De forma intuitiva, podemos decir que para calcular un límite de la forma

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x)}

 

La manera de hacerlo es sustituyendo la x por \infty.

 

Sin embargo, este procedimiento puede que no funcione siempre, pues en algunas situaciones no es claro el valor que tomará la función cuando se evalúa en \infty. Describimos abajo algunas de las situaciones en las que no es claro el valor del límite y cómo determinarlo:

 

Límite de funciones polinómicas en el infinito

Consideremos un polinomio de la forma

 

\displaystyle P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0

 

Entonces, el límite es

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{P(x)} = \begin{cases} \infty & \text{si} \; a_n > 0\\ -\infty & \text{si} \; a_n < 0 \end{cases}

 

En otras palabras, el signo del límite es el mismo que el signo del coeficiente principal del polinomio.

 

Ejemplos

 

1. El siguiente límite

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{(3x^4 + x^3 - 2x)} = \infty

 

es \infty debido a que el coeficiente principal (es decir, 3) es positivo.

 

2. El límite

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{(- x^2 + 5x + 6)} = - \infty

 

toma el valor - \infty debido a que el coeficiente principal es negativo (-1).

 

Nota: observemos en el ejemplo anterior que sustituir por \infty no nos ayudaría a calcular el límite. Esto debido a que

 

    \begin{align*} \lim_{x \to \infty}{(- x^2 + 5x + 6)} & = -(\infty)^2 + 5(\infty) + 6\\ & = - \infty + \infty + 6\\ & = - \infty + \infty \end{align*}

 

Es decir, tenemos una indeterminación de la forma \infty - \infty.

 

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Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

 

Si P(x) es un polinomio de grado mayor o igual a 1, entonces el límite de 1/P(x) cuando x \to \infty está dado por

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{1}{P(x)} }  = 0

 

Por ejemplo, consideremos el siguiente límite,

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{1}{3x^4 + x^3 - 2x} } = 0

 

Cálculo de límites cuando x tiene a infinito negativo

Para calcular los límites cuando x \to -\infty simplemente nos apoyamos de la propiedad:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ f(x) } = \lim_{ x \to \infty }{ f(-x) }

 

De esta manera, el límite cuando x \to -\infty es equivalente a calcular un límite cuando x \to \infty.

 

Ejemplos

 

1. Consideremos el límite de 3x^4 + x^3 - 2x cuando x \to \infty. Entonces,

 

\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{(3x^4 + x^3 - 2x)} = \lim_{x \to \infty}{(3x^4 - x^3 + 2x)} = \infty

 

2.Veamos el siguiente límite

 

\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{(-x^2 + 5x + 6)} = \lim_{x \to \infty}{(-x^2 - 5x + 6)} = - \infty

 

3. Ahora consideremos el límite con un radical

 

    \begin{align*} \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{2x^2 - 8x - 3} } & = \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{2(-x)^2 - 8(-x) - 3} }\\ & = \lim_{x \to \infty}{ \sqrt{ 2x^2 + 8x - 3 } }\\ & = \infty \end{align*}

 

Recordemos que

 

\displaystyle \lim_{y \to \infty}{\sqrt{y}} = \infty

 

4. Por último, veamos otro límite con un radical:

 

    \begin{align*} \lim_{x \to - \infty}{\sqrt{x^3 - 5x} } & = \lim_{x \to \infty}{\sqrt{ (-x)^3 - 5(-x) } }\\ & = \lim_{x \to \infty }{ \sqrt{-x^3 + 5x} } \end{align*}

 

En este caso, el límite no existe porque el radicando toma valores negativos.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗