Según el matemático Ronald Brown, las matemáticas son la ciencia de la descripción, de la demostración y del cálculo.

Podemos diferenciar distintas ramas: la geometría (relacionada con las longitudes, áreas y ángulos), la aritmética (que estudia los números), la mecánica (que analiza el movimiento y la forma) y el cálculo estocástico (el estudio de los fenómenos aleatorios).

A continuación expondremos una cronología (no exhaustiva) de las matemáticas, cuyo objetivo es situar en una línea histórico-temporal los grandes avances en esta materia y para que así el alumnado puede saber a que época corresponde cada uno de los descubrimientos que estudia en las clases de mates.

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Las matemáticas y la Antigüedad: los inicios

Se cree que el pueblo egipcio fue el primero en utilizar las matemáticas (así es, los primeros profes de mates fueron egipcios). En Mesopotamia (zona de Oriente Próximo ubicada entre los ríos Tigris y Éufrates, actualmente Iraq) durante las primeras excavaciones en el siglo XIX, se recuperaron unas tablillas de barro sumerias que contenían escritura cuneiforme. Su procedencia no está del todo clara; o bien son de la primera dinastía de Babilonia (1800-1500 a. C.), o bien de la antigua Grecia (600-300 a. C).

Bloques con números
En estos bloques aparecen números relacionados con ofrendas que se realizaban.

Estos preciados objetos funcionan como testigo de la capacidad que ya existía entonces para resolver ecuaciones de segundo grado (una ecuación polinómica de segundo grado). También encontramos cuentas de intercambio comercial, en las que se habla de sacos de grano o de esclavos. Fueron filósofos griegos tan conocidos como Pitágoras, Tales o Platón quienes comenzaron a teorizar y poner en práctica la aritmética (denominada la ciencia de los números). En aquella época, las matemáticas comienzan a viajar por todo el Imperio hasta llegar a Alejandría y su famosa escuela (la Escuela de Alenjandría). En el siglo IV a. C., Diofanto de Alejandría, matemático griego, empieza a desarrollar las matemáticas de tal forma que se aproximaba al álgebra. Por ejemplo, de Diofanto hemos heredado la descomposición de un número en dos cuadrados idénticos.

Las matemáticas elementales surgieron con Euclides, Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perge. Euclides es el autor del superventas Los elementos (el segundo libro más editado después de la Biblia). Se trata de 13 volúmenes dedicados a la geometría euclidiana con 5 postulados, como el famoso «un segmento se puede extender indefinidamente en una línea recta», que servirán de referencia en geometría hasta varios siglos después. Arquímedes, el gran científico de Sicilia, también realizó grandes aportaciones a la geometría. A él le debemos, entre otras cosas, el estudio del círculo mediante una aproximación de Pi, el estudio de las secciones cónicas (cálculo del área de la parábola) o la espiral de Arquímedes (cuya área es igual al tercio del «primer círculo» que la contiene). Dentro del campo de la mecánica estática se interesa por el principio de la palanca y, mediante el estudio de la fuerza, consigue crear numerosas poleas y máquinas de guerra como la catapulta. Se le conoce sobre todo por el famoso principio de Arquímedes, sobre la flotación de los cuerpos en un fluido, el llamado empuje. Se trata de muchas innovaciones y muy dispares, pero todas ellas las irás aprendiendo poco a poco en la secundaria.

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El Principio de Arquímedes
El empuje de Arquímedes.

¿Sabías que fue él quién diseñó el mayor barco de la Antigüedad, el Siracusa?  También fue él quién «popularizó» la famosa expresión eureka (cuando se descubre algo que se busca con afán). Esta claro que Arquímedes era enormemente estudioso y creativo y que su legado perdurará por siempre.

En cuanto a Apolonio de Perge, fue un especialista de las secciones cónicas. Son suyos términos como elipse, parábola o hipérbole. Dejó también una importante herencia en astronomía con su cálculo de las órbitas excéntricas para explicar el movimiento de los planetas.

Mucho después, Ptolomeo, Hiparco y Pappus planteron los fundamentos de la trigonometría. Como recordatorio, esta ciencia trata las relaciones entre ángulos y las distancias en los triángulos.

Los matemáticos hindúes, además de investigar sobre las transformaciones algebraicas, fueron los primeros en teorizar sobre el concepto de “cero”, antes que la civilización árabe u occidental. Se cree que el matemático indio Brahmagupta (siglo VI) fue uno de ellos.

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La historia de las matemáticas de la Edad Media a 1900

En el siglo IX, algunos árabes como Al-Juarismi se interesan por las matemáticas y reúnen los saberes griegos e indios, mientras que en Occidente se dejan de lado. La introducción del sistema de numeración arábigo en el siglo XI marca el fin de un periodo en el que las matemáticas fueron prácticamente olvidadas, por culpa de las grandes invasiones y del dogmatismo, que mantenía las conciencias en el oscurantismo.

A partir del siglo XII, surgen otros intereses además de la gramática, la retórica o la lógica, lo que beneficia de nuevo a las matemáticas. Es principalmente en España donde se aprenden las ciencias árabes gracias a grandes sabios como Averroes o Avenzoar. En el siglo XV, Jean Widmann d’Eger establece el sistema de suma con los símbolos + y  -. El matemático francés Viète, por su parte, transforma totalmente el álgebra al introducir el uso de letras (para simbolizar las cantidades conocidas o desconocidas) y al simplificar las ecuaciones. Abre una puerta importante a otros matemáticos mediante la aplicación del álgebra a la geometría.

Anécdota interesante: a Viète le apasionaba tanto el tema que le pidieron que analizase los correos cifrados de los españoles durante la Guerra de los Nueve Años, lo que le otorgó el título de nigromante y brujo.

El siglo XVII es sin duda alguna el siglo de oro de las matemáticas. Todos conocemos la historia de la manzana que cae sobre la cabeza de un Newton medio dormido, hecho que le lleva a descubrir la atracción terrestre. Aquí ofrecemos algunos de los conceptos esenciales de este periodo:

  • Los logaritmos neperianos (1614): el logaritmo neperiano de un número x es el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. También se les llama logaritmos hiperbólicos porque representan el área de la hipérbole entre dos asíntotas.
  • La geometría analítica de René Descartes: en su obra La geometría, propone unir álgebra y geometría (como Viète); traduce así las cuestiones geométricas en ecuaciones algebraicas. Recordemos que uno de los objetivos principales de Descartes, independientemente del tema, es obtener ideas claras.
  • El cálculo de probabilidades de Blaise Pascal: se trata de calcular las posibilidades de que algo suceda debido al azar. El análisis de los juegos de azar fue el punto de partida.
  • Los inicios del cálculo infinitesimal de Newton.

En el siglo XVIII destaca la figura de Euler, que dedica su vida al estudio de las funciones y al cálculo infinitesimal. Elabora una clasificación de las funciones y demuestra el pequeño teorema de Fermat («si p es un número primo y si a es un número entero no divisible por p, entonces a p–1 – 1 es múltiplo de p»).

Tampoco debemos olvidar a Lagrange: además de su trabajo sobre el cálculo de variaciones, es el precursor de la mecánica de los fluidos, con la función de corriente y escritos sobre la velocidad de una pequeña onda en aguas poco profundas.

¿Te gustaría saber cuál es la relación entre las matemáticas y la informática? ¿Y entre las matemáticas y la pintura?

Las matemáticas hoy en día: vuelta a los dos últimos siglos

Este periodo se ve marcado por la culminación de las investigaciones matemáticas del siglo XVIII, la puesta en duda de los postulados de la Antigüedad, pero también por numerosas novedades y por el desarrollo de las clases particulares. En el siglo XIX, los matemáticos ya no son solo personas apasionadas por su ciencia, también son profesionales. En cuanto a la teoría de los números, asistimos a numerosos grandes avances:

  • La ley de la reciprocidad cuadrática, que establece lazos entre los números primos (sobre la que Euler teorizó y que más tarde Gauss demostró).
  • La distribución de los números primos.
  • Los avances en el último teorema de Fermat (si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z tales que se cumpla la igualdad: xn+ yn = zn,), llevados a cabo principalmente por Kummer, que logra demostrar el teorema mediante todos los exponentes inferiores a 100.

Gauss y Legendre describen el método de los mínimos cuadrados, un avance importantísimo en estadística, una rama de la probabilidad. Grassmann desarrolla un nuevo método de estudio de las matemáticas, premisa de la teoría del espacio vectorial. Los cálculos permiten descubrir un planeta aún desconocido: Le Verrier revela la presencia y el peso de Neptuno en nuestro sistema solar.

Este siglo también lo marca el comienzo de la electricidad con Gauss, Ampère y Maxwell, con su teoría electromagnética. Por su parte, Mach lleva a cabo experimentos en física teórica, más concretamente en el análisis de las sensaciones sobre las fuerzas de inercia que servirán a cierto genio del siglo XIX…

Einstein demuestra en esta época la ley de la reciprocidad cúbica, conocida como «los enteros de Einstein». Si quieres saber más acerca de las aportaciones de Einstein a las matemáticas, lee nuestro artículo. Otra gran referencia sigue siendo la memoria de Riemann de 1859, en la que estudia la función zeta de Riemann ζ: los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen todos parte real igual a 1/2.

El siglo XX comienza con una lista de 23 problemas no resueltos que ocupará a buen número de científicos. Esta época se muestra claramente dominada por 3 teoremas matemáticos:

  • El teorema de Gödel, que responde a la cuestión de la coherencia de las matemáticas (ver los enunciados indecidibles).
  • La demostración del teorema de Taniyama-Shimura. Gracias a ello, se pudo probar el último teorema de Fermat.
  • La demostración de las hipótesis de Weil sobre las funciones generadoras (serie formal cuyos coeficientes codifican una serie de números).

En el siglo XX aparecen nuevas ciencias como la topología, la geometría diferencial o  la geometría algebraica.

Se llevan a cabo estudios, impulsados especialmente por Einstein y Poincaré,  junto con la teoría de la relatividad general.

¿Te interesa también la evolución del aprendizaje de las matemáticas?

Einstein y las matemáticas
E=mc2

La teoría de los grupos moviliza a numerosos científicos, hasta la resolución de la teoría de los grupos finitos en 1980. Gracias a la informática, que permite crear programas de cálculo, también se resuelve el teorema de los cuatro colores.

El siglo XXI comienza bien, especialmente con los descubrimientos del prodigioso Terence Tao sobre los números primos de Euclides: existen progresiones tan largas como podamos imaginar.

El 8 de octubre de 2013, el Premio Nobel de Física es otorgado conjuntamente a Fraçois Englert y Peter Higgs, «por el descubrimiento teórico de un mecanismo que mejora nuestra comprensión sobre el origen de la masa de las partículas subatómicas».

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Homer y el bosón de Higgs
Homer predice la masa del bosón de Higgs.

Sobre este episodio de la serie, el periodista y científico Simon Singh afirma con vehemencia: «esta ecuación predice la masa del bosón de Higgs. Si desarrollamos la fórmula, se obtiene una masa del bosón de Higgs un poco más elevada de la que realmente tiene. Resulta extraordinario que Homer realice esta predicción 14 años antes de su descubrimiento».

Pero, tranquilos, ¡todavía queda un número infinito de descubrimientos que realizar!

Descubre también siete ejemplos en los que las matemáticas se convierten en arte y cinco mitos sobre las matemáticas.

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La aparición de los números

Después de este rápido recorrido por los grandes hitos de los descubrimientos matemáticos y principales autores, vamos a centrarnos en la historia de un elementos sin el cual las matemáticas no podrían existir: los números. ¿En qué momento «creamos» los números?

La aparición del sistema numérico actual
Cuando somos pequeños, comenzamos a contar con los dedos. | Foto de Luis Quintero

No podemos afirmar rotundamente que exista una fecha exacta en la que «aparecieron» los números. Así como no hay registro escrito de cuándo se desarrolló el lenguaje, lo mismo sucede con los números. Lo que sí se puede asegurar es que el ser humano, al empezar a hablar, necesitó crear palabras para expresar cantidades. Así mismo, se utilizaron elementos de la naturaleza para poder contar: palos, conchas, frutos o los propios dedos.

Siguiendo la evolución de la escritura, las personas comenzaron a hablar años antes de que se inventase la escritura y de la misma forma, pasaron también muchos años antes de que se designaran signos para los números. Tenemos que remontarnos hasta hace unos 5000 años (3000 a. C.) para encontrar los primeros documentos en los que aparecen los números escritos. Estos fueron hallados en la entonces Mesopotamia, que recordemos que es la zona de Oriente Próximo ubicada entre los ríos Tigris y Éufrates, actualmente Iraq.

Cerca de 2000 años después, los sumerios desarrollaron un sistema de escritura numérica, la llamada escritura cuneiforme. Era una época en la que el comercio y las «importaciones y exportaciones» comenzaban a desarrollarse de forma notable por lo que se volvió necesario poder «apuntar» la cantidad de mercancía y que los comerciantes se entendieran. La escritura cuneiforme debe su nombre a que los símbolos utilizados tienen forma de cono. Según la forma y la posición del cono, este tenía uno u otro valor. Los mercaderes babilonios usaban un palo con la punta en forma de triángulo y hacían impresiones en tablas de arcilla.

Los egipcios fueron grandes matemáticos.
Ejemplo de escritura cuneiforme.

Otra civilización de grandes comerciantes y vendedores fue aquella asentada en África en las orillas del Nilo: los egipcios. Dada la prosperidad de sus cultivos, desarrollaran un sistema numérico para escribir números grandes. Los símbolos utilizados eran elementos de su entorno; cada elemento correspondía a un número de base diez.

Una de las primeras civilizaciones que desarrolló un símbolo para cada número fue la china. El sistema numérico chino tiene símbolos para los números del 1 al 9, así como para las decenas, centenas y millares.

Como es obvio, la mayoría de las grandes civilizaciones desarrollaron un tipo de sistema numérico. La gran civilización griega fue una de ellas. Los griegos desarrollaron un sistema en el que la primera letra de los nombres de los números era el símbolo que los representaba. El número diez se traduce al griego como deka, que en el alfabeto griego se escribe Δέκα, por lo que si cogemos la le letra d (en mayúscula en este caso), Δ,  tenemos el número 10.

Los números romanos. Se trata de un sistema numérico que coge las letras del alfabeto (en mayúscula) para simbolizar cantidades. Cada letra tiene un valor:

Número romanoEquivalencia
I1
V5
X10
L50
C100
D500
M1000

Al igual que en griego, algunos símbolos romanos correspondían con la primera letra de la palabra con la que se designaba ese valor, de ahí que para cien tengamos la letra C o para mil la letra M.

Este método se extendió por toda Europa y fue muy usado, tanto que aún quedan algunos resquicios de su utilización. Por ejemplo, expresamos en números romanos los siglos (siglo 21* → siglo XXI).

Los números romanos no se utilizan en matemáticas.
Reloj de la catedral de Colonia (Alemania) | Foto de Thomas Bormans

Pero entonces, ¿de dónde viene el sistema numérico que utilizamos actualmente? De la India. Los árabes viajaban a la India para comerciar, y en uno de estos viajes encontraron un libro escrito por un matemático hindú sobre aritmética y tradujeron el sistema para adoptarlo. Este libro no tardaría en llegar también al continente europeo, donde fue traducido al latín. Aunque los números tal y como los escribimos hoy en día guardan semejanzas con los números árabes e hindúes, tienen sus diferencias ya que, por un lado, la traducción y reproducción de los libros se hacía a mano; y por otro, porque el sistema tardó en ser asimilado ya que se consideró más difícil de usar que el romano.

Con la invención de la imprenta en 1415 la «deformación» de los símbolos cesó.

La imprenta facilitó la lectura.
¿Te imaginas como fueron las primeras imprentas?

Es posible que hayas oído hablar de los «números arábigos» para referirse al origen de los números que utilizamos, pero esto se debe a que el libro gracias al cual se expandió el uso de estos números venía del mundo árabe. No obstante, los árabes habían traído el libro de la India. Si empiezas a estudiar árabe, ya sabes, ¡empieza por los números! Se construyen con la misma lógica que en español y su escritura es muy similar. ¡Por algo se empieza!

Número latinoNúmero arábigoPronunciación
0٠sifr
1١wahid
2٢ithnan
3٣thalatha
4٤arba’a
5٥khamsa
6٦sitta
7٧sab’a
8٨ thamaniya
9٩tis’a
10١٠‘ashra

¿Qué te ha parecido la historia? ¿Tenías idea de todas las formas que ha ideado el ser humano para simbolizar la numeración?

Y para finalizar, ¿crees que es posible que en un futuro se desarrolle un nuevo sistema numérico? Queremos saber tu opinión, no dudes en dejarnos un comentario.

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Cristina

Redactora, traductora y revisora. Me encanta contar historias, escuchar a los demás y ver atardeceres. Me gusta bailar y perderme haciendo senderismo. Mi lugar preferido es el mar, que todo lo cura.