{"id":117338,"date":"2020-01-29T18:23:33","date_gmt":"2020-01-29T17:23:33","guid":{"rendered":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/analitica\/plano.html"},"modified":"2020-01-29T18:23:33","modified_gmt":"2020-01-29T17:23:33","slug":"plano","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/analitica\/plano.html","title":{"rendered":"Ecuaci\u00f3n del plano"},"content":{"rendered":"<section id=\"sec\" style=\"\">\n<h3 class=\"r\" style=\"clear:left; text-align:left; margin-left:5%;\">Ecuaci\u00f3n vectorial del plano<\/h3>\n<p class=\"\">Para determinar un <strong>plano del espacio<\/strong> se necesita conocer un <strong>punto P<\/strong> y un <strong>par de vectores<\/strong> que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.<\/p>\n<p class=\"actividades_2\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-1.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 1\" \/><\/p>\n<p class=\"\">Para que el punto P pertenezca al plano \u03c0 el vector <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-2.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 2\"  height=\"23\" class=\"i\" \/> tiene que ser coplanario con <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-3.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 3\"  height=\"26\" class=\"i\" \/> y <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-4.gif\"  height=\"25\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 4\" class=\"i\" \/>, es decir, que dependa linealmente de  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-5.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 5\" width=\"16\" > y <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-6.gif\" width=\"16\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 6\" >.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-7.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 7\" width=\"106\" ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-8.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 8\"  height=\"28\" \/><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-9.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 9\" width=\"391\" ><\/p>\n<h3 class=\"r\" style=\"clear:left; text-align:left; margin-left:5%;\">Ecuaciones param\u00e9tricas del plano<\/h3>\n<p class=\"\">Si operamos en la ecuaci\u00f3n vectorial del plano llegamos a la igualdad:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-10.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 10\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-11.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 11\"  ><\/p>\n<h3 class=\"r\" style=\"clear:left; text-align:left; margin-left:5%;\">Ecuaci\u00f3n general o impl\u00edcita del plano<\/h3>\n<p class=\"\">Un punto est\u00e1 en el plano \u03c0 si tiene soluci\u00f3n el sistema:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-12.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 12\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Este sistema tiene que ser compatible determinado en las inc\u00f3gnitas \u03bb y \u00b5\u00b7 Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los t\u00e9rminos independientes tiene que ser igual a cero.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-13.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 13\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Desarrollando el determinante obtenemos:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-14.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 14\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Damos los valores:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-15.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 15\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Sustituimos:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-16.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 16\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Realizamos  las operaciones y le damos  a D el valor:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-17.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 17\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Obtenemos la <strong>ecuaci\u00f3n general de plano<\/strong>:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-18.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 18\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<h3 class=\"r\" style=\"clear:left; text-align:left; margin-left:5%;\">Ecuaci\u00f3n can\u00f3nica o segmentaria del plano<\/h3>\n<p class=\"actividades_2\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-19.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 19\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la <strong>ecuaci\u00f3n can\u00f3nica<\/strong> viene dada por:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-20.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 20\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-21.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 21\"  ><\/p>\n<h3 class=\"r\" style=\"clear:left; text-align:left; margin-left:5%;\">Ejercicios<\/h3>\n<p class=\"\">\n<h2>1.<\/h2>\n<p>Hallar las <strong>ecuaciones param\u00e9tricas<\/strong> e <strong>impl\u00edcitas<\/strong> del plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-22.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 22\"  height=\"30\" class=\"i\" \/> y <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-23.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 23\" width=\"95\" >.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-24.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 24\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-25.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 25\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-26.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 26\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>2.<\/h2>\n<p>Hallar las <strong>ecuaciones param\u00e9tricas<\/strong> e <strong>impl\u00edcitas<\/strong> del plano que pasa por los puntos A(\u22121, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-27.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 27\"  >.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-28.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 28\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-29.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 29\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-30.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 30\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>3.<\/h2>\n<p>Hallar las <strong>ecuaciones param\u00e9tricas<\/strong> e <strong>impl\u00edcitas<\/strong> del plano que pasa por los puntos A(\u22121, 1, \u22121), B(0, 1, 1) y C(4, \u22123, 2).<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-31.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 31\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-32.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 32\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-33.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 33\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-34.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 34\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>4.<\/h2>\n<p>Sea \u03c0 el plano de <strong>ecuaciones param\u00e9tricas<\/strong>:<\/p>\n<p class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-35.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 35\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9\/2) y B(0, 9, \u22121) pertenecen al plano.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-36.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 36\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-37.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 37\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-38.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 38\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>5.<\/h2>\n<p>Hallar la <strong>ecuaci\u00f3n segmentaria<\/strong> del plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-39.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 39\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-40.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 40\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-41.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 41\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_g\">Dividiendo por \u22122 obtenemos la <strong>ecuaci\u00f3n segmentaria<\/strong>:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-42.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 42\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>6.<\/h2>\n<p>Hallar la <strong>ecuaci\u00f3n del plano<\/strong> que pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuaci\u00f3n:<\/p>\n<p class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-43.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 43\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_g\">De la ecuaci\u00f3n de la recta obtenemos el punto B y el vector <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-44.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 44\"  >. <\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-45.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 45\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-46.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 46\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-47.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 47\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>7.<\/h2>\n<p>Hallar la ecuaci\u00f3n del plano que pasa por los puntos A(1, \u22122, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-48.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 48\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-49.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 49\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-50.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 50\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>8.<\/h2>\n<p>Dadas las rectas<\/p>\n<p class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-51.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 51\"  ><\/p>\n<p class=\"\">Determinar la <strong>ecuaci\u00f3n del plano<\/strong> que contiene a r y es paralelo a s.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-52.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 52\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/ecuaci\u00f3n-del-plano-53.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de ecuaci\u00f3n del plano - 53\"  ><\/p>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Ecuaci\u00f3n vectorial del plano Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes. 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