{"id":108573,"date":"2020-01-29T18:12:49","date_gmt":"2020-01-29T17:12:49","guid":{"rendered":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/algebralineal\/determinante.html"},"modified":"2024-05-27T17:52:44","modified_gmt":"2024-05-27T15:52:44","slug":"determinante","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/algebralineal\/determinante.html","title":{"rendered":"Determinantes"},"content":{"rendered":"

\n

A cada matriz cuadrada<\/strong> A<\/strong> se le asocia un n\u00famero denominado determinante de A<\/strong><\/span>.<\/p>\n

El determinante de A<\/strong> se denota por |A|<\/strong> o por det (A)<\/strong>. <\/p>\n

A<\/span> = $\"Explicaciones$ <\/p>\n

Determinante de orden uno
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/h2>\n
|a_{11<\/sub>| = a _{11<\/sub> <\/p>\n}}
|5| = 5\n\t\t\t <\/p>\n
Determinante de orden dos
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/h2>\n
$\"Explicaciones$ = a _{11<\/sub> a _{22<\/sub> - a _{12<\/sub> a _{21<\/sub> <\/strong><\/p>\n}}}}
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tDeterminante de orden tres
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/h2>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tConsideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (a_{ij<\/sub>). El determinante de A se define como sigue:\t\t\t\t\t\t <\/p>\n}
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ =<\/p>\n
= a_{11<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{22<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{33<\/sub> + <\/p>\n}}}
\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{12<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{23 <\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta _{31<\/sub> +
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{13<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{21 <\/sub>
\n\t\t\t a_{32<\/sub> - <\/strong><\/p>\n}}}}}}
- a _{13<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{22<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{31<\/sub> -
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{12<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{21<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{33 <\/sub> -
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{11<\/sub>
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\ta_{23<\/sub>
\n\t\t\t a_{32.<\/sub><\/strong><\/p>\n}}}}}}}}}
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ = <\/p>\n
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 - <\/strong>\n\t\t\t <\/p>\n
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =<\/strong>\n\t\t\t <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =<\/strong>\n\t\t\t <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t= 44 + 4 + 15 = 63<\/span> <\/strong>\n\t\t\t <\/p>\n
\n Obsérvese que hay seis productos<\/strong>, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres<\/strong> de los productos aparecen con signo positivo<\/strong> (conservan su signo) y tres con signo negativo<\/strong> (cambian su signo).\n <\/p>\n
La regla de Sarrus<\/strong> es una utilidad para calcular determinantes de orden 3<\/strong>.<\/p>\n
\n Los términos con signo +<\/strong> están formados por los elementos de la diagonal principal<\/strong> y los de las diagonales paralelas<\/strong> con su correspondiente vértice opuesto<\/strong>.\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
\n Los términos con signo -<\/strong> están formados por los elementos de la diagonal secundaria<\/strong> y los de las diagonales paralelas<\/strong> con su correspondiente vértice opuesto<\/strong>. <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Ejemplo<\/h2>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
Menor complementario de un elemento de un determinante<\/h2>\n
Se llama menor complementario<\/strong><\/span> de un elemento a_{ij<\/sub><\/strong> al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j<\/strong>.\t\t\t\t\t<\/p>\n}
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
Adjunto de un elemento de un determinante<\/h2>\n
Se llama adjunto<\/strong> del elemento a_{ij<\/sub> al menor complementario anteponiendo:<\/p>\n}
El signo es + si i+j es par.<\/strong><\/p>\n
El signo es - si i+j es impar.<\/strong><\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:<\/strong> <\/p>\n
<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n \t\t $\"Explicaciones$ \n <\/p>\n
<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$
\n\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$
\n\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$
\n\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t <\/p>\n
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63<\/span>\n\t\t\t\t\t <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t C\u00e1lculo de un determinante de cualquier orden
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/h2>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tConsiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote<\/strong>, que valdrá 1 ó -1 .\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
Seguiremos los siguientes pasos: <\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n
Si algún elemento<\/strong> del determinante vale la unidad<\/strong>, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna<\/strong>, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos<\/strong>).\t\t\t\t\t\t\t <\/p>\n
$\"Explicaciones$ \t\t<\/p>\n
\n
2.<\/h2>\n
En caso negativo:<\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n
Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos<\/strong> y operaremos<\/strong> para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1<\/strong> (operando con alguna línea paralela ).\n <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \t\t\t\t\t\t\t <\/p>\n
\n
2.<\/h2>\n
Dividiendo la línea por uno de sus elementos<\/strong>, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor com\u00fan en una l\u00ednea de uno de sus elementos.<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
3.<\/h2>\n
Tomando como referencia el elemento base<\/strong>, operaremos<\/strong> de modo que todos los elementos de la fila o columna<\/strong>, donde se encuentre, sean ceros<\/strong>.\t\t\t\t\t\t\t <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ <\/p>\n
4.<\/h2>\n
Tomamos el adjunto del elemento base<\/strong>, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior<\/strong> en una unidad al original.\n\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ = 2(-58)\n\t\t\t\t\t\t <\/p>\n
<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tPropiedades de los determinantes
\n\t\t\t\t\t\t\t<\/h2>\n
\n
1.<\/h2>\n
|A^{t<\/sup>|= |A| <\/strong>\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n}
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^{t<\/sup> son iguales.<\/strong> <\/p>\n}
\n\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n <\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n
2.<\/h2>\n
|A|=0
\n Si:<\/strong>\n\t\t\t\t\t\t <\/p>\n
Posee dos líneas iguales<\/strong><\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t Todos los elementos<\/strong> de una línea son nulos<\/strong>.\n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tLos elementos de una línea son combinación lineal<\/strong> de las otras.\n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
F_{3<\/sub> = F_{1<\/sub> + F_{2<\/sub><\/strong><\/p>\n}}}
<\/p>\n
\n
3.<\/h2>\n
\t\t\t\t\t\t\t\tUn determinante triangular<\/strong> es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.<\/strong>.\n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
<\/p>\n
\n
4.<\/h2>\n
\t\t\t\t\t\t\tSi en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.<\/strong>\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
<\/p>\n
\n
5.<\/h2>\n
\t\t\t\t\t\t\tSi a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. <\/strong><\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ <\/p>\n
\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
<\/p>\n
\n
6.<\/h2>\n
\t\t\t\t\t\t\tSi se multiplica un determinante por un n\u00famero real, queda multiplicado por dicho n\u00famero cualquier línea, pero s\u00f3lo una. <\/strong><\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
<\/p>\n
\n
7.<\/h2>\n
Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.<\/strong>\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t $\"Explicaciones$ \n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
<\/p>\n
\n
8.<\/h2>\n
\t\t\t\t\t\t\t\t|A·B| =|A|·|B| <\/strong>\n\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes. <\/strong><\/p>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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