{"id":116454,"date":"2020-01-29T18:22:26","date_gmt":"2020-01-29T17:22:26","guid":{"rendered":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/probabilidades\/probabilidad.html"},"modified":"2020-01-29T18:22:26","modified_gmt":"2020-01-29T17:22:26","slug":"probabilidad","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/probabilidades\/probabilidad.html","title":{"rendered":"Probabilidad"},"content":{"rendered":"

\n

Experimentos aleatorios<\/h3>\n
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que \u00e9ste depende del azar<\/strong>. <\/p>\n

Ejemplos<\/h2>\n
Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr\u00e1 cara o cruz. <\/p>\n
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.<\/p>\n
Teor\u00eda de probabilidades<\/h2>\n
La teor\u00eda de probabilidades<\/strong> se ocupa de asignar<\/strong> un cierto n\u00famero<\/strong> a cada posible resultado<\/strong> que pueda ocurrir en un experimento aleatorio<\/strong>, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es m\u00e1s probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones<\/strong>:<\/p>\n
Suceso<\/h2>\n
Un suceso<\/strong> es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria<\/strong>.<\/p>\n
Al lanzar una moneda salga cara.<\/p>\n
Al lanzar una moneda se obtenga 4.<\/p>\n
Espacio muestral<\/h2>\n
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria<\/strong>, lo representaremos por E<\/strong> (o bien por la letra griega \u03a9<\/strong>).<\/p>\n
Espacio muestral de una moneda:<\/p>\n
E = {C, X}. <\/p>\n
Espacio muestral de un dado:<\/p>\n
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.<\/p>\n
Suceso aleatorio<\/h2>\n
Suceso aleatorio<\/strong> es cualquier subconjunto del espacio muestral. <\/p>\n
Por ejemplo al tirar un dado un suceso ser\u00eda que saliera par, otro, obtener m\u00faltiplo de 3, y otro, sacar 5.<\/p>\n
Axiomas de la probabilidad
\n <\/h2>\n
\n
1.<\/h2>\n
La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.<\/p>\n
0 \u2264 p(A) \u2264 1<\/strong><\/p>\n
\n
2.<\/h2>\n
La probabilidad del suceso seguro es 1. <\/p>\n
p(E) = 1<\/strong><\/p>\n
\n
3.<\/h2>\n
Si A y B son incompatibles, es decir A $\"Explicaciones$ B = $\"Explicaciones$ entonces:<\/p>\n
p(A \u222a<\/i> B) = p(A) + p(B)<\/strong><\/p>\n
<\/p>\n
Propiedades de la probabilidad
\n <\/h2>\n
\n
1 <\/h2>\n
La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
2 <\/h2>\n
Probabilidad del suceso imposible es cero.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
3 <\/h2>\n
La probabilidad de la uni\u00f3n de dos sucesos es la suma de sus probabilidades rest\u00e1ndole la probabilidad de su intersecci\u00f3n.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
4 <\/h2>\n
Si un suceso est\u00e1 incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de \u00e9ste.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
5 <\/h2>\n
Si A_{1<\/sub>, A_{2<\/sub><\/span>, ..., A_{k<\/sub><\/span> son incompatibles dos a dos entonces:<\/p>\n}}}
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
\n
6 <\/h2>\n
Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x_{1<\/sub>, x_{2<\/sub><\/span>, ..., x_{n<\/sub><\/span>} entonces:<\/p>\n}}}
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:<\/p>\n
P(par) = P(2) + P(4) + P(6)<\/p>\n
<\/p>\n
Regla de Laplace
\n <\/h2>\n
Dado un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables<\/strong>, entonces si A es un suceso, la probabilidad<\/strong> de que ocurra el suceso A es:<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Probabilidad de la uni\u00f3n de sucesos incompatibles<\/strong><\/h3>\n
A $\"Explicaciones$ B = $\"Explicaciones$ <\/p>\n
p(A \u222a<\/i> B) = p(A) + p(B)<\/strong><\/p>\n
Calcular la probabilidad de obtener un 2 \u00f3 un 5 al lanzar un dado. <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Probabilidad de la uni\u00f3n de sucesos compatibles<\/strong> <\/h3>\n
A $\"Explicaciones$ B \u2260 $\"Explicaciones$ <\/p>\n
p(A \u222a<\/i> B) = p(A) + p(B) \u2212 p(A $\"Explicaciones$ B)<\/strong><\/p>\n
p(A \u222a<\/i> B \u222a<\/i> C) = p(A) + p(B) + p(C) \u2212 p(A $\"Explicaciones$ B) \u2212 p(A $\"Explicaciones$ C) \u2212 p(B $\"Explicaciones$ C) + p(A $\"Explicaciones$ B $\"Explicaciones$ C)<\/strong><\/p>\n
Calcular la probabilidad de obtener un m\u00faltiplo de 2 \u00f3 un 6 al lanzar un dado.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Probabilidad condicionada
\n <\/h2>\n
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. <\/p>\n
Se llama probabilidad<\/strong> del suceso A condicionada<\/strong> al B y se representa por P(A\/B)<\/strong> a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B<\/strong>.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Ejemplo<\/h2>\n
Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Sucesos independientes<\/h2>\n
Dos sucesos A y B son independientes si<\/p>\n
p(B\/A) = p(B)<\/strong><\/p>\n
Sucesos dependientes<\/h2>\n
Dos sucesos A y B son dependientes si<\/p>\n
p(B\/A) \u2260 p(B)<\/strong><\/p>\n
<\/p>\n
Probabilidad compuesta
\n <\/h2>\n
Probabilidad de la intersecci\u00f3n de sucesos independientes<\/h3>\n
p(A $\"Explicaciones$ B) = p(A) \u00b7 p(B) <\/strong><\/p>\n
Ejemplo<\/h2>\n
Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de extraer dos ases?<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Probabilidad de la intersecci\u00f3n de sucesos dependientes<\/h3>\n
p(A $\"Explicaciones$ B) = p(A) \u00b7 p(B\/A)<\/strong><\/p>\n
Ejemplo<\/h2>\n
Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de extraer dos ases?<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Probabilidad de la diferencia de sucesos<\/h3>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Si A_{1<\/sub>, A_{2 <\/sub>,... , A_{n <\/sub> son: <\/p>\n}}}
Sucesos incompatibles 2 a 2.<\/p>\n
Y cuya uni\u00f3n es el espacio muestral (A_{1 <\/sub> \u222a<\/i> A_{2 <\/sub> \u222a<\/i>... _{<\/sub> \u222a<\/i> A_{n <\/sub> = E).<\/p>\n}}}}
Y B es otro suceso. <\/p>\n
Resulta que: <\/p>\n
p(B) = p(A_{1<\/sub>) \u00b7 p(B\/A_{1<\/sub>) + p(A_{2<\/sub>) \u00b7 p(B\/A_{2 <\/sub>) + ... + p(A_{n<\/sub>) \u00b7 p(B\/A_{_{n<\/sub> <\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}}}}
Ejemplo<\/h2>\n
Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales a y cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, est\u00e9 fundida?<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n
Si A_{1<\/sub>, A_{2 <\/sub>,... , A_{n <\/sub> son: <\/p>\n}}}
Sucesos incompatibles<\/strong> 2 a 2.<\/p>\n
Y cuya uni\u00f3n<\/strong> es el espacio muestral<\/strong> (A_{1 <\/sub> \u222a<\/i> A_{2 <\/sub> \u222a<\/i>... _{<\/sub> \u222a<\/i> A_{n <\/sub> = E).<\/p>\n}}}}
Y B es otro suceso. <\/p>\n
Resulta que: <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Las probabilidades p(A_{1<\/sub>)<\/strong> se denominan probabilidades a priori<\/strong>. <\/p>\n}
Las probabilidades p(A_{i<\/sub>\/B)<\/strong> se denominan probabilidades a posteriori<\/strong>.<\/p>\n}
Las probabilidades p(B\/A_{i<\/sub>)<\/strong> se denominan verosimilitudes.<\/p>\n}
Ejemplos<\/h2>\n
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas tambi\u00e9n, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
<\/p>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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