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Historia y usos del número imaginario i

Publicado por Marisol, el 15/06/2019 Blog > Apoyo escolar > Matemáticas > Aprender a Usar el Número i en Matemáticas

«La verdad está hecha para las matemáticas, la química, la filosofía, pero no para la vida» – Ernesto Sabato (1911-2011)

Hacer bien los ejercicios de Matemáticas es una hazaña técnica para muchos alumnos desde primaria a bachillerato: desde el logaritmo neperiano hasta la función exponencial, desde el álgebra hasta la geometría, a veces es difícil visualizar las Matemáticas de manera concreta.

Es decir, las clases de matemáticas no siempre son tan concretas: esto se evidencia en el número i, que es uno de los números complejos y cuyo uso en matemáticas puede parecer bastante difícil.

En el último Informe PISA realizado en 2015, parece que los alumnos de los países asiáticos son mejores en Matemáticas que en Europa, y es en América Latina donde se alcanzan las puntuaciones más bajas. En este artículo, Superprof se interesa por un número irracional en álgebra: ¡el número i!

Descubre con nosotros los números más famosos de las Matemáticas.

El álgebra, una parte importante de las Matemáticas

Introducción al número i ¡El álgebra puede ser divertida!

En matemáticas, evidentemente, ¡los números no pueden faltar! Pero es cierto que no todas las cifras se usan de la misma manera, en el sentido de que una suma y los números complejos no tienen las mismas virtudes. Y algunos números son más complejos que otros… En general, distinguimos varias disciplinas solo en álgebra, con diferentes niveles de complejidad:

  • El álgebra no conmutativa,
  • La nueva álgebra,
  • La aritmética,
  • El cálculo formal,
  • La geometría algebraica,
  • El álgebra homológica,
  • El álgebra lineal,
  • La estructura algebraica,
  • El teorema del álgebra.

¡Y muchas otras disciplinas!

El uso de los números es muy variado y es necesario un aprendizaje meticuloso. Solo en álgebra, llevaría cientos de horas ver todo el programa. Pero ciertos dominios, como los números imaginarios, tienen propiedades muy particulares y, por definición, complejas. ¿Quieres saber más? Entonces, ¡vamos allá!

Precisamente, en su forma algebraica, los números complejos se presentan de la siguiente manera, con la fórmula:

a + ib

El número a corresponde a la parte real, mientras que la parte b corresponde a la parte imaginaria.

Primero hay que entender que los números complejos incluyen tanto números reales como números imaginarios. Más exactamente, existen las denominaciones siguientes:

  • N = conjunto de números naturales,
  • Z = conjunto de enteros relativos,
  • D = conjunto de decimales,
  • Q = conjunto de racionales,
  • R = conjunto de reales,
  • C = conjunto de complejos.

El número imaginario puro, llamado i, forma parte del campo de los números complejos, al que aplicamos el cuadrado -1. Vamos a explicar con más detalle en este artículo los entresijos de este fascinante número.

¡Vamos a meternos de lleno en el tema!

¿Quieres saber más sobre el número e?

El número i: propiedades y definición

El número i… Eh… una letra del alfabeto más bien, ¿no?

Propiedades y definición del número i Si no dominas los números enteros naturales, es inútil aprender los números enteros relativos…

El número i se define en Matemáticas como un número complejo cuya asimilación es sencilla, pero requiere facultades de abstracción. Nos explicamos:

En Matemáticas, algunas ecuaciones de segundo grado no tienen una solución real porque no hay un número real cuyo cuadrado sea negativo. Esto significa que uno no puede multiplicar un valor por sí mismo sin producir un resultado positivo: por ejemplo, 2² es 4, al igual que (-2)².

Para comprender esta propiedad matemática, hay que remontarse a las clases de Matemáticas de primaria, donde se aprende la regla de los signos: sumar, restar, dividir o multiplicar más por más da más, menos por más y más por menos da menos, y menos por menos da más.

Si el teorema matemático quiere que el producto de dos números negativos sea positivo, deducimos que el cuadrado de cualquier número, incluso negativo, es positivo.

Así, en el año 4, entre las figuras geométricas, el teorema de Pitágoras y Tales, se definen las raíces cuadradas de la siguiente manera: la raíz cuadrada de x es el número que, elevado al cuadrado, es igual a x. Si n =  entonces n² = x. Entonces  = 3.

¿Adónde queremos llegar? A lo largo de los muchos siglos de la historia de las Matemáticas, la búsqueda de las raíces cuadradas para los números negativos ha llevado a la invención de los números complejos como i.

El conjunto de números complejos se considera como una extensión del conjunto de números reales que contienen un número imaginario de i exponente (a;b) tal que i = raíz cuadrada de -1 e i² = -1, con el cuadrado de (-i) también igual a -1.

El principio es que cualquier número puede ser escrito bajo la forma a + i b donde a y b son números reales, negativos o positivos. La raíz cuadrada de -4 es por lo tanto igual a 2i.

Cualquier número de la fórmula b i, donde b es diferente de 0 es un número imaginario puro. Es por eso que los números «raíz cuadrada de -4 = 2i», «raíz cuadrada de -16 = 4i», etc. son números imaginarios.

Si la raíz cuadrada de -1 no existe, no podemos estimar decimales exactos o aproximados como lo hacemos para las raíces de números positivos (ejemplo, raíz cuadrada de 5 = 2,236).

Así, el número i es un concepto que permite concebir una familia entera de raíces cuadradas de números negativos.

Preguntas:

  • ¿Qué número obtenemos si elevamos 3i al cuadrado?
  • ¿Cuál de estos dos números tiene un cuadrado de -16 (-4 o 4i)?

(Las respuestas están al final del artículo).

¿Te interesa conocer también el número 0?

La historia del número i

Los números complejos surgen en el siglo XVI, cuando Gerolamo Cardano (1501-1576), un matemático italiano, presentó  para resolver una ecuación de tercer grado.

Raphael Bombelli (1526-1572 o 1573) es el primer matemático que elaboró ​​reglas de cálculo sobre «números imposibles» en Algebra, donde aparecen las primeras propiedades de los números complejos.

Historia del número i Einstein, genio de las matemáticas, usó el número i para elaborar su teoría de la relatividad.

El número i se origina a partir de la búsqueda de soluciones no reales para ecuaciones de tercer grado, ecuaciones polinomiales con una raíz cúbica.

En 1637, el filósofo francés René Descartes (1595-1650) bautizó estos valores imposibles de números imaginarios. Más tarde, la notación i aparece en 1777 bajo el impulso de la obra de Leonhard Euler (1707-1783), el inventor del número e para calcular la función exponencial, para los números que califica de imposibles o imaginarios.

Durante el siglo XIX, gracias en particular a las obras de C.F. Gauss (1777-1855), estos números complejos imaginarios puros terminan siendo considerados como números por derecho propio.

El interés de los números complejos como e o i es poder, según Augustin Louis Cauchy (1789-1857), «escribir de forma abreviada resultados bastante complicados en apariencia», con «una combinación de signos algebraicos que no significa nada en sí misma».

Para facilitar el cálculo algebraico, también se introducen los números complejos en la representación geométrica para facilitar los cálculos.

Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?

¿Por qué usar los números imaginarios puros?

Hay muchos usos y aplicaciones de los números complejos, aunque cuando se hacen ejercicios de matemáticas para estudiar para tus exámenes no veas demasiada utilidad en calcular números imaginarios…

Aplicaciones del número i ¿Sabías que los ingenieros informáticos usaron el número i para crear los ordenadores?

Pero ¿para qué se crearon los números imaginarios? De hecho, el número i permite resolver ecuaciones que no tienen solución real.

Pero en matemáticas, es un error considerar que una ecuación no tiene solución, ya que depende del conjunto de números considerados.

Aquí tienes dos ejemplos:

  • La ecuación x + 8 = 1 no tiene solución en el conjunto de números naturales (donde x es igual a -7), pero sí en el conjunto de números relativos;
  • La ecuación x² = 2 (x = raíz de 2) no tiene solución en el conjunto de números racionales, pero sí en el conjunto de números irracionales.

¿Y por qué no imaginar que 2 + 2 es 10, ya que estamos…?

De hecho, gracias al número imaginario i ha sido posible resolver absolutamente todas las ecuaciones, ya sean de números enteros, irracionales o decimales.

El uso del número imaginario también ha permitido avanzar en la investigación física y en la electricidad, ya que el número i permitió el estudio de los circuitos impresos de los ordenadores y, por lo tanto, es la base de la revolución informática del siglo XX.

La transición a los números puros complejos e imaginarios permite la resolución de problemas sin solución sin este número i, para algunas integrales, por ejemplo.

Los ingenieros también utilizan los números complejos cuando tienen que calcular formas de onda (en acústica o electrónica) o de flujo (aerodinámica, hidrodinámica) y se utilizan en el uso de radares, imágenes o sonares.

Es con la ayuda de los números complejos que los ingenieros pueden describir el comportamiento de los circuitos electrónicos.

Descubre también la historia de los números primos.

Dónde aprender el número i

¿Quieres progresar en Matemáticas, lanzarte a la aventura de los números imaginarios y complejos y te fascina la dosis de abstracción que es necesaria para entenderlos?

Recursos para aprender el número i Aprender el número i en línea es tener la capacidad de abstracción necesaria para olvidarte un poco del mundo real…

¡Busca a tu profesor ideal de Matemáticas en Superprof! En Madrid, por ejemplo, hay inscritos más de 4000 profesores en la plataforma para dar clases de Matemáticas a domicilio.

Pero si recibir clases particulares a domicilio te resulta demasiado costoso, también existe la solución de las lecciones en línea. Aquí tienes algunos sitios, canales de video y tutoriales.

Khan Academy

Este sitio para aprender Matemáticas en todos los sentidos te permite repasar los números complejos tanto en lecciones teóricas como en videos.

Hay recordatorios sobre las raíces cuadradas, el número i, las raíces cuadradas de un número negativo en el conjunto de números complejos, el número cuyo cuadrado es -52 (por ejemplo), las potencias de i, etc.

YouTube

Simplemente escribiendo «número i» en la barra de búsqueda de YouTube, obtendrás muchos videos para entender este número imaginario.

Dado que puede parecer difícil hacer cálculos con un número imaginario, te recuerdan que es un concepto matemático para simplificar los cálculos.

Hay muchos videos relacionados con el número i de acceso libre. Así podrás hacer ejercicios interactivos de Matemáticas sin el estrés de tener al profesor detrás de ti.

Lee también nuestro artículo sobre los números perfectos.

Estudio de caso con el número i

Estudios de caso del número i Para dominar los números imaginarios, ¡es mejor recurrir a los expertos!

Concretamente, ¿cómo se utiliza el número i? Vamos a coger una fórmula simple y a explicar las diferentes etapas del razonamiento, con referencia a la parte introductoria sobre el álgebra: a + bi. En este caso, las letras «a» y «b» hacen referencia a números reales, mientras que i se refiere a una cifra imaginaria. ¿Cómo se calcula?

En el contexto de una suma o una resta, procederemos a la operación matemática separando las partes reales de las partes imaginarias, lo que dará:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i

Para hacer una multiplicación con dos números complejos, usaremos la doble distributividad y la propiedad i2 = -1. Esto da el ejemplo siguiente:

(2 + 3i ) × (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i² = -7 + 22i

Para el cociente, es decir, las divisiones, la operación es un poco más compleja. Primero multiplicaremos los dos números por el «conjugado» del segundo, y simplificamos el resultado. Esto equivale a decir que el conjugado de un número complejo a + bi es el número a – bi. Por ejemplo:

2 + 3i sobre 4 + 5i = (2 + 3i) (4-5i) sobre (4 = 5i) (4 – 5i)

= 8 – 10i + 12i – 15i al cuadrado sobre 4 al cuadrado – (5i) al cuadrado

= 23 + 2i sobre 16 + 25

= 23 de 41 + 2 sobre 41i

Te recomendamos encarecidamente que practiques en papel antes de aprender a usar una calculadora con los números complejos. Lo importante es conocer las reglas y el razonamiento científico antes de poder realizar los cálculos tú mismo. Para eso, ¡descubre los mejores recursos para mejorar!

Entonces, ¿es tan complicado?

¿Conoces el número áureo?

Recursos en línea para aprender los números puros imaginarios

Páginas para practicar con el número i En Superprof, encontrarás profesores que te enseñen los números imaginarios.

La ventaja de Internet es que hay una infinidad de recursos para estudiar, repasar o aprender matemáticas. ¿Qué tipo de recursos podemos encontrar sobre los números complejos e imaginarios en la red? Aquí tienes algunos de ellos:

  • Sitios especializados en la enseñanza, como Aula fácil, que ofrece contenido en matemáticas;
  • Sitios especializados en la enseñanza de las Matemáticas, como Vitutor, donde encontrarás soluciones de aprendizaje concretas para los números complejos;
  • Sitios para establecer contacto con profesores de Matemáticas, como nuestra plataforma Superprof, que te permite beneficiarte del apoyo personalizado según tu nivel;
  • Sitios de ejercicios en línea de Matemáticas, tanto de contenido oficial (exámenes oficiales) como de contenido nuevo (asociaciones de matemáticas).

En cuanto a los sitios de enseñanza general, estos recursos son ideales si tienes un nivel principiante en Matemáticas y descubres los números complejos por primera vez. Las fórmulas de los números imaginarios serán relativamente básicas y los ejercicios estarán orientados a la adquisición de los conceptos básicos.

Para subir de nivel, tienes que recurrir a sitios especializados en las Matemáticas. Por ejemplo, en matesfacil.com, es posible acceder a contenido adaptado a tu nivel, entre principiante, intermedio o avanzado. Los ejercicios son a menudo interactivos, con una corrección inmediata de las respuestas, con comentarios sobre cómo razonar. Este tipo de recurso es perfecto para repasar los conceptos básicos o los conocimientos que ya tienes sobre los números imaginarios.

Para profundizar en tu comprensión sobre los números imaginarios o imaginarios puros, lo mejor es ponerse en contacto con un profesor particular de Matemáticas. ¿Por qué? Simplemente porque tiene conocimientos avanzados de Matemáticas y puede darte las claves para entender estos números complejos, o explicarte cómo funcionan los exámenes de Matemáticas de las oposiciones, por ejemplo. La mayoría de estos profesores han pasado por eso y su experiencia es de gran valor para guiarte en tu aprendizaje.

En Superprof, hay dos factores de búsqueda: según el nivel y según la ubicación geográfica. Así que, ¡ahora es posible encontrar un profesor que pueda ayudarte a alcanzar tus metas en poco tiempo y cerca de casa!

Una vez que hayas aprendido los conceptos básicos de los números imaginarios, hayas consolidado tus conocimientos y tengas un examen a la vista, puedes recurrir a los sitios de ejercicios de Matemáticas. Estos recursos son perfectos para practicar de forma regular o intensiva en una disciplina específica de las Matemáticas, como el álgebra.

¡También puedes hacer un curso intensivo de Matemáticas centrado en los números imaginarios! Durante las vacaciones escolares, en la universidad o en una asociación, ¡todo es posible!

Cómo repasar los números imaginarios puros

Manuales para aprender los números complejos Los libros de Matemáticas son el mejor recurso para repasar los números imaginarios.

Es cierto que los recursos en línea son una excelente manera de descubrir los números complejos y comprenderlos, especialmente porque ofrecen muchas soluciones para repasar los conceptos, desde profesores particulares hasta sitios de formación especializada en Matemáticas.

Sin embargo, los recursos en papel también son una gran ayuda para estudiar Matemáticas. Nada mejor que un libro con ejercicios de números complejos o presentaciones con fórmulas matemáticas adaptadas. Después de todo, los exámenes se hacen en papel, no con un ordenador, así que mejor acostumbrarse.

Aquí tienes algunos ejemplos de libros de referencia para estudiar los números complejos y los números imaginarios:

  • Una introducción a los números complejos, de Francisco Rivero Mendoza
  • Números complejos y sus aplicaciones a la geometría, de I.M. Yaglom
  • Números complejos: Álgebra, de Christiam Manuel Huertas Ramírez
  • Números reales y números complejos, de Roberto Benavent De La Cámara
  • Trigonometría y números complejos, de José Colera Jiménez et al.

Son obras generales, dirigidas tanto a estudiantes, principiantes en Matemáticas como aficionados de los números complejos. Ofrecen una introducción general a los números complejos, así como estudios de caso concretos con números imaginarios.

En definitiva, descubrir los números complejos no es difícil: gracias a los muchos recursos en el campo de las Matemáticas, seguro que encuentras el mejor para ti según tu nivel y tus objetivos. Todo lo que tienes que hacer es ponerte en contacto con las personas adecuadas: no dudes en pedir a tu profesor de secundaria que te dé clases de recuperación por la noche o que te recomiende recursos para mejorar tu aprendizaje.

Si necesitas ponerte al día antes de un examen o unas oposiciones, te recomendamos que varíes los recursos: ¡en papel, en línea y un profesor!

Entonces, ¿tú qué opinas sobre los números imaginarios y los números complejos? ¿Cuáles son tus consejos para aprender a dominarlos?

 

La respuesta a la pregunta «¿qué número se obtiene si se eleva el número 3i al cuadrado?» es -9 (porque (3i) ² = 3² x i² = 9 i², entonces i² = -1).

Y para «¿cuál de estos dos números tiene -16 como cuadrado (-4 o 4i)?», es 4i porque la raíz de -16 es imaginaria, así que es 4i.

 

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