positivo, es decir, podemos escribirlo como \frac{a}{b} con a, b enteros y b \neq 0 .

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Vamos

Números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, es decir es un número que no puede ser expresado como una fracción \frac{a}{b} con a, b enteros y b \neq 0 .

Números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, y es denotado  \mathbb{R} .

Hay operaciones que no es posible hacer en el conjunto de los números reales, por ejemplo,

  • radicación con índice par y radicando negativo, en este caso no hay solución en el conjunto de los números reales y
  • división entre cero, cuando el divisor es igual a cero el resultado esta indefinido.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Existen diferentes tipos de intervalos, estos son:

1 Intervalo abierto: aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido, pero sí todos los valores ubicados entre estos, es decir,

     \[ (a,b) = \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \} \]

2Intervalo cerrado: este incluye los extremos del intervalo y los valores entre ellos, se expresa

     \[ [a,b] = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b \} \]

3Intervalo semiabierto: en los intervalos semiabiertos se incluye uno solo de los extremos, y el otro queda excluido. Tenemos

  • Semiabierto por la izquierda

         \[ (a,b] = \{ x \in \mathbb{R} : a < x \leq b \} \]

  • Semiabierto por la derecha

         \[ [a,b) = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x < b \} \]

4 Intervalo infinito o semirecta: aquel que tiene al infinito o menos infinito en uno de los extremos,

  • si  x > a,

         \[ (a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} : a < x < +\infty \} \]

  • si  x \geq a,

         \[ [a, +\infty) = \{ x \in \mathbb{R} : a \leq x < +\infty \} \]

  • si  x < a,

         \[ (-\infty, a) = \{ x \in \mathbb{R} : -\infty < x < a \} \]

  • si  x \leq a,

         \[ (-\infty, a] = \{ x \in \mathbb{R} : -\infty < x \leq a \} \]

Valor absoluto

Para cualquier número real a , el valor absoluto de a se denota por  |a| y se define de la siguiente manera

 |a| = \left\{{\begin{array}{rcl}a,&{\mbox{si}}&a\geq 0\\-a,&{\mbox{si}}&a<0\end{array}}\right.}

Propiedades
Si a y b son números reales

  •  |a| = |-a| ,
  •  |a \cdot b| = |a|\cdot|b| ,
  •  |a + b| \leq |a| + |b| .

Podemos vincular el valor absoluto a nociones como la distancia entre dos puntos de la recta real, en este caso la distancia entre dos números reales a y b, denotada por  d(a,b), sería

     \[ d(a,b) = |b-a| \]

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r al intervalo abierto (a-r, a+r) y se denota por E_r(a) o E(a,r), es decir, E_r(a) = (a-r, a+r).

En los entornos tenemos,

1 Los entornos laterales:

  • por la izquierda
    E_r(a^{-}) = (a-r, a],
  • por la derecha
     E_r(a^{+}) = [a, a+r)

2 Entorno reducido: Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto, es decir, es un entorno reducido si el propio punto no pertenece al mismo

     \[E_r^{*}(a) = \{x \in (a-r, a+r) \textrm{ tal que } x \neq a \}\]

Potencias

Se llama potencia a una expresión de la forma a^n, donde a es llamada base y n exponente.
Exponente entero

Si tenemos que el exponente es un número natural n, entonces este indica las veces que aparece la base a multiplicando por si mismo, por ejemplo

     \begin{align*} a^2 &= a\cdot a \\ a^3 &= a \cdot a \cdot a \\ a^5 &= a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \end{align*}

Si n entero positivo,

     \[ a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \quad a \neq 0 \]

Exponente racional

Cuando el exponente es racional tenemos,

     \[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]

Propiedades

  •  a^0 = 1
  • a^1 = a
  •  a^m \cdot a^n = a^{m+n}
  •  \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
  •  (a^m)^n = a^{m \cdot n}
  •  a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^n
  •  \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n

Radicales

Un radical es una expresión de la forma \sqrt[n]{a}, donde  n\in \mathbb{N} y a \in \mathbb{R}. Ademas a es llamada radicando y n índice. Para que la operación sea valida en los reales si a es negativo, n debe ser impar.

Radicales equivalentes

Recordemos que cuando tenemos una potencia con exponente racional esta es equivalente a un radical, considerando esto y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, tendremos que

     \[ a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{km}{kn}} \quad \rightarrow \quad \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}} \]

con  m,n,k \in \mathbb{N} y a \in \mathbb{R}

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente del radicando por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice

2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Primero se descompone el radicando en factores y si:

1 Un exponente es menor que el índice: el factor correspondiente se deja en el radicando.

2 Un exponente es igual al índice: el factor correspondiente sale fuera del radicando.

3 Un exponente es mayor que el índice: se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores dentro del signo radical

Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical,

     \[ a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^{n}b} \]

Operaciones con radicales

1 Suma de radicales: Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

2Producto de radicales:

  • radicales del mismo índice, para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice

         \[ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} \]

  • radicales de distinto índice, primero se reducen a común índice y luego se multiplican.

3Cociente de radicales:

  • radicales del mismo índice, para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

         \[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \]

  • radicales de distinto índice, primero se reducen a común índice y luego se dividen.

4Potencias de un radical: Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice,

     \[(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \]

4 Raíz de un radical: La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices,

     \[ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} \]

Racionalizar

Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

1Racionalización del tipo  \frac{a}{b\sqrt{c}} ;

Se multiplica el numerador y el denominador por \displaystyle \sqrt{c},

     \[ \displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c}\cdot \sqrt{c}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\left(\sqrt{c}\right)^{2}}=\frac{a\cdot \sqrt{c}}{b\cdot c} \]

 

2 Racionalización del tipo \displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}};

Se multiplica numerador y denominador por \displaystyle \sqrt[n]{c^{n-m}},

     \[ \displaystyle \frac{a}{b\sqrt[n]{c^{m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\sqrt[n]{c^{m}}\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b \sqrt[n]{c^{m}\cdot c^{n-m}}}=\frac{a\cdot \sqrt[n]{c^{n-m}}}{b\cdot c} \]

 

3Racionalización del tipo \displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}} y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Si tienes dudas puedes consultar teoría, propiedades y ejemplos de radicales.

Logaritmos

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número,

     \[ \log_{a}x = y \quad \Rightarrow \quad a^{y} = x , \quad a>0 , a\neq 1 \]

siendo a la base, x el número, y el logarítmo.

De la definición de logaritmo podemos deducir:

  • No existe el logaritmo de un número con base negativa

         \[ \nexist \log_{-a}x \]

  • No existe el logaritmo de un número negativo

         \[ \nexist \log_{a}{(-x)} \]

  • No existe el logaritmo de cero

         \[ \nexist \log_{a}{0} \]

  • El logaritmo de 1 es cero

         \[ \log_{a}{1} =0 \]

  • El logaritmo en base a de a es uno

         \[ \log_{a}{a} =1 \]

  • El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente

         \[ \log_{a}{a^n} =n \]

Propiedades de los logaritmos

Propiedades

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

     \[\log_{a}{(x\cdot y)} = \log_{a}x + \log_{a}{y} \]

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

     \[\log_{a}{(\frac{x}{y})} = \log_{a}x - \log_{a}{y} \]

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

     \[\log_{a}{x^n} = n\log_{a}x \]

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

     \[\log_{a}{(\sqrt[n]{x})} = \frac{1}{n}\log_{a}x \]

5 Cambio de base:

     \[\log_{a}{x} = \frac{\log_{b}x}{\log_{b}a} \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗