Cálculo de la integral de la secante cuadrada

En este artículo nos enfocaremos en practicar la regla de integración para el cálculo de la integral de la secante cuadrada.  Para esto, es importante considerar que la secante cuadrada puede ser reescrita de varias formas utilizando algunas identidades trigonométricas, como se muestra a continuación:

\int \frac{1}{\textup{cos}^2x}dx=\int \textup{sec}^2xdx=\int (1+\textup{tan}^2x)dx=\textup{tan}x+C

Algunas antiderivadas de la función secante cuadrada
Con rojo se muestran algunas de la familia de funciones cuya derivada es la secante cuadrada.

Este resultado también es válido cuando se pide calcular la integral de la secante cuadrada multiplicada por la derivada del argumento, es decir, cuando está de alguna de las siguientes formas:

\int \frac{u'}{\textup{cos}^2u}dx=\int \textup{sec}^2u\cdot u'\;dx=\int (1+\textup{tan}^2u)dx=\textup{tan}x+C

En este caso u representa algún argumento en términos de x (por ejemplo u puede ser igual a 5x^2+2) y u' la derivada del argumento.

 

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Vamos

Ejercicios para practicar integrales con la secante cuadrada

1 Calcula \int \frac{5}{\textup{cos}^2x}dx

Recordemos que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función, por lo cual podemos reesccribir la integral de la siguiente forma:

\int \frac{5}{\textup{cos}^2x}dx=5\int \frac{1}{\textup{cos}^2x}dx

Después, podemos aplicar la primera regla presentada en el artículo para obtener el valor de la integral, entonces:

5\int \frac{1}{\textup{cos}^2x}dx=5\textup{tan}x+C

2 Calcula \int (3+3\textup{tan}^2x)dx

Al igual que en el caso anterior nos conviente iniciar recordando que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función, por lo cual podemos factorizar el 3 para sacarlo de la integral, es decir:

\int (3+3\textup{tan}^2x)dx=\int 3(1+\textup{tan}^2x)dx=3\int (1+\textup{tan}^2x)dx

Además, por la regla de integración presentada sabemos que \int (1+\textup{tan}^2x)dx=\textup{tan}x+C, por lo cual, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que:

3\int (1+\textup{tan}^2x)dx=3\textup{tan}x+C

3 Calcula \int \textup{sec}^2(3+5x)dx

En este caso notemos es necesario considerar la fórmula

\int \textup{sec}^2u\cdot u'\;dx=\textup{tan}x+C.

Para poder calcular directamente la integral necesitamos que la integral este expresada de la siguiente forma:

\int 5\textup{sec}^2(3+5x)dx

En ese caso tendríamos que u=5x+3 y u'=5, sin embargo en nuestra expresión la secante está siendo multiplicada por 1, es decir:

\int \textup{sec}^2(3+5x)dx=\int 1\cdot \textup{sec}^2(3+5x)dx

Para resolver podemos reescribir 1 como \frac{5}{5}:

\int 1\cdot \textup{sec}^2(3+5x)dx=\int \frac{5}{5}\cdot \textup{sec}^2(3+5x)dx=\frac{1}{5} \int 5\cdot \textup{sec}^2(3+5x)dx

Finalmente podemos aplicar la regla para calcular la integral:

\frac{1}{5} \int 5\cdot \textup{sec}^2(3+5x)dx=u'\textup{sec}^2udx=\textup{tan}u+C=\textup{tan}(5x+3)+C

4 Calcula \int \textup{sec}^4xdx

En este ejercicio es necesario reescribir la expresión planteada y utilizar algunas identidades trigonométricas:

\int \textup{sec}^4xdx=\int \textup{sec}^2 x\cdot \textup{sec}^2xdx

Luego, utilizando que \textup{sec}^2x=1+\textup{tan}^2x podemos reescribir la expresión de la siguiente forma
\int \textup{sec}^2x \cdot \textup{sec}^2xdx=\int \textup{sec}^2x \cdot (1+\textup{tan}^2x)dx=\int (\textup{sec}^2x\cdot 1+ \textup{sec}^2x\cdot \textup{tan}^2x)dx
Ahora, recordemos que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones, por lo cual tenemos:

\int \textup{sec}^2x dx+ \int \textup{sec}^2x\cdot \textup{tan}^2xdx

Calculando cada una de las integrales obtenemos:

\int \textup{sec}^2x dx+ \int \textup{sec}^2x\cdot \textup{tan}^2xdx=\textup{tan}x+\frac{1}{3}\textup{tan}^3x+C

 

5 Calcula  \int \operatorname{tan}^{2} x d x

Para resolver, reescribimos la integral sumando y restando uno. Después, utilizamos que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones, es decir:

    \begin{equation*} \int \operatorname{tan}^{2} x d x=\int\left(1+\operatorname{tan}^{2} x-1\right) d x=\int\left(1+\operatorname{tan}^{2} x\right) d x-\int d x=\operatorname{tan} x-x+\mathrm{C} \end{equation*}

 
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