Simetría axial

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'.

Explicaciones y ejemplos de simetría - 1

Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

Explicaciones y ejemplos de simetría - 2

Coordenadas de un punto simétrico al eje de ordenadas

Explicaciones y ejemplos de simetría - 3

Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de ordenadas tienen sus abscisas opuestas y sus ordenadas iguales.

P(x, y) Explicaciones y ejemplos de simetría - 4 P(-x, y)

x = -x' y = y'

Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas

Explicaciones y ejemplos de simetría - 5

Dos puntos A(x, y) y A'(x', y') simétricos respecto del eje de abscisas tienen sus abscisas iguales y sus ordenadas opuestas.

P(x, y) Explicaciones y ejemplos de simetría - 6 P(x, -y)

x = x' y = -y'

Simetría de ejes paralelos

Explicaciones y ejemplos de simetría - 7

La composición de dos simetrías ejes paralelos e y e' es una traslación, cuyo vector tiene:

La longitud del vector es el doble de la distancia entre los ejes.

La dirección del vector es perpendicular a los ejes.

El sentido es el que va de e a e'.

Simetría de ejes perpendiculares

Explicaciones y ejemplos de simetría - 8

La composición de dos simetrías de ejes perpendiculares e y e' es una simetría central respecto del punto de corte de los dos ejes de simetría.

Eje de simetría

Explicaciones y ejemplos de simetría - 9

El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.

Simetría central

Explicaciones y ejemplos de simetría - 10

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0)

Explicaciones y ejemplos de simetría - 11

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0) tiene de coordenadas:

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

 

Explicaciones y ejemplos de simetría - 12

P' = (-x, -y)

x' = -x       y' = -y

Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b)

Explicaciones y ejemplos de simetría - 13

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(a ,b) tiene de coordenadas:

Explicaciones y ejemplos de simetría - 14

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)

x' = -x + 2a

y' = -y + 2b

Con el mismo centro

Explicaciones y ejemplos de simetría - 15

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

Con distinto centro

Explicaciones y ejemplos de simetría - 16

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

Centro de simetría

Explicaciones y ejemplos de simetría - 17

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.