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La distribución normal y la distribución normal estándar

 

La distribución normal es la más famosa de todas. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Además, es la base del análisis estadístico, ya que en ella se sustenta casi toda la inferencia estadística.

 

Esta distribución también se conoce como distribución de Gauss o distribución gaussiana. La gráfica de la distribución normal tiene la forma de una campana, por este motivo la gráfica también es conocida como la campana de Gauss.

 

La distribución normal con media \qquad \mu \qquad y desviación estándar \qquad \sigma \qquad, a veces denotada como \qquad X \sim N(\mu, \sigma^2), tiene las siguientes propiedades:

 

1 Es una distribución simétrica respecto a la media \qquad \mu .

 

2La media y la mediana son iguales a la media \qquad \mu .

 

3 En el intervalo \qquad [\mu - \sigma, \mu + \sigma ]\qquad se encuentran el \qquad 68.26 \%\qquad de los datos.

 

4En el intervalo \qquad [\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma ]\qquad se encuentran el \qquad 95.44 \%\qquad de los datos.

 

5En el intervalo \qquad [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma ]\qquad se encuentran el \qquad 99.73 \%\qquad de los datos.

 

Cuando \qquad \mu = 0\qquad y \qquad \sigma = 1 \qquad, \qquad X \sim N(0,1), la distribución se conoce como distribución normal estándar. En este caso, las propiedades son:

 

1 Es una distribución simétrica respecto al origen \qquad \left( \mu = 0 \right).

 

2La media y la mediana son iguales a cero.

 

3En el intervalo \qquad [- 1, 1]\qquad se encuentran el \qquad 68.26 \%\qquad de los datos.

 

4En el intervalo \qquad [-2, 2 ]\qquad se encuentran el \qquad 95.44 \%\qquad de los datos.

 

5En el intervalo \qquad [- 3, 3 ]\qquad se encuentran el \qquad 99.73 \%\qquad de los datos.

 

Dada una variable aleatoria normal \qquad X \sim (\mu, \sigma^2)\qquad, siempre podemos estandarizar (crear una variable aleatoria con distribución normal estándar) con el cambio de variable dado por

 

\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

 

entonces se cumple que \qquad Z \sim N(0, 1).

 

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Vamos

Tabla de probabilidad de la distribución normal estándar

 

La siguiente tabla nos da las probabilidades de \qquad P(z \leq Z).

 

Estas probabilidades nos dan la función de distribución {\Phi(k)}.

 

{\Phi(k)=P(z\le k)}

 

Búsqueda en la tabla de valor de k

 

Unidades y décimas en la columna de la izquierda.

 

Céntesimas en la fila de arriba.

 

1 {P(Z \le a)}

Ejemplo tabla de distribucion normal 1

 

Ejemplo:

 

{P(Z \le 1.47) = 0.9292}

 

2 {P(Z > a) = 1 - P(Z \le a)}

 

Ejemplo tabla de distribucion normal 2

 

Ejemplo:

 

{P(Z > 1.47) = 1 - P(Z \le 1.47) = 1 - 0.9292 = 0.0708}

 

3 {P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)}

 

Ejemplo tabla de distribucion normal 3

 

Ejemplo:

 

{P(Z \le -1.47) = 1 - P(Z \le 1.47) = 1 - 0.9292 = 0.0708}

 

4 {P(Z > -a) = P(Z \le a)}

 

Ejemplo tabla de distribucion normal 4

 

Ejemplo:

 

{P(Z > -1.47) = P(Z \le 1.47) = 0.9292}

 

5 {P(a < Z \le b ) = P(Z \le b)-P(Z \le a)}

 

Ejemplo tabla de distribucion normal 5

 

Ejemplo:

 

{P( 0.45 <Z \le 1.47) = P(Z \le 1.47) - P(Z \le 0.45) = 0.9292 - 0.6736 = 0.2556}

 

6 {P(-b < Z \le -a ) = P(a < Z \le b )}

 

Ejemplo tabla de distribucion normal 6

 

Ejemplo:

 

{\begin{array}{rcl} P(- 1.47 <Z \le - 0.45) &=& P( 0.45 <Z \le 1.47) = P(Z \le 1.47) - P(Z \le 0.45) \\ && \\ &= & 0.9292 - 0.6736 = 0.2556\end{array}}

 

7 {P(-a < Z \le b ) = P(Z \le b) - [ 1 - P(Z \le a)]}

 

Ejemplo tabla de distribucion normal 7

 

Ejemplo:

 

{ \begin{array}{rcl} P(-1.47 < Z \le 0.45) &=& P(Z \le 0.45) - [ 1 - P(Z \le 1.47)]= 0.6736 - (1 - 0.9292) \\ && \\ &=& 0.6028\end{array}}

 

8 {p = k}

 

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a {k}.

 

{p = 0.75 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ Z \le 0.68}

 

Para calcular la variable {X} nos vamos a la fórmula de la tipificación.

 

{\displaystyle\frac{X - \mu}{\sigma}= 0.68, \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ X = \mu + 0.68\sigma }

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗