{"id":118076,"date":"2020-01-29T18:25:08","date_gmt":"2020-01-29T17:25:08","guid":{"rendered":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/calculo\/rolle.html"},"modified":"2020-01-29T18:25:08","modified_gmt":"2020-01-29T17:25:08","slug":"rolle","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/calculo\/rolle.html","title":{"rendered":"Teorema de rolle"},"content":{"rendered":"<section id=\"sec\" style=\"\">\n<p class=\"\">El <strong>teorema de Rolle<\/strong> dice que:<\/p>\n<p class=\"\">Si <strong>f<\/strong> es una funci\u00f3n <strong>continua<\/strong> en  [a, b] y <strong>derivable<\/strong> en (a, b), tal que <strong>f(a) = f(b)<\/strong>, hay alg\u00fan punto <strong>c<\/strong> <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-1.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 1\"  > <strong>(a, b)<\/strong> en el que <strong>f'(c) = 0<\/strong>.<\/p>\n<p class=\"actividades_2\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-2.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 2\"  ><\/p>\n<p class=\"\">La <strong>interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica del teorema de Rolle<\/strong> nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.<\/p>\n<h2 class=\"t\">Ejemplos<\/h2>\n<p class=\"\">\n<h2>1. <\/h2>\n<p> \u00bfEs aplicable el <strong>teorema de Rolle<\/strong> a la funci\u00f3n f(x) = |x \u2212 1| en el intervalo [0, 2]?<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-3.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 3\"  ><\/p>\n<p class=\"\">La funci\u00f3n es continua en [0, 2].<\/p>\n<p class=\"\">No es aplicable el <strong>teorema de Rolle<\/strong> porque la soluci\u00f3n no es derivable en el punto x = 1.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-4.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 4\"   ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-5.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 5\" width=\"261\" height=\"26\" \/><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>2. <\/h2>\n<p> Estudiar si la funci\u00f3n f(x) = x \u2212 x<sup>3<\/sup> satisface las condiciones del <strong>teorema de Rolle<\/strong> en los intervalos [\u22121, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.<\/p>\n<p class=\"\">f(x) es una funci\u00f3n continua en los intervalos [\u22121, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (\u22121, 0) y (0, 1)  por ser una funci\u00f3n polin\u00f3mica.<\/p>\n<p class=\"\">Adem\u00e1s se cumple que:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">f(\u22121) = f(0) = f(1) = 0<\/p>\n<p class=\"\">Por tanto es aplicable el <strong>teorema de Rolle<\/strong>.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-6.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 6\"  ><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-7.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 7\"  ><\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>3.<\/h2>\n<p>\u00bfSatisface la funci\u00f3n f(x) = 1 \u2212 x las condiciones del <strong>teorema de Rolle<\/strong> en el intervalo [\u22121, 1]?<\/p>\n<p class=\"\">La funci\u00f3n es continua en el intervalo [\u22121, 1] y derivable en (\u22121, 1) por ser una funci\u00f3n polin\u00f3mica.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">No cumple <strong>teorema de Rolle<\/strong> porque f(\u22121) \u2260 f(1).<\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>4.<\/h2>\n<p>Probar que la ecuaci\u00f3n 1 + 2x + 3x<sup>2<\/sup> + 4x<sup>3<\/sup> = 0 tiene una \u00fanica soluci\u00f3n.<\/p>\n<p class=\"\">Vamos a demostrarlo por reducci\u00f3n al absurdo.<\/p>\n<p class=\"\">Si la funci\u00f3n tuviera dos ra\u00edces distintas x<sub>1<\/sub> y x<sub>2<\/sub>, siendo  x<sub>1<\/sub>&lt; x<sub>2<\/sub> , tendr\u00edamos que:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">f(x<sub>1<\/sub>) = f(x<sub>2<\/sub>) = 0<\/p>\n<p class=\"\">Y como la funci\u00f3n es continua y derivable por ser una funci\u00f3n polin\u00f3mica, podemos aplicar el <strong>teorema del Rolle<\/strong>, que dir\u00eda que existe un c <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-8.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 8\"  > (x<sub>1<\/sub>, x<sub>2<\/sub>) tal que f' (c) = 0.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\"> f' (x) = 2 + 6x + 12x<sup>2<\/sup> <span style=\"margin-left:10%;\">f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x<sup>2<\/sup>).<\/span><\/p>\n<p class=\"\">Pero f' (x) \u2260 0, no admite soluciones reales porque el <a href=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/algebra\/discriminante.html\">discrim\u00ednante<\/a> es negativo:<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">\u0394 = 9 \u2212 24 &lt; 0.<\/p>\n<p class=\"\">Como la derivada no se anula en ning\u00fan valor est\u00e1 en contradicci\u00f3n con el <strong>teorema de Rolle<\/strong>, por lo que la hip\u00f3tesis de que existen dos ra\u00edces es falsa. <\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>5.<\/h2>\n<p>\u00bfCu\u00e1ntas ra\u00edces tiene la ecuaci\u00f3n x<sup>3<\/sup> + 6x<sup>2<\/sup> + 15x \u2212 25 = 0?<\/p>\n<p class=\"\">La funci\u00f3n f(x) = x<sup>3<\/sup> + 6x<sup>2<\/sup> + 15x \u2212 25 es continua y derivable en <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-9.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 9\" class=\"i\" \/>\u00b7<\/p>\n<p class=\"\"><a href=\"https:\/\/www.superprof.es\/apuntes\/escolar\/matematicas\/calculo\/derivadas\/teorema-de-bolzano.html\">Teorema de Bolzano<\/a>.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\">f(0) = \u221225<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">f(2) = 37<\/p>\n<p class=\"\">Por tanto la ecuaci\u00f3n tiene al menos una soluci\u00f3n en el intervalo (0, 2).<\/p>\n<p class=\"\"><strong>Teorema de Rolle<\/strong>.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">f' (x) = 3x<sup>2<\/sup> + 12x +15 <\/p>\n<p class=\"\">Dado que la derivada no se anula, ya que su <a href=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/algebra\/discriminante.html\">discriminante<\/a> es negativo, la funci\u00f3n es estrictamente creciente y posee una \u00fanica ra\u00edz.<\/p>\n<p><\/p>\n<p class=\"\">\n<h2>6.<\/h2>\n<p>Demostrar que la ecuaci\u00f3n 2x<sup>3<\/sup> \u2212 6x + 1 = 0 una \u00fanica soluci\u00f3n real en el intervalo (0, 1).<\/p>\n<p class=\"\">La funci\u00f3n f(x) = 2x<sup>3<\/sup> \u2212 6x + 1 es continua y derivable en <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-content\/uploads\/2020\/01\/teorema-de-rolle-10.gif\" alt=\"Explicaciones y ejemplos de teorema de rolle - 10\" class=\"i\" \/>\u00b7<\/p>\n<p class=\"\"><a href=\"https:\/\/www.superprof.es\/apuntes\/escolar\/matematicas\/calculo\/derivadas\/teorema-de-bolzano.html\">Teorema de Bolzano<\/a>.<\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">f(0) = 1<\/p>\n<p class=\"actividades_2_r\">f(1) = \u22123 <\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">Por tanto la ecuaci\u00f3n tiene al menos una soluci\u00f3n en el intervalo (0, 1).<\/p>\n<p class=\"\"><strong>Teorema de Rolle.<\/strong><\/p>\n<p class=\"actividades_2_v\">f' (x) = 6x<sup>2<\/sup> - 6 <span style=\"margin-left:10%;\">6x<sup>2<\/sup> - 6 = 0 <\/span><span style=\"margin-left:10%;\">6(x \u2212 1) (x + 1<\/span>) = 0<\/p>\n<p class=\"\"> La derivada se anula en x = 1 y x = \u22121, por tanto no puede haber dos ra\u00edces en el intervalo (0, 1).<\/p>\n<\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El teorema de Rolle dice que: Si f es una funci\u00f3n continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay alg\u00fan punto c (a, b) en el que f'(c) = 0. La interpretaci\u00f3n gr\u00e1fica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_seopress_robots_primary_cat":"","_seopress_titles_title":"","_seopress_titles_desc":"","_seopress_robots_index":"","advgb_blocks_editor_width":"","advgb_blocks_columns_visual_guide":"","footnotes":""},"categories":[366],"tags":[369],"class_list":["post-118076","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-calculo","tag-r"],"acf":[],"author_meta":{"display_name":"Andra","author_link":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/author\/andra"},"featured_img":null,"coauthors":[],"tax_additional":{"categories":{"linked":["<a href=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/calculo\" class=\"advgb-post-tax-term\">C\u00e1lculo<\/a>"],"unlinked":["<span class=\"advgb-post-tax-term\">C\u00e1lculo<\/span>"]},"tags":{"linked":["<a href=\"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/matematicas\/calculo\" class=\"advgb-post-tax-term\">r<\/a>"],"unlinked":["<span class=\"advgb-post-tax-term\">r<\/span>"]}},"comment_count":"0","relative_dates":{"created":"Publicado 6 a\u00f1os hace","modified":"Actualizado 6 a\u00f1os hace"},"absolute_dates":{"created":"Publicado el 29 enero 2020","modified":"Actualizado el 29 enero 2020"},"absolute_dates_time":{"created":"Publicado el 29 enero 2020 18 h 25 min","modified":"Actualizado el 29 enero 2020 18 h 25 min"},"featured_img_caption":"","series_order":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/118076","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=118076"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/118076\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=118076"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=118076"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.superprof.es\/diccionario\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=118076"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}