1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

 

2.¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?

En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua en el intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en .

Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

 

3.Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.

La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·

Teorema de Bolzano.

f(−1) = −1

f(0) = 3

Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (−1, 0).

Teorema de Rolle.

f' (x) = 7x6 + 3

Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por tanto sólo tiene una raíz real.

 

4.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?

f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

 

5.Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x3 y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 2].

Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [0, 2] y derivables en (0, 2), por ser funciones polinómicas.

Y además g(0) ≠ g(2).

c [0, 2]

g'(0) 0

Se puede aplicar el teorema de Cauchy.

Resolver los siguientes límites

1.

2.

Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

 

3.

4.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

12.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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