El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por Explicaciones y ejemplos de números reales - 1.

Explicaciones y ejemplos de números reales - 2

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Explicaciones y ejemplos de números reales - 3

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Explicaciones y ejemplos de números reales - 4

Explicaciones y ejemplos de números reales - 5

Suma de números reales

Propiedades

1.

Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b Explicaciones y ejemplos de números reales - 6 Explicaciones y ejemplos de números reales - 7

Explicaciones y ejemplos de números reales - 8 + Explicaciones y ejemplos de números reales - 9 Explicaciones y ejemplos de números reales - 10 Explicaciones y ejemplos de números reales - 11

2.

Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

Explicaciones y ejemplos de números reales - 12

3.

Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

Explicaciones y ejemplos de números reales - 13

4.

Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

Explicaciones y ejemplos de números reales - 14 + 0 = Explicaciones y ejemplos de números reales - 15

5.

Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

−(− Explicaciones y ejemplos de números reales - 16) = Explicaciones y ejemplos de números reales - 17

La diferencia de dos números reales se define
como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (- b)

Multiplicación números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo
con los números reales.

Explicaciones y ejemplos de números reales - 18

Propiedades

1.

Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b Explicaciones y ejemplos de números reales - 19 Explicaciones y ejemplos de números reales - 20

2.

Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · Explicaciones y ejemplos de números reales - 21 ) · Explicaciones y ejemplos de números reales - 22 = e · (Explicaciones y ejemplos de números reales - 23 ·Explicaciones y ejemplos de números reales - 24 )

3.

Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

Explicaciones y ejemplos de números reales - 25

4.

Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

Explicaciones y ejemplos de números reales - 26 · 1 = Explicaciones y ejemplos de números reales - 27

5.

Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

Explicaciones y ejemplos de números reales - 28

Explicaciones y ejemplos de números reales - 29

6.

Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

Explicaciones y ejemplos de números reales - 30 · (e + Explicaciones y ejemplos de números reales - 31 ) = Explicaciones y ejemplos de números reales - 32 · e + Explicaciones y ejemplos de números reales - 33 · Explicaciones y ejemplos de números reales - 34

7.

Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

Explicaciones y ejemplos de números reales - 35 · e +Explicaciones y ejemplos de números reales - 36 · Explicaciones y ejemplos de números reales - 37 = Explicaciones y ejemplos de números reales - 38 · (e + Explicaciones y ejemplos de números reales - 39)

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 40 Explicaciones y ejemplos de números reales - 41 / a < x < b}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 42

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 43 Explicaciones y ejemplos de números reales - 44 / a ≤ x ≤ b}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 45

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 46 Explicaciones y ejemplos de números reales - 47 / a < x ≤ b}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 48

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 49 Explicaciones y ejemplos de números reales - 50/ a ≤ x < b}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 51

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

Semirrectas

Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x > a

(a, +∞) = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 53 Explicaciones y ejemplos de números reales - 54 / a < x < +∞}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 55

x ≥ a

[a, +∞) = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 56 Explicaciones y ejemplos de números reales - 57 / a ≤ x < +∞}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 58

x < a

(-∞, a) = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 59Explicaciones y ejemplos de números reales - 60 / -∞ < x < a}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 61

x ≤ a

(-∞, a] = {x Explicaciones y ejemplos de números reales - 62 Explicaciones y ejemplos de números reales - 63 / -∞ < x ≤ a}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 64

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

Explicaciones y ejemplos de números reales - 65

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x Explicaciones y ejemplos de números reales - 66 (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2) (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades

1

Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2

El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3

El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9| 

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia entre −5 y 4 es:

Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

Er(a) = (a-r, a+r)

Explicaciones y ejemplos de números reales - 68

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

Er(0) = (-r, r) se expresa también |x|<0, o bien, -r < x < r.

Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<0, o bien, a -r < x < a+r.

Entornos laterales:

Por la izquierda

Er(a-) = (a-r, a)

Explicaciones y ejemplos de números reales - 69

Por la derecha

Er(a+) = (a, a+r)

Explicaciones y ejemplos de números reales - 70

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E r*(a) = { x Explicaciones y ejemplos de números reales - 71 (a-r, a+r), x ≠ a}

Explicaciones y ejemplos de números reales - 72