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Cálculo mental: método matemático para resolver una división euclidiana

Publicado por Elvira, el 07/02/2018 Blog > Apoyo escolar > Matemáticas > ¿Qué Es una División Euclídea?

«Lo que puede ser afirmado sin pruebas, puede ser rechazado sin pruebas». Euclides, matemático griego, cerca del año 300 a.C.

Euclides, conocido como «El Padre de la Geometría», figura eterna de la ciencia matemática, es el autor de la obra Elementos de Euclides, escrita en torno al 300 a.C., tratado matemático que ha cosechado muchos éxitos a lo largo de los años. De hecho, desde los inicios de la imprenta a mediados del siglo XV, fue la obra que más se imprimió después de la Biblia.

Elementos, compuesta por trece libros, se dedica a la geometría plana: triángulos, líneas paralelas (para comprobar el teorema de Pitágoras), propiedades del círculo, abordando otros temas como los números primos, el máximo común divisor y el método de las restas sucesivas repetidas, que es lo que se denomina hoy en día como la «división euclídea».

Euclides vivió entre los siglos III y II a.C., en la época en la que la Antigua Grecia dominaba la cuenca mediterránea. Es innegable que sus trabajos eruditos se extendieron por todo el mundo y que fueron las siguientes civilizaciones, como la antigua Roma, las que los retomaron.

Euclides influyó en el mundo de las ciencias del Renacimiento hasta nuestros días, desde Copérnico a Kepler, desde Galileo hasta Newton, pasando por Spinoza y B. Russell.

En este artículo, Superprof intentará centrarse en el eje motor de la obra de Euclides, tras haber cosechado un gran reconocimiento a nivel internacional: la división euclídea, un concepto bastante presente en las matemáticas desde Cuarto de Educación Primaria hasta Bachillerato.

La división euclídea: definición y principios

La división euclídea, o división euclideana, es una cuestión básica en los ejercicios de matemáticas durante el segundo ciclo de Educación Primaria, pero que no siempre se domina a la hora de entrar en Quinto o Sexto.

Aprende qué es la división euclídea Tengo diez fresas y tres niños, ¿cuántas fresas recibirá cada uno?

Se trata de una operación muy famosa dentro del mundo de las matemáticas en la que tenemos dos números enteros naturales (divisor y dividendo) que se asocian a otros dos: el cociente y el resto.

Se utiliza para dividir un número entero natural distinto de cero (≠ 0) entre otro, siendo primero números enteros positivos y luego los números enteros relativos, donde veremos los números enteros negativos.

El algoritmo euclidiano se utiliza principalmente en España en las clases de matemáticas durante la etapa de Primaria: a partir de Cuarto de Primaria, los alumnos se introducen en el mundo de la división mediante problemas y situaciones del tipo ¿cómo se puede dividir un pastel entre cinco personas? ¿Cómo se pueden dividir 47 canicas entre 4 personas?

Posteriormente, los alumnos aprenden a hacer una división de un número entero natural por otro, la división euclídea per se, al hacer la operación en papel.

Esta operación matemática implica dominar o aprender bien las tablas de multiplicar, pero también las reglas básicas de cálculo: sumar, restar, descomponer en números enteros (números pares e impares), etc.

La técnica de la división te permitirá encontrar todos los divisores de un número sin tener que recurrir a una calculadora.

¿Cuál es su modus operandi? Primero, tendrás que averiguar cuántas veces puedes dividir una cantidad entre un número de valor superior.

Por ejemplo, como el cálculo de la división de 30 entre 4 o de 75 entre 7. Cuando uno tiene seis o siete años, el resultado no es tan lógico como ahora pueda parecer.

Cuando calculamos números naturales pequeños, puede ser bastante más llevadero, pero cuando intentamos averiguar cuántas veces el número 4357 contiene el número 28 mediante el cálculo mental, tendremos que haber asimilado bien la técnica de la división básica.

Especialmente, porque después aparecerán los números relativos, que incluyen los números enteros naturales negativos, y entonces aprenderemos cómo dividir números decimales o cómo hacer cálculos con fracciones.

Hacer una división euclídea consiste también en distribuir equitativamente una cantidad «x» entre muchas «y»: ¿cómo podemos dividir 53 canicas entre 5 personas?

En la división por parcelas, daremos una canica a cada una: cada persona posee una canica y quedan 47 y continuamos sucesivamente hasta que no podamos volver a repetir 5 canicas.

En la última división, podremos decir que cada uno de ellos tiene 10 canicas y quedan 3 en reserva. Estas no se pueden dividir, salvo que dos personas salgan perjudicadas, por lo que decimos que el resto es 3.

Cada niño posee 5 canicas: 10 es el cociente.

Por lo tanto, para realizar la división euclídea de 53 entre 5, tendremos que escribir que 30 = 5 x 10 + 3, después de verificar que 3 < 5.

¡Descubre también en qué consiste la función afín!

¿Cómo resolver una división euclídea?

El método de las restas sucesivas específico del algoritmo de Euclides permite simplificar una operación que a primera vista puede parecer bastante compleja.

Además, la magia de las matemáticas es la de hacer accesible un procedimiento que a priori parece imposible.

Matemáticas y divisiones sin calculadora. Tengo que dividir un número entero de cinco cifras entre otro de tres cifras. ¿Cómo puedo hacerlo sin la calculadora? Sigue este método paso a paso…

Divisor de una cifra

Tomemos como ejemplo la siguiente operación: división de 273 entre 17. Veamos cuántas veces el número 17 está entre 17 y 273.

Para averiguar este resultado, haremos lo siguiente:

Paso 1: comenzaremos por hacer la división, tomando como dividendo 273, que lo escribiremos a la izquierda de la primera columna, y el divisor, que será el 17, que lo pondremos a la derecha.

Paso 2: veremos que 2 es inferior a 17, por lo que tendremos que encontrar cuántas veces 27 contiene el número 17:

17 x 1 = 17, 17 x 2 = 34

Escribimos 1 bajo el divisor (en el lugar del cociente) y hacemos la resta siguiente: 27-17, donde obtenemos 10.

Paso 3: escribimos 10 en el resto.

Después, bajamos la siguiente cifra de la unidad del dividendo (3) junto al 10 y obtenemos 103, que lo dividiremos entre 17. Entonces, tenemos que 17 x 6 = 102, donde obtendremos 6, que será la cifra que habrá que añadir al cociente y después, habrá que hacer la resta de 103 – 102, de donde obtenemos 1.

Por consiguiente, el resultado de dividir es: 273/17 = 17 x 16 + 1, donde el cociente entero de dividir 273 entre 17 es 16 y el resto, 1.

Una división euclídea estará bien si y solo si el resto es más pequeño que el divisor, puesto que si no ocurre así, significará que podremos continuar dividiendo.

Otra peculiaridad que hay que tener en cuenta es que: cuando el resto de la división de «a» entre «b» sea cero, por ejemplo, 20 entre 4, decimos que:

  • «a» es divisible por «b»
  • «a» es múltiplo de «b»
  • «b» es un divisor de «a»

En esta última división (20/4 = 5), vemos que 20 es divisible por 4, pero también tenemos que 20/5 = 4, entonces 20 también es divisible por 5 y, por lo tanto, 5 también es un divisor de 20.

Estos ejercicios de gimnasia mental te permitirán ampliar tu campo de posibilidades, en vez de tener que plantear una multiplicación y una división con cada operación para el conjunto de números: estos son los denominados «criterios de divisibilidad».

Podremos averiguar cualquier número real mediante la aritmética modular, es decir, la que proviene de la división euclídea, muy utilizada por el matemático Pierre de Fermat durante el siglo XVII, gracias a la relación de congruencia entre los números enteros.

Para detectar rápidamente si un número es un divisor de otro, se pueden aplicar algunas reglas, una serie de principios que se abordan durante las primeras clases de matemáticas.

Un número entero es divisible por:

  • 2 si su cifra de las unidades es par (0, 2, 4, 6 u 8);
  • 3 si la suma de las cifras que lo componen es divisible entre 3;
  • 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4;
  • 5 si su cifra de las unidades es igual a 0 o a 5;
  • 9 si la suma de las cifras que lo componen es divisible entre 9;
  • 10 si su cifra de las unidades es igual a 0.

¡Descubre nuestra definición de geometría!

¿Cómo encontrar el máximo común divisor de un número?

El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros distintos a cero es un principio básico de la aritmética general, que permite averiguar el número mayor que lo divide.

Cálculos de divisiones más rápidos Gracias a las clases de apoyo, lograrás averiguar el cociente y el resto de cualquier división. ¿Cuánto es 32636 entre 243?

Se trata de hacer la lista de todos los divisores para dos valores: por ejemplo, ¿cuál es el MCD de 20 y 36?

  • 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

El MCD de 20 y 36 es, por lo tanto, 4.

Te dejamos otro ejemplo: los divisores comunes de 36, 48 y 60 son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, por lo que el MCD será 12.

MCD (36, 48, 60) = 12

Se pueden utilizar otros dos métodos alternativos, más cortos: el método de las restas sucesivas y la división euclídea (sí, de nuevo) para calcular el MCD, por ejemplo, de 116 y 78:

  • Mediante restas sucesivas: 116 – 78 = 38, 78 – 38 = 40, 40 – 38 = 2, 2 – 2 = 0. MCD (116, 78) = 2.
  • Mediante el método de Euclides: 116 = 78 x 1 +38, 78 = 38 x 2 + 2, 37 = 19 x 2 + 0. MCD (116, 78) = 2.

El principio es el mismo para ambos métodos: restamos número al otro tantas veces como sea posible y vamos viendo cuál es el resto.

¡Descubre qué es el álgebra!

Aprender a hacer la división euclídea mediante vídeos

Si, a pesar de todos los recursos que tienes a tu disposición para aprender matemáticas y las posibles consultas que puedes plantear en las clases de mates, el cerebro aún no logra comprender cómo averiguar la solución, no te preocupes, tienes a tu alcance una herramienta ideal para perfeccionar las divisiones: los vídeos de YouTube.

Los profesores te explicarán mediante una metodología sencilla cómo hacer una división fácilmente. Aquí te dejamos un ejemplo:

Este primer vídeo planteaba una división simple con un divisor de una cifra. Aquí te dejamos una división con dos cifras:

En resumen, para hacer una división euclídea, tendrás que conocer:

  • Las tablas de multiplicar,
  • el método de la resta,
  • la metodología.

No te olvides de verificar el cociente obtenido y escribir el resultado en línea tipo «cifra = divisor x cociente + resto».

No dudes en volver a repasar lo visto en clase y hacer ejercicios si sigues aún sin entenderlo del todo. No ocultes tus dudas a tus profesores particulares, ellos te ayudarán.

¡Así, estarás totalmente preparado para enfrentarte a las clases de matemáticas!

¡Descubre qué es una función decimal…!

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