La Estad\u00edstica inferencial<\/strong> o Inferencia estad\u00edstica<\/strong> estudia c\u00f3mo sacar conclusiones generales para toda la poblaci\u00f3n a partir del estudio de una muestra, y el grado de fiabilidad o significaci\u00f3n de los resultados obtenidos.<\/p>\n

Muestreo probabil\u00edstico<\/h2>\n
Consiste en elegir una muestra de una poblaci\u00f3n al azar. Podemos distinguir varios tipos de muestreo<\/strong>:<\/p>\n<\/div>\n
Muestreo aleatorio simple<\/h3>\n
<\/span>Para obtener una muestra, se numeran los elementos de la poblaci\u00f3n y se seleccionan al azar los n elementos que contiene la muestra.<\/p>\n
Muestreo aleatorio sistem\u00e1tico<\/h3>\n
<\/span>Se elige un individuo al azar y a partir de \u00e9l, a intervalos constantes, se eligen los dem\u00e1s hasta completar la muestra.<\/p>\n
<\/span>Por ejemplo si tenemos una poblaci\u00f3n formada por 100 elementos y queremos extraer una muestra de 25 elementos, en primer lugar debemos establecer el intervalo de selecci\u00f3n que ser\u00e1 igual a 100\/25 = 4. A continuaci\u00f3n elegimos el elemento de arranque, tomando aleatoriamente un n\u00famero entre el 1 y el 4, y a partir de \u00e9l obtenemos los restantes elementos de la muestra.<\/p>\n
2, 6, 10, 14,..., 98<\/span><\/p>\n
Muestreo aleatorio estratificado<\/h3>\n
<\/span>Se divide la poblaci\u00f3n en clases o estratos y se escoge, aleatoriamente, un n\u00famero de individuos de cada estrato proporcional al n\u00famero de componentes de cada estrato.<\/p>\n
En una f\u00e1brica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos que hay 200 trabajadores en la secci\u00f3n A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
Un muestreo puede hacerse con o sin reposici\u00f3n, y la poblaci\u00f3n de partida puede ser infinita o finita. <\/p>\n
En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una poblaci\u00f3n de partida infinita o a muestreo con reposici\u00f3n<\/strong>.<\/p>\n
Si consideremos todas las posibles muestras de tama\u00f1o n en una poblaci\u00f3n, para cada muestra podemos calcular un estad\u00edstico (media, desviaci\u00f3n t\u00edpica, proporci\u00f3n, ...)<\/strong> que variar\u00e1 de una a otra. <\/p>\n
As\u00ed obtenemos una distribuci\u00f3n del estad\u00edstico que se llama distribuci\u00f3n muestral<\/strong>.<\/p>\n
Si una poblaci\u00f3n tiene media \u03bc y desviaci\u00f3n t\u00edpica \u03c3, y tomamos muestras de tama\u00f1o n (n>30, \u00f3 cualquier tama\u00f1o si la poblaci\u00f3n es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribuci\u00f3n:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
Estimaci\u00f3n de par\u00e1metros<\/h2>\n
Es el procedimiento utilizado para conocer las caracter\u00edsticas de un par\u00e1metro poblacional, a partir del conocimiento de la muestra.<\/p>\n
Con una muestra aleatoria, de tama\u00f1o n, podemos efectuar una estimaci\u00f3n de un valor de un par\u00e1metro de la poblaci\u00f3n; pero tambi\u00e9n necesitamos precisar un:<\/p>\n
Intervalo de confianza<\/strong><\/h2>\n
\n\t\t\t\t\t\t Se llama as\u00ed a un intervalo en el que sabemos que est\u00e1 un par\u00e1metro, con un nivel de confianza espec\u00edfico.<\/p>\n
Nivel de confianza<\/strong><\/h2>\n
Probabilidad de que el par\u00e1metro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.<\/p>\n
El nivel de confianza (p)<\/strong> se designa mediante 1 \u2212 \u03b1<\/strong>.<\/p>\n
Error de estimaci\u00f3n admisible<\/strong> <\/h2>\n
Que estar\u00e1 relacionado con el radio del intervalo de confianza.<\/p>\n
<\/p>\n
Estimaci\u00f3n de la media de una poblaci\u00f3n<\/h2>\n
El intervalo de confianza<\/strong>, para la media de una poblaci\u00f3n, con un nivel de confianza de 1 \u2212 \u03b1 <\/strong>, siendo x<\/span> la media de una muestra de tama\u00f1o n y \u03c3 la desviaci\u00f3n t\u00edpica de la poblaci\u00f3n, es:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
El error m\u00e1ximo de estimaci\u00f3n<\/strong> es:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Cuanto mayor sea el tama\u00f1o<\/strong> de la muestra, n, menor es el error<\/strong>.<\/p>\n
Cuanto mayor sea el nivel de confianza<\/strong>, 1-\u03b1, mayor es el error<\/strong>.<\/p>\n
Tama\u00f1o de la muestra<\/strong><\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/strong><\/p>\n
Si aumentamos el nivel de confianza<\/strong>, aumenta el tama\u00f1o de la muestra<\/strong>.<\/p>\n
Si disminuimos el error<\/strong>, tenemos que aumentar el tama\u00f1o de la muestra<\/strong>.<\/p>\n
<\/p>\n
El tiempo que tardan las cajeras de un supermercado en cobrar a los clientes sigue una ley normal con media desconocida y desviaci\u00f3n t\u00edpica 0,5 minutos. Para una muestra aleatoria de 25 clientes se obtuvo un tiempo medio de 5,2 minutos.<\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n
Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95% para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
2.<\/h2>\n
Indica el tama\u00f1o muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de \u00b1 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
n \u2265 4 <\/span><\/p>\n
Estimaci\u00f3n de una proporci\u00f3n<\/h2>\n
<\/span>Si en una poblaci\u00f3n<\/strong>, una determinada caracter\u00edstica se presenta en una proporci\u00f3n p<\/strong>, la proporci\u00f3n p' <\/strong> , de individuos con dicha caracter\u00edstica en las muestras<\/strong> de tama\u00f1o n, se distribuir\u00e1n seg\u00fan:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Intervalo de confianza para una proporci\u00f3n<\/strong><\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
El error m\u00e1ximo de estimaci\u00f3n<\/strong> es:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
En una f\u00e1brica de componentes electr\u00f3nicos, la proporci\u00f3n de componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se analiz\u00f3 una muestra aleatoria de 500 componentes, encontr\u00e1ndose que 90 de ellos eran defectuosos. \u00bfQu\u00e9 nivel de confianza debe adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?<\/p>\n
p = 0.2 q = 1 - p =0.8 p'= 90\/ 500 = 0.18<\/p>\n
E = 0.2 - 0.18 = 0.02<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
P<\/strong> (1 - z_{\u03b1\/2<\/sub> <1.12) = 0.86861 - 0.8686 = 0.1314<\/p>\n}
0.8686 - 0.1314 = 0.737<\/p>\n
Nivel de confianza: 73.72%<\/span> <\/p>\n
<\/p>\n
Contraste de hip\u00f3tesis <\/h2>\n
Hip\u00f3tesis estad\u00edsticas<\/h3>\n
Un test estad\u00edstico<\/strong> es un procedimiento para, a partir de una muestra aleatoria y significativa, extraer conclusiones<\/strong> que permitan aceptar o rechazar una hip\u00f3tesis<\/strong> previamente emitida sobre el valor de un par\u00e1metro desconocido de una poblaci\u00f3n.\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n
La hip\u00f3tesis emitida se designa por H_{0 <\/sub><\/strong> y se llama hip\u00f3tesis nula<\/span>. <\/p>\n}
La hip\u00f3tesis contraria se designa por H_{1<\/sub><\/strong> y se llama hip\u00f3tesis alternativa<\/span>.<\/p>\n}
Contrastes de hip\u00f3tesis<\/h2>\n
\n
1.<\/h2>\n
Enunciar la hip\u00f3tesis nula H_{0<\/sub> y la alternativa H_{1<\/sub><\/strong>.<\/p>\n\n\n\n\nBilateral<\/th>\n H_{0<\/sub>=k<\/td>\n} H_{1<\/sub> \u2260 k<\/td>\n<\/tr>\n}
Unilateral<\/th>\n H_{0<\/sub>\u2265 k<\/td>\n} H_{1<\/sub> < k<\/td>\n<\/tr>\n}
H_{0<\/sub> \u2264k<\/td>\n} H_{1<\/sub>> k<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
2.<\/h2>\n A partir de un nivel de confianza 1 \u2212 \u03b1 o el de significaci\u00f3n \u03b1<\/strong>. Determinar:<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tEl valor z_{\u03b1\/2 <\/sub>(bilaterales), o bien z_{\u03b1<\/sub> (unilaterales)<\/strong>\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n}}
\n\t\t\t\t\t\t\t\tLa zona de aceptaci\u00f3n del par\u00e1metro muestral (x<\/span> o p'<\/strong>).<\/p>\n
<\/p>\n
3.<\/h2>\n <\/span> Calcular: x<\/span> o p', a partir de la muestra.<\/strong><\/p>\n
<\/p>\n
4.<\/h2>\n <\/span>Si el valor del par\u00e1metro muestral est\u00e1 dentro de la zona de la aceptaci\u00f3n, se acepta la hip\u00f3tesis con un nivel de significaci\u00f3n \u03b1. Si no, se rechaza<\/strong>.<\/p>\n
<\/p>\n
Contraste bilateral<\/h2>\nSe presenta cuando la hip\u00f3tesis nula es del tipo H_{0<\/sub>: \u03bc = k<\/strong> (o bien H_{0<\/sub>: p = k<\/strong>) y la hip\u00f3tesis alternativa, por tanto, es del tipo H_{1<\/sub>: \u03bc\u2260 k<\/strong> (o bien H_{1<\/sub>: p\u2260 k<\/strong>).<\/p>\n}}}}
<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
El nivel de significaci\u00f3n α se concentra en dos partes (o colas) sim\u00e9tricas respecto de la media.<\/strong><\/p>\n
La regi\u00f3n de aceptaci\u00f3n<\/strong> en este caso no es m\u00e1s que el correspondiente intervalo de probabilidad para x<\/span> o p', es decir:<\/p>\n
<\/p>\n
o bien:<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
Se sabe que la desviaci\u00f3n t\u00edpica de las notas de cierto examen de Matem\u00e1ticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. \u00bfSirven estos datos para confirmar la hip\u00f3tesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?\n <\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:<\/p>\n
H_{0<\/sub> : μ = 6 <\/strong> La nota media no ha variado.<\/p>\n}
H_{1<\/sub> : μ ≠ 6 <\/strong> La nota media ha variado.<\/span><\/p>\n}
\n
2.<\/h2>\n Zona de aceptación <\/p>\n
Para α = 0.05<\/strong>, le corresponde un valor crítico: z_{α\/2<\/sub> = 1.96<\/strong>.<\/p>\n}
Determinamos el intervalo de confianza para la media:<\/p>\n
(6-1,96\u00a0\u00b7\u00a0 0,4 ; 6+1,96\u00a0\u00b7\u00a0 0,4) = (5,22 ; 6,78)<\/strong><\/span><\/p>\n
\n
3.<\/h2>\n Verificación. <\/p>\n
Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 <\/span><\/strong>.<\/p>\n
\n
4.<\/h2>\n Decisión<\/p>\n
Aceptamos la hipótesis nula H_{0<\/sub><\/span>, con un nivel de significación del 5%.<\/p>\n}
<\/p>\n
Contraste unilateral<\/h2>\n Caso 1 <\/p>\n
La hip\u00f3tesis nula<\/strong> es del tipo H_{0<\/sub>: \u03bc \u2265 k <\/strong> (o bien H_{0<\/sub>: p \u2265 k<\/strong>). <\/p>\n}}
La hip\u00f3tesis alternativa<\/strong>, por tanto, es del tipo H_{1<\/sub>: \u03bc < k<\/strong> (o bien H_{1<\/sub>: p < k<\/strong>).<\/p>\n}}
Valores cr\u00edticos<\/p>\n\n\n\n\n\n1 \u2212 \u03b1<\/th>\n \u03b1<\/th>\n z_{\u03b1<\/sub><\/th>\n<\/tr>\n}
0.90<\/td>\n 0.10<\/td>\n 1.28<\/td>\n<\/tr>\n
0.95<\/td>\n 0.05<\/td>\n 1.645<\/td>\n<\/tr>\n
0.99<\/td>\n 0.01<\/td>\n 2.33<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
El nivel de significaci\u00f3n α<\/strong> se concentra en una parte o cola. <\/p>\n
La regi\u00f3n de aceptaci\u00f3n en este caso ser\u00e1:<\/p>\n
<\/p>\n
o bien:<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
Un soci\u00f3logo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstenci\u00f3n en las pr\u00f3ximas elecciones ser\u00e1 del 40% como m\u00ednimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estar\u00edan dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significaci\u00f3n del 1%, si se puede admitir el pron\u00f3stico.<\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:<\/p>\n
H_{0<\/sub> : μ \u2265 0.40 <\/strong> La abstenci\u00f3n ser\u00e1 como m\u00ednimo del 40%.<\/p>\n}
H_{1<\/sub> : μ < 0.40<\/strong> La abstenci\u00f3n ser\u00e1 como m\u00e1ximo del 40%; <\/span><\/p>\n}
\n
2.<\/h2>\n Zona de aceptación <\/p>\n
Para α = 0.01<\/strong>, le corresponde un valor crítico: z_{α<\/sub> = 2.33<\/strong>.<\/p>\n}
Determinamos el intervalo de confianza para la media:<\/p>\n
<\/p>\n
\n
3.<\/h2>\nVerificación. <\/p>\n
<\/p>\n
\n
4.<\/h2>\nDecisión<\/p>\n
Aceptamos la hipótesis nula H_{0<\/sub><\/span><\/strong><\/span>. Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la La abstenci\u00f3n ser\u00e1 como m\u00ednimo del 40%.<\/span><\/p>\n}
<\/p>\n
Caso 2<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\tLa hip\u00f3tesis nula es del tipo H_{0<\/sub>: \u03bc \u2264 k<\/strong> (o bien H_{0<\/sub>: p \u2264 k<\/strong>). <\/p>\n}}
La hip\u00f3tesis alternativa, por tanto, es del tipo H_{1<\/sub>: \u03bc > k<\/strong> (o bien H_{1<\/sub>: p > k<\/strong>).<\/p>\n}}
<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
El nivel de significaci\u00f3n α se concentra en la otra parte o cola. <\/p>\n
La regi\u00f3n de aceptaci\u00f3n en este caso ser\u00e1:<\/p>\n
<\/p>\n
o bien:<\/p>\n
<\/p>\n
<\/p>\n
Un informe indica que el precio medio del billete de avi\u00f3n entre Canarias y Madrid es, como m\u00e1ximo, de 120 \u20ac con una desviaci\u00f3n t\u00edpica de 40 \u20ac. Se toma una muestra de 100 viajeros y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 \u20ac. <\/p>\n
\u00bfSe puede aceptar, con un nivel de significaci\u00f3n igual a 0,1, la afirmaci\u00f3n de partida? <\/p>\n
\n
1.<\/h2>\n Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:<\/p>\n
H_{0<\/sub> : μ \u2264 120 <\/strong> <\/p>\n}
H_{1<\/sub> : μ > 120 <\/strong> <\/span><\/p>\n}
\n
2.<\/h2>\nZona de aceptación <\/p>\n
Para α = 0.1<\/strong>, le corresponde un valor crítico: z_{α<\/sub> = 1.28 <\/strong>.<\/p>\n}
Determinamos el intervalo de confianza:<\/p>\n
<\/p>\n
\n
3.<\/h2>\n Verificación. <\/p>\n
Valor obtenido de la media de la muestra: 128 \u20ac <\/span><\/strong>.<\/p>\n
\n
4.<\/h2>\n Decisión<\/p>\n
No aceptamos la hipótesis nula H_{0<\/sub><\/span><\/strong><\/span>. Con un nivel de significaci\u00f3n del 10%. <\/p>\n}
<\/p>\n
Errores de tipo I y tipo II<\/h2>\nError de tipo I<\/strong>. Se comete cuando la hip\u00f3tesis nula es verdadera<\/strong> y, como consecuencia del contraste, se rechaza<\/strong>.<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\tError de tipo II. <\/strong>Se comete cuando la hip\u00f3tesis nula es falsa<\/strong> y, como consecuencia del contraste se acepta<\/strong>.<\/p>\n
<\/p>\n\n\n\n\nH_{0<\/sub><\/th>\n} Verdadera<\/th>\n Falsa<\/th>\n<\/tr>\n
Aceptar<\/th>\n Decis\u00f3n correcta<\/strong><\/p>\n\t\t\t\t\t\t Probabilidad = 1 \u2212 \u03b1<\/strong><\/td>\n Decisi\u00f3n incorrecta:<\/strong><\/p>\n\t\t\t\t\t\t ERROR DE TIPO II<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
Rechazar<\/th>\n ERROR DE TIPO I<\/strong><\/p>\n\t\t\t\t\t\t Probabilidad = \u03b1<\/strong><\/td>\n \nDecisi\u00f3n correcta<\/strong><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
<\/p>\n
La probabilidad<\/strong> de cometer Error de tipo I<\/strong> es el nivel de significaci\u00f3n<\/strong> \u03b1<\/strong>.<\/p>\n
La probabilidad de cometer Error de tipo II<\/strong> depende del verdadero valor del par\u00e1metro. Se hace tanto menor cuanto mayor sea n<\/strong>. <\/p>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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2.<\/h2>\nIndica el tama\u00f1o muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de \u00b1 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.<\/p>\n<\/p>\nn \u2265 4 <\/span><\/p>\n

2.<\/h2>\n
Indica el tama\u00f1o muestral necesario para estimar dicho tiempo medio con un el error de \u00b1 0,5 minutos y un nivel de confianza del 95%.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
n \u2265 4 <\/span><\/p>\n