{"id":108986,"date":"2020-01-29T18:13:15","date_gmt":"2020-01-29T17:13:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/aritmetica\/divisibilidad.html"},"modified":"2024-05-27T17:51:46","modified_gmt":"2024-05-27T15:51:46","slug":"divisibilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/aritmetica\/divisibilidad.html","title":{"rendered":"Divisibilidad"},"content":{"rendered":"

\n

M\u00faltiplos<\/h2>\n
Un n\u00famero es m\u00faltiplo<\/strong> de otro si lo contiene varias veces exactamente.<\/p>\n
Un n\u00famero a<\/strong> es m\u00faltiplo <\/span><\/strong> de otro b<\/strong> cuando es el resultado<\/strong> de multiplicarlo por<\/strong> otro n\u00famero c<\/strong>.<\/p>\n
Un número b<\/strong> es un divisible<\/strong><\/span> por otro a<\/strong> cuando la divisi\u00f3n es exacta<\/strong>.<\/p>\n
14 es m\u00faltiplo<\/strong> de dos, ya que resulta de multiplicar 2 por 7. <\/p>\n
14 = 2 \u00b7 7<\/p>\n
<\/p>\n

Divisores<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisor<\/strong> de otro cuando lo divide exactamente.<\/p>\n
3 es divisor de 15; 15 : 3 = 5.<\/p>\n
A los divisores también se les llama factores<\/strong><\/span>.<\/span><\/p>\n
Divisibilidad<\/h2>\n
Un número b<\/strong> es un divisible<\/strong><\/span> por otro a<\/strong> cuando la divisi\u00f3n es exacta<\/strong>.<\/p>\n
Criterios de divisibilidad<\/h3>\n
2<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 2<\/span><\/span><\/strong>, si termina en cero o cifra par.<\/strong><\/em> <\/p>\n
24, 238, 1024.<\/p>\n
3<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 3<\/span><\/strong>, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.<\/strong><\/em><\/p>\n
564<\/p>\n
5 + 6 + 4 = 15, es m\u00fatiplo de 3<\/p>\n
2040<\/p>\n
2 + 0 + 4 + 0 = 6, es m\u00fatiplo de 3<\/p>\n
5<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 5<\/span><\/strong>, si termina en cero o cinco.<\/strong><\/em> <\/p>\n
45, 515, 7525.<\/p>\n
7<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 7 <\/span>cuando la diferencia entre el n\u00famero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 \u00f3 m\u00faltiplo de 7<\/em>. <\/strong><\/p>\n
343<\/p>\n
34 - 2 \u00b7 3 = 28, es m\u00fatiplo de 7<\/p>\n
105<\/p>\n
10 - 5 \u00b7 2 = 0<\/p>\n
2261<\/p>\n
226 - 1 \u00b7 2 = 224<\/p>\n
Volvemos a repetir el proceso con 224.<\/p>\n
22 - 4 \u00b7 2 = 14, es m\u00fatiplo de 7.<\/p>\n
11<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 11<\/span><\/strong>, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 \u00f3 múltiplo de 11<\/strong><\/em>. <\/p>\n
121<\/p>\n
(1 + 1) - 2 = 0<\/p>\n
4224<\/p>\n
(4 + 2) - (2 + 4) = 0<\/p>\n
Otros criterios de divisblilidad <\/h2>\n
4<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 4<\/span><\/strong>, <\/p>\n
si sus dos \u00faltimas cifras son ceros o m\u00faltiplo de 4.<\/em><\/strong><\/p>\n
36, 404, 1 028. <\/p>\n
6<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 6<\/span><\/strong>, si es divisible por\u00a0 2\u00a0 y\u00a0 por\u00a0 3.<\/strong><\/p>\n
72, 324, 2 400 <\/p>\n
8<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 8<\/span><\/strong>, si sus tres \u00faltimas cifras son ceros o m\u00faltiplo de 8.<\/strong><\/em><\/p>\n
4000, 1048, 1 512.<\/p>\n
9<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 9<\/span><\/strong>, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.<\/strong><\/em><\/p>\n
81<\/p>\n
8 + 1 = 9<\/p>\n
3663<\/p>\n
3 + 6 + 6 + 3 = 18, es m\u00fatiplo de 9<\/p>\n
10<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 10<\/span><\/strong>, si la cifra de las unidades es\u00a0 0.<\/strong><\/em><\/p>\n
130, 1440, 10 230 <\/p>\n
25<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 25<\/span><\/strong>, si sus dos \u00faltimas cifras son ceros o m\u00faltiplo de\u00a0 25.<\/strong><\/p>\n
500, 1025, 1875. <\/p>\n
125<\/h2>\n
Un n\u00famero es divisible por 125<\/span><\/strong>, si sus tres \u00faltimas cifras son ceros o m\u00faltiplo de\u00a0 125.<\/strong><\/p>\n
1000, 1 125, 4 250.<\/p>\n
<\/p>\n
Factorizaci\u00f3n<\/h2>\n
Para factorizar<\/strong> un n\u00famero o descomponerlo en factores<\/strong> efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener<\/strong> un uno como cociente.<\/p>\n
Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical<\/strong>, a la derecha escribimos los divisores primos<\/strong> y a la izquierda los cocientes<\/strong>.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
432 = 2^{4 <\/sup> \u00b7 3^{3 <\/sup><\/span><\/p>\n}}
<\/p>\n
N\u00fameros primos<\/h2>\n
Un n\u00famero primo<\/strong><\/span> s\u00f3lo tiene dos divisores<\/strong>: \u00e9l mismo y la unidad<\/strong>.<\/p>\n
5, 13, 59. <\/p>\n
El n\u00famero 1 s\u00f3lo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. <\/p>\n
Para averiguar si un n\u00famero es primo<\/strong>, se divide<\/strong> ordenadamente por<\/strong> todos los n\u00fameros primos menores que \u00e9l<\/strong>. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega<\/strong> a obtenerse un cociente menor o igual al divisor<\/strong>, se dice que el n\u00famero es primo. <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Por tanto 179 es primo<\/strong>.<\/p>\n
<\/p>\n
N\u00famero compuesto<\/h2>\n
Un n\u00famero compuesto<\/strong> posee m\u00e1s de dos divisores.<\/p>\n
12, 72, 144.<\/p>\n
Los n\u00fameros compuestos<\/strong>, se pueden expresar como productos de potencias de n\u00fameros primos, a dicha expresi\u00f3n se le llama descomposici\u00f3n de un n\u00famero en factores primos. <\/p>\n
70 = 2 \u00b75 \u00b7 7 <\/p>\n
El m\u00e1ximo com\u00fan divisor (m.c.d. o mcd)<\/strong> de dos o m\u00e1s n\u00fameros es el mayor n\u00famero que divide a todos exactamente.<\/p>\n
C\u00e1lculo del m\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/h2>\n
\n
1. <\/h2>\n
Se descomponen los n\u00fameros en factores primos.<\/p>\n
\n
2. <\/h2>\n
Se toman los factores comunes con menor exponente.<\/p>\n
Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.<\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
72 = 2^{3 <\/sup> \u00b7 3^{2<\/sup><\/p>\n}}
108 = 2^{2 <\/sup> \u00b7 3^{3<\/sup> <\/p>\n}}
60 = 2^{2 <\/sup> \u00b7 3 \u00b7 5<\/p>\n}
\n
2.<\/h2>\n<\/p>\n
m. c. d. (72, 108, 60) = 2^{2 <\/sup> \u00b7 3 = 12 <\/span><\/p>\n}
12 es el mayor n\u00famero que divide a 72, 108 y 60.<\/p>\n
Si un n\u00famero es divisor de otro, entonces \u00e9ste es el m. c. d. <\/strong><\/p>\n
El n\u00famero 12 es divisor de 36.<\/p>\n
m. c. d. (12, 36) = 12 <\/p>\n
<\/p>\n
El algoritmo de Euclides<\/strong> es un procedimiento para calcular el m.c.d<\/strong>. de dos n\u00fameros. Los pasos son:<\/p>\n
\n
1. <\/h2>\n
Se divide el n\u00famero mayor entre el menor.<\/p>\n
\n
2. <\/h2>\n
Si:<\/p>\n
\n
1. <\/h2>\n
La divisi\u00f3n es exacta, el divisor es el m.c.d.<\/strong> <\/p>\n
\n
2.<\/h2>\n
La divisi\u00f3n no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se contin\u00faa de esta forma hasta obtener una divisi\u00f3n exacta, siendo el \u00faltimo divisor el m.c.d.<\/strong><\/p>\n
m. c. d. (72, 16)<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
m. c. d. (72, 16) = 8<\/span><\/p>\n
<\/p>\n
El m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo<\/strong> es el menor de todos m\u00faltiplos comunes a varios n\u00fameros, excluido el cero.<\/p>\n
C\u00e1lculo del m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo<\/h2>\n
\n
1. <\/h2>\n
Se descomponen los n\u00fameros en factores primos <\/p>\n
\n
2. <\/h2>\n
Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.<\/p>\n
Hallar el m. c. m.<\/strong> de: 72, 108 y 60.<\/p>\n
72 = 2^{3 <\/sup> \u00b7 3^{2<\/sup><\/p>\n}}
108 = 2^{2 <\/sup> \u00b7 3^{3<\/sup> <\/p>\n}}
60 = 2^{2 <\/sup> \u00b7 3 \u00b7 5<\/p>\n}
m. c. m.<\/strong> (72, 108, 60) = 2^{3 <\/sup> \u00b7 3^{3<\/sup> \u00b7 5 = 1 080<\/span><\/p>\n}}
1 080 es el menor n\u00famero que divide a: 72, 108 y 60.<\/p>\n
Si un n\u00famero es un m\u00faltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.<\/p>\n
El n\u00famero 36 es m\u00faltiplo de 12.<\/p>\n
m. c. m.<\/strong> (12, 36) = 36<\/p>\n
Relaci\u00f3n entre el m. c. d. y m. c. m.<\/h3>\n
m. c. d. (a, b) \u00b7 m. c. m. (a, b) = a \u00b7 b<\/strong><\/p>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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