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Definición de la función inversa

 

Se llama función inversa o reciproca de \displaystyle f(x) a otra función  \displaystyle f^{-1}(x) que cumple que:

 

Si \displaystyle f(a)=b , entonces \displaystyle f^{-1}(b)=a

 

 

Veamos un ejemplo a partir de la función \displaystyle f(x)=x+4

 

 

Definición de función inversa

 

Podemos observar que:

 

  • El dominio de \displaystyle f^{-1}(x) es el recorrido de \displaystyle f(x) .
  • El recorrido de \displaystyle f^{-1}(x) es el dominio de \displaystyle f(x) .

 

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

 

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

 

\displaystyle (fo f^{-1})(x)=(f^{-1}of)(x)=x

 

 

 

Las gráficas de \displaystyle f(x) y \displaystyle f^{-1}(x)  son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

 

Gráfica de función inversa

 

Hay que distinguir entre la función inversa, \displaystyle f^{-1}(x) , y la inversa de una función:   \displaystyle \frac{1}{f(x)} .

 

La inversa de la función \displaystyle f(x)=x+4 es

 \displaystyle \frac{1}{x+4} .

 

La función inversa de \displaystyle f(x)=x+4 es \displaystyle f^{-1}(x)=x-4   porque la composición de las dos
funciones es la función identidad

\displaystyle g\cdot f=g\left [ f(5) \right ]=g\left ( x+4 \right )=x+4-4=x

 

 

Cálculo de la función inversa

 

Para construir o calcular la función inversa de una función cualquiera, se deben
seguir los siguientes pasos:

 

Paso 1: Se escribe la función con \displaystyle x e \displaystyle y .

Paso 2: Se despeja la variable \displaystyle x en función de la variable \displaystyle y .

Paso 3: Se intercambian las variables.

 

 

Ejemplos con ejercicios resueltos

 

Calcular la función inversa de:

 

 

1 \displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x-1}

 

Cambiamos \displaystyle f(x)   por \displaystyle y

 

 

\displaystyle y=\frac{2x+3}{x-1}

 

Quitamos denominadores

 

 

\displaystyle y(x-1) = 2x+3

 

Resolvemos el paréntesis

 

\displaystyle xy-y=2x+3

 

pasamos al primer miembro las \displaystyle x

 

\displaystyle xy-2x = 3+y

 

 

 

Extraemos el factor común, es decir, la \displaystyle x

 

\displaystyle x(y-2) = 3+y

 

Ahora despejamos la \displaystyle x

 

\displaystyle x= \frac{y+3}{y-2}

 

Cambiamos x por \displaystyle f^{-1}(x) y obtendremos la función inversa

 

\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}

 

Vamos a comprobar el resultado para \displaystyle x=2

 

\displaystyle f(2)=\frac{7}{1}=7

 

\displaystyle f^{-1}(7)=\frac{10}{5}=2

 

Como \displaystyle f(2)  nos resulta \displaystyle 7 y \displaystyle f^{-1}(7) nos resulta \displaystyle 2 , eso significa que la función  inversa es correcta

 

 

2 \displaystyle f(x)=\sqrt[3]{x-1}

 

Cambiamos \displaystyle f(x) por \displaystyle y

 

Elevamos al cubo en los dos miembros

 

\displaystyle y=\sqrt[3]{x-1}

\displaystyle y^{3}=x-1

 

Despejamos la \displaystyle x y cambiamos \displaystyle x por \displaystyle f^{-1}(x)

 

\displaystyle x=y^{3}+1

\displaystyle f^{-1}(x)=x^{3}+1

 

 

 

3 \displaystyle f(x)=x^{2}

 

Cambiamos \displaystyle f(x) por \displaystyle y

 

Despejamos la \displaystyle x

 

\displaystyle y=x^{2}

\displaystyle x=\pm \sqrt{y}

 

\displaystyle f^{-1}(x)=\pm \sqrt{y}

 

No es una función.

 

No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede
tener a lo sumo una imagen

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗