{"id":117925,"date":"2020-01-29T18:24:54","date_gmt":"2020-01-29T17:24:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/aritmetica\/sucesiones.html"},"modified":"2021-07-15T09:01:52","modified_gmt":"2021-07-15T07:01:52","slug":"sucesiones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/aritmetica\/sucesiones.html","title":{"rendered":"Sucesiones"},"content":{"rendered":"

Se llama sucesi\u00f3n a un conjunto de n\u00fameros dispuestos uno a continuaci\u00f3n de otro.<\/strong><\/p>\n

a_{1<\/sub>, a_{2<\/sub>, a_{3<\/sub> ,..., a_{n<\/sub><\/strong><\/p>\n}}}}

3, 6, 9,..., 3n <\/p>\n

Los números a_{1<\/sub>, a_{2<\/sub> , a_{3<\/sub> , ...<\/strong>; se llaman términos de la sucesión<\/strong>. <\/p>\n}}}

El subíndice<\/strong> indica el lugar que el término ocupa<\/strong> en la sucesión.<\/p>\n

El término general es a_{n <\/sub>es un criterio que nos permite determinar cualquier t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n. <\/strong><\/p>\n}

Determinación de una sucesión:<\/h2>\n
Por el término general<\/h3>\n
a_{n<\/sub>= 2n-1<\/strong><\/p>\n}
a_{1<\/sub>= 2 \u00b71 - 1 = 1 <\/p>\n}
a_{2<\/sub>= 2 \u00b72 - 1 = 3 <\/p>\n}
a_{3<\/sub>= 2 \u00b73 - 1 = 5 <\/p>\n}
a_{4<\/sub>= 2 \u00b74 - 1 = 7 <\/p>\n}
1, 3, 5, 7,..., 2n-1<\/strong><\/p>\n
No todas las sucesiones tienen t\u00e9rmino general<\/strong>. Por ejemplo, la sucesi\u00f3n de los n\u00fameros primos<\/strong>:<\/p>\n
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... <\/p>\n
Por una ley de recurrencia <\/h3>\n
Los t\u00e9rminos se obtienen operando con los anteriores. <\/strong><\/p>\n
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.<\/p>\n
2, 4, 16, ... <\/strong><\/p>\n
Sucesi\u00f3n de Fibonacci<\/strong><\/h2>\n
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...<\/strong><\/p>\n
Los dos primeros t\u00e9rminos son unos y los dem\u00e1s se obtienen sumando los dos t\u00e9rminos anteriores. <\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Operaciones con sucesiones <\/h3>\n
Dadas las sucesiones a_{n<\/sub> y b_{n<\/sub>:<\/p>\n}}
a_{n<\/sub>= a_{1<\/sub>, a_{2<\/sub>, a_{3<\/sub>, ..., a_{n<\/sub><\/p>\n}}}}}
b_{n<\/sub>= b_{1<\/sub>, b_{2<\/sub>, b_{3<\/sub>, ..., b_{n<\/sub><\/p>\n}}}}}
Suma con sucesiones: <\/h3>\n
(a_{n<\/sub>) + (b_{n<\/sub>) = (a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}
(a_{n<\/sub>) + (b_{n<\/sub>) = (a_{1<\/sub> + b_{1<\/sub>, a_{2<\/sub> + b_{2<\/sub>, a_{3<\/sub> + b_{3<\/sub>, ..., a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}}}}}}}
Propiedades<\/strong><\/h2>\n
\n
1<\/h2>\n
Asociativa: <\/p>\n
(a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub>) + c_{n<\/sub> = a_{n<\/sub> + (b_{n<\/sub> + c _{n<\/sub>)<\/p>\n}}}}}}
\n
2<\/h2>\n
Conmutativa: <\/p>\n
a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub> = b_{n<\/sub> + a _{n<\/sub><\/p>\n}}}}
\n
3<\/h2>\n
Elemento neutro <\/p>\n
(0) = (0, 0, 0, ...) <\/p>\n
a_{n<\/sub> + 0 = a_{n<\/sub><\/p>\n}}
\n
4<\/h2>\n
Sucesi\u00f3n opuesta<\/p>\n
(-a_{n<\/sub>) = (-a_{1<\/sub>, -a_{2<\/sub>, -a_{3<\/sub>, ..., -a_{n<\/sub>) <\/p>\n}}}}}
a_{n<\/sub> + (-a_{n<\/sub>) = 0<\/p>\n}}
Diferencia con sucesiones: <\/h3>\n
(a_{n<\/sub>) - (b_{n<\/sub>) = (a_{n<\/sub> - b_{n<\/sub>)<\/strong><\/p>\n}}}}
(a_{n<\/sub>) - (b_{n<\/sub>) = (a_{1<\/sub> - b_{1<\/sub>, a_{2<\/sub> - b_{2<\/sub>, a_{3<\/sub> - b_{3<\/sub>, ..., a_{n<\/sub> - b_{n<\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}}}}}}}
Producto con sucesiones: <\/h3>\n
(a_{n<\/sub>) · (b_{n<\/sub>) = (a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub>)<\/strong><\/p>\n}}}}
(a_{n<\/sub>) · (b_{n<\/sub>) = (a_{1<\/sub> · b_{1<\/sub>, a_{2<\/sub> · b_{2<\/sub>, a_{3<\/sub> · b_{3<\/sub>, ..., a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub>)<\/strong><\/p>\n}}}}}}}}}}
Propiedades<\/strong><\/h2>\n
\n
1<\/h2>\n
Asociativa: <\/p>\n
(a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub>) · c _{n<\/sub> = a_{n<\/sub> · (b_{n<\/sub> · c _{n<\/sub>)<\/p>\n}}}}}}
\n
2<\/h2>\n
Conmutativa: <\/p>\n
a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub> = b_{n<\/sub> · a _{n<\/sub><\/p>\n}}}}
\n
3<\/h2>\n
Elemento neutro <\/p>\n
(1) = (1, 1, 1, ..) <\/p>\n
a_{n<\/sub> · 1 = a_{n<\/sub><\/p>\n}}
\n
4<\/h2>\n
Distributiva respecto a la suma<\/p>\n
a_{n<\/sub> · (b_{n<\/sub> + c _{n<\/sub>) = a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub> + a_{n<\/sub> · c _{n<\/sub><\/p>\n}}}}}}}
Sucesi\u00f3n inversible<\/h3>\n
Una sucesi\u00f3n es inversible o invertible si todos sus t\u00e9rminos son distintos de cero. Si la sucesi\u00f3n b_{n<\/sub> es inversible, su inversa es:<\/p>\n}
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Cociente<\/h3>\n
S\u00f3lo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Tipos de sucesiones <\/h2>\n
Sucesiones mon\u00f3tonas<\/h3>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n
Sucesiones estrictamente crecientes<\/h3>\n
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior<\/strong>. <\/p>\n
a_{n+1<\/sub> > a_{n<\/sub><\/strong><\/p>\n}}
2, 5, 8, 11, 14, 17,...<\/p>\n
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...<\/p>\n
Sucesiones crecientes<\/h3>\n
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior<\/strong>. <\/p>\n
a_{n+1<\/sub> ≥ a_{n<\/sub><\/strong><\/p>\n}}
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...<\/p>\n
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...<\/p>\n
Sucesiones estrictamente decrecientes<\/h3>\n
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior. <\/strong><\/p>\n
a_{n+1<\/sub> < a_{n<\/sub><\/strong><\/p>\n}}
1, 1\/2, 1\/3, 1\/4, 1\/5, 1\/6,...<\/p>\n
1\/2 < 1; 1\/3 < 1\/2 ; 1\/4 < 1\/3; ... <\/p>\n
Sucesiones decrecientes<\/h3>\n
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.<\/strong><\/p>\n
a_{n+1<\/sub> \u2264 a_{n<\/sub><\/strong>_{<\/sub><\/p>\n}}}
Sucesiones constantes<\/h3>\n
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_{n<\/sub>= k.<\/strong><\/p>\n}
a_{n<\/sub> = a_{n+1<\/sub><\/strong><\/p>\n}}
5, 5, 5, 5, ... <\/p>\n
Sucesiones acotadas inferiormente<\/h3>\n
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior<\/span> <\/span> de la sucesión.<\/strong><\/p>\n
a_{n<\/sub> ≥ k<\/strong><\/p>\n}
A la mayor de las cotas inferiores se le llama<\/strong> extremo inferior o \u00ednfimo <\/span>.<\/p>\n
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos<\/strong> se le llama m\u00ednimo<\/span>.<\/p>\n
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.<\/p>\n
Sucesiones acotadas superiormente<\/h3>\n
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior <\/span> de la sucesión.<\/strong><\/p>\n
a_{n <\/sub>\u2264 k'<\/strong><\/p>\n}
A la menor de las cotas superiores se le llama<\/strong> extremo superior o supremo<\/span>.<\/p>\n
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos<\/strong> se llama m\u00e1ximo<\/span>.<\/p>\n
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.<\/p>\n
Sucesiones acotadas<\/h3>\n
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente<\/strong>. Es decir si hay un número k<\/strong> menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K'<\/strong> mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'<\/strong>.<\/p>\n
k ≤ a_{n<\/sub> ≤ K'<\/strong><\/p>\n}
Ejemplos<\/h3>\n
a_{n<\/sub> = 1, 2, 3, 4, 5, ...n<\/strong><\/p>\n}
Es creciente.<\/p>\n
Está acotada inferiormente <\/p>\n
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...<\/p>\n
El mínimo es 1.<\/p>\n
No está acotada superiormente. <\/p>\n
Divergente<\/p>\n
b_{n<\/sub> = -1, -2, -3, -4, -5, ... -n <\/strong><\/p>\n}
Es decreciente.<\/p>\n
Está acotada superiormente <\/p>\n
Cotas superiores: -1, 0, 1, ...<\/p>\n
El máximo es -1. <\/p>\n
No está acotada inferiormente. <\/p>\n
Divergente<\/p>\n
c_{n<\/sub> = 2, 3\/2, 4\/3, 5\/4, ..., n+1 \/n <\/strong><\/p>\n}
Es decreciente.<\/p>\n
Está acotada superiormente <\/p>\n
Cotas superiores: 2, 3, 4, ...<\/p>\n
El máximo es 2. <\/p>\n
Está acotada inferiormente <\/p>\n
Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...<\/p>\n
El ínfimo es 1.<\/p>\n
Convergente, l\u00edmite = 1. <\/p>\n
d_{n<\/sub>= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)^{n-1<\/sup> 2^{n<\/sup><\/strong><\/p>\n}}}
No es monótona.<\/p>\n
No está acotada. <\/p>\n
No es convergente ni divergente. <\/p>\n
<\/p>\n
Ejercicios resueltos de de sucesiones<\/a><\/h2>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Se llama sucesi\u00f3n a un conjunto de n\u00fameros dispuestos uno a continuaci\u00f3n de otro. a1, a2, a3 ,…, an 3, 6, 9,…, 3n Los números a1, a2 , a3 , …; se llaman términos de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión. El término general es an es […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_seopress_robots_primary_cat":"none","_seopress_titles_title":"","_seopress_titles_desc":"","_seopress_robots_index":"","advgb_blocks_editor_width":"","advgb_blocks_columns_visual_guide":"","footnotes":""},"categories":[377],"tags":[379],"class_list":["post-117925","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-aritmetica","tag-s"],"acf":[],"author_meta":{"display_name":"Andra","author_link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/author\/andra"},"featured_img":null,"coauthors":[],"tax_additional":{"categories":{"linked":["Aritm\u00e9tica<\/a>"],"unlinked":["Aritm\u00e9tica<\/span>"]},"tags":{"linked":["s<\/a>"],"unlinked":["s<\/span>"]}},"comment_count":"0","relative_dates":{"created":"Publicado 6 a\u00f1os hace","modified":"Actualizado 5 a\u00f1os hace"},"absolute_dates":{"created":"Publicado el 29 enero 2020","modified":"Actualizado el 15 julio 2021"},"absolute_dates_time":{"created":"Publicado el 29 enero 2020 18 h 24 min","modified":"Actualizado el 15 julio 2021 9 h 01 min"},"featured_img_caption":"","series_order":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/117925","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=117925"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/117925\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":130242,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/117925\/revisions\/130242"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=117925"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=117925"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=117925"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}

Suma con sucesiones: <\/h3>\n(an<\/sub>) + (bn<\/sub>) = (an<\/sub> + bn<\/sub>) <\/strong><\/p>\n(an<\/sub>) + (bn<\/sub>) = (a1<\/sub> + b1<\/sub>, a2<\/sub> + b2<\/sub>, a3<\/sub> + b3<\/sub>, ..., an<\/sub> + bn<\/sub>) <\/strong><\/p>\n

1<\/h2>\nAsociativa: <\/p>\n(an<\/sub> + bn<\/sub>) + cn<\/sub> = an<\/sub> + (bn<\/sub> + c n<\/sub>)<\/p>\n\n

2<\/h2>\n Conmutativa: <\/p>\nan<\/sub> + bn<\/sub> = bn<\/sub> + a n<\/sub><\/p>\n\n

3<\/h2>\n Elemento neutro <\/p>\n(0) = (0, 0, 0, ...) <\/p>\nan<\/sub> + 0 = an<\/sub><\/p>\n\n

4<\/h2>\n Sucesi\u00f3n opuesta<\/p>\n(-an<\/sub>) = (-a1<\/sub>, -a2<\/sub>, -a3<\/sub>, ..., -an<\/sub>) <\/p>\nan<\/sub> + (-an<\/sub>) = 0<\/p>\n

Diferencia con sucesiones: <\/h3>\n(an<\/sub>) - (bn<\/sub>) = (an<\/sub> - bn<\/sub>)<\/strong><\/p>\n(an<\/sub>) - (bn<\/sub>) = (a1<\/sub> - b1<\/sub>, a2<\/sub> - b2<\/sub>, a3<\/sub> - b3<\/sub>, ..., an<\/sub> - bn<\/sub>) <\/strong><\/p>\n

1<\/h2>\n Asociativa: <\/p>\n(an<\/sub> · bn<\/sub>) · c n<\/sub> = an<\/sub> · (bn<\/sub> · c n<\/sub>)<\/p>\n\n

2<\/h2>\n Conmutativa: <\/p>\nan<\/sub> · bn<\/sub> = bn<\/sub> · a n<\/sub><\/p>\n\n

3<\/h2>\n Elemento neutro <\/p>\n(1) = (1, 1, 1, ..) <\/p>\nan<\/sub> · 1 = an<\/sub><\/p>\n\n

4<\/h2>\n Distributiva respecto a la suma<\/p>\nan<\/sub> · (bn<\/sub> + c n<\/sub>) = an<\/sub> · bn<\/sub> + an<\/sub> · c n<\/sub><\/p>\n

Sucesi\u00f3n inversible<\/h3>\nUna sucesi\u00f3n es inversible o invertible si todos sus t\u00e9rminos son distintos de cero. Si la sucesi\u00f3n bn<\/sub> es inversible, su inversa es:<\/p>\n<\/p>\n

Cociente<\/h3>\nS\u00f3lo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.<\/p>\n<\/p>\n

Tipos de sucesiones <\/h2>\n

Sucesiones mon\u00f3tonas<\/h3>\n<\/p>\n

Sucesiones estrictamente crecientes<\/h3>\nSe dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior<\/strong>. <\/p>\nan+1<\/sub> > an<\/sub><\/strong><\/p>\n2, 5, 8, 11, 14, 17,...<\/p>\n5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...<\/p>\n

Suma con sucesiones: <\/h3>\n
(a_{n<\/sub>) + (b_{n<\/sub>) = (a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}
(a_{n<\/sub>) + (b_{n<\/sub>) = (a_{1<\/sub> + b_{1<\/sub>, a_{2<\/sub> + b_{2<\/sub>, a_{3<\/sub> + b_{3<\/sub>, ..., a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}}}}}}}

1<\/h2>\n
Asociativa: <\/p>\n
(a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub>) + c_{n<\/sub> = a_{n<\/sub> + (b_{n<\/sub> + c _{n<\/sub>)<\/p>\n}}}}}}
\n

2<\/h2>\n
Conmutativa: <\/p>\n
a_{n<\/sub> + b_{n<\/sub> = b_{n<\/sub> + a _{n<\/sub><\/p>\n}}}}
\n

3<\/h2>\n
Elemento neutro <\/p>\n
(0) = (0, 0, 0, ...) <\/p>\n
a_{n<\/sub> + 0 = a_{n<\/sub><\/p>\n}}
\n

4<\/h2>\n
Sucesi\u00f3n opuesta<\/p>\n
(-a_{n<\/sub>) = (-a_{1<\/sub>, -a_{2<\/sub>, -a_{3<\/sub>, ..., -a_{n<\/sub>) <\/p>\n}}}}}
a_{n<\/sub> + (-a_{n<\/sub>) = 0<\/p>\n}}

Diferencia con sucesiones: <\/h3>\n
(a_{n<\/sub>) - (b_{n<\/sub>) = (a_{n<\/sub> - b_{n<\/sub>)<\/strong><\/p>\n}}}}
(a_{n<\/sub>) - (b_{n<\/sub>) = (a_{1<\/sub> - b_{1<\/sub>, a_{2<\/sub> - b_{2<\/sub>, a_{3<\/sub> - b_{3<\/sub>, ..., a_{n<\/sub> - b_{n<\/sub>) <\/strong><\/p>\n}}}}}}}}}}

1<\/h2>\n
Asociativa: <\/p>\n
(a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub>) · c _{n<\/sub> = a_{n<\/sub> · (b_{n<\/sub> · c _{n<\/sub>)<\/p>\n}}}}}}
\n

2<\/h2>\n
Conmutativa: <\/p>\n
a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub> = b_{n<\/sub> · a _{n<\/sub><\/p>\n}}}}
\n

3<\/h2>\n
Elemento neutro <\/p>\n
(1) = (1, 1, 1, ..) <\/p>\n
a_{n<\/sub> · 1 = a_{n<\/sub><\/p>\n}}
\n

4<\/h2>\n
Distributiva respecto a la suma<\/p>\n
a_{n<\/sub> · (b_{n<\/sub> + c _{n<\/sub>) = a_{n<\/sub> · b_{n<\/sub> + a_{n<\/sub> · c _{n<\/sub><\/p>\n}}}}}}}

Sucesi\u00f3n inversible<\/h3>\n
Una sucesi\u00f3n es inversible o invertible si todos sus t\u00e9rminos son distintos de cero. Si la sucesi\u00f3n b_{n<\/sub> es inversible, su inversa es:<\/p>\n}
$\"Explicaciones$ <\/p>\n

Cociente<\/h3>\n
S\u00f3lo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.<\/p>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n

Sucesiones mon\u00f3tonas<\/h3>\n
$\"Explicaciones$ <\/p>\n

Sucesiones estrictamente crecientes<\/h3>\n
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior<\/strong>. <\/p>\n
a_{n+1<\/sub> > a_{n<\/sub><\/strong><\/p>\n}}
2, 5, 8, 11, 14, 17,...<\/p>\n
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...<\/p>\n