«Una teoría matemática se considerará perfecta solo si se ha hecho de una forma tan clara que la pueda entender el primer individuo que pase por la calle». David Hilbert (1862-1943), matemático alemán

Aprender matemáticas es como tomar clases de piano o de guitarra, no es algo que se improvisa, sino que hay que comprender y deducir mediante el razonamiento lógico en vez de aprender de memoria.

Tendrás que comprender la resolución de una ecuación, de una inecuación o de una ecuación diferencial, o saber hacer una tabla de variaciones de una función afín o de una función lineal, etc.

Por supuesto, las clases de matemáticas requieren el conocimiento de las tablas de multiplicar y el aprendizaje de los diferentes teoremas, especialmente, relativos a la geometría o a la probabilidad (la famosa ley normal y la ley binomial no son innatas).

No obstante, para analizar una función (estudiar los límites de las funciones, estudiar una función logarítmica o exponencial, hacer un cálculo integral, etc.), es mejor comprender el lenguaje matemático.

Es como una clase de alemán o de inglés, aprendemos el vocabulario y la gramática, pero también tenemos que comprender cómo se construye una oración.

En el colegio aparece uno de los primeros quebraderos de cabeza para buena parte del alumnado en la asignatura de matemáticas: la función afín.

Dado que las funciones se encuentran en el plan de estudios y en el currículo de los institutos, hace falta dominarlas, cuanto antes mejor. Por supuesto, siempre cabe la posibilidad de completar tu aprendizaje mediante clases particulares.

En este artículo a modo de clase de repaso de matemáticas, podrás leer más sobre qué es una función afín.

Función afín: definición y teorema

Una función afín es una función que, en cualquier valor x definido en ℝ (la escala de los números reales), asocia el número ax + b, siendo «a» y «b» números relativos.

Definición de la función afín
Las clases particulares te servirán para aprender a estudiar mejor las ecuaciones simples de f(x).

Representamos esta función mediante la ecuación siguiente: f(x): ax + b o f(x) = ax + b.

El número «b» debe ser diferente a 0. ¿Por qué? Porque si b = 0, entonces tenemos que f(x) = ax y entonces hablamos de una función afín lineal.

Si «a» es igual a cero, entonces decimos que la función f(x) = b es constante (y afín); de hecho, todos los puntos de la misma línea tienen el mismo eje de ordenadas (b) y la curva será paralela al eje de abscisas.

Estas son las dos particulares que tendrás que tener en cuenta con la función afín.

El valor «b» representa, en una representación gráfica, la ordenada en el origen: es el punto donde la curva pasa por el eje de ordenadas (y) en su distancia desde el origen (0).

La variable «a», denominada «coeficiente de dirección», hace referencia al grado de la pendiente de la curva, calculable a partir del eje de abscisas (x) en la gráfica.

Cuanto mayor sea el número «a», mayor será la pendiente de la curva, que podrá ser positiva o negativa.

Para causar una buena impresión en los ejercicios de representación gráfica matemática en la prueba de acceso a la Universidad, podrás escribir que la recta de f(x) mide la tasa de aumento de las ordenadas por unidad de abscisas.

Por lo tanto, una función afín es un conjunto de valores que resuelve la ecuación y = ax + b, en el intervalo dado, y cuya representación gráfica tomará la forma de una recta oblicua, creciente o decreciente.

Entonces, debemos leer que «f» es la función que en el número «x» coincide con el número «ax + b»: «x» es el antecedente, «ax + b», la imagen de «x» en el intervalo. El resultado escrito es f(x) = ax + b.

Por ejemplo si f(x) = 3x, obtendremos una recta, denominada d1, creciente, que corta el eje de ordenadas en el punto 0. Si f(x) = -x, entonces tendremos la recta d2, que será decreciente.

Otra peculiaridad que deberás tener en cuenta es que si f(x) = -5, entonces la línea será constante y cruzará el eje en el punto -5.

Para calcular la imagen de un «x» real, bastará con multiplicar «x» por el coeficiente «a» y sumar la constante «b». Entonces, podremos comenzar a dibujar la recta en la gráfica. Aborda estas nociones durante las clases de matemáticas con tu profesor particular.

¡Descubre en qué consiste la división euclídea!

Hacer la representación gráfica de una función afín

Recuerdo que en el instituto no se me daban demasiado bien las matemáticas, sobre todo, el análisis de funciones. Tardé tiempo, tuve que hacer muchos cursos y ejercicios de matemáticas para finalmente cogerle el truquillo y perfeccionar mi nivel.

 

Cómo representar funciones afines.
¿Cuál es el coeficiente de dirección de las siguientes rectas?

Aprender a representar gráficamente una recta de función afín en un eje de coordenadas requiere que el profesor de matemáticas sea un buen pedagogo y sepa transmitir una metodología eficaz a cada alumno.

Sin embargo, aunque podamos decir que no es difícil, siempre que no se comprende, puede parecer todo un mundo.

Cuando doy clases de piano a mis amigos, que son tan solo principiantes, hay cuestiones que no entienden desde el primer momento, como las diferencias entre los intervalos para diferenciar un acorde mayor de un acorde menor: la noción de tercer menor o el tercer mayor implica emplear el cálculo de intervalos (tonos y semitonos entre las notas). Sin embargo, para mí es algo sencillo...

Para poder representar la recta de una función afín, tomemos como ejemplo la siguiente función:

f(x) = 2x – 3

La función f(x) tiene la forma ax +b, siendo a = 2 y b =  – 3, por lo que se trata de una función afín.

Lo primero que tendremos que hacer para trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 es hallar dos puntos, que los buscaremos al azar a partir del cálculo de x:

Para x = 0, f(x) = – 3 [PUNTO A]

Para x = 2, f(x) = 1 [PUNTO B]

De este modo, obtenemos los puntos A y B cuyas coordenadas X e Y son para A = 0; – 3 y para B = 2; 1.

Sin embargo, podemos agregar un tercer punto para evitar posibles errores y verificar que la hemos trazado bien. Por ejemplo, si le damos a «x» el valor de – 2, obtendremos que f(x) = – 7. De este modo, podremos trazar la recta de la ecuación y = 2x – 3 conectando los puntos entre sí.

Otro método que podemos utilizar es el siguiente:

Comienza por la ordenada – 3, «sube» 4 unidades en el eje y desplaza 2 unidades hacia la derecha en el eje x, o «sube» 6 unidades en el eje de ordenadas y 3 en el de abscisas.

Cuando «x» aumenta en 1, «y» aumenta en dos, de ahí que obtengamos que a = 2.

De este modo, obtenemos las siguientes coordenadas: A (0, – 3), B (2, 1) y C (3, 3), lo que nos permitirá dibujar la recta d1, donde cada punto de la línea cumple con la ecuación y = 2x – 3.

Descubre aquí qué es la geometría.

¿Cómo determinar una función afín?

Determinar una función f es fácil si conocemos los valores de «a» y «b». En nuestro ejemplo f(x) = 2x – 3.

Decimos que f(2) = 1, que f(– 2) = – 7 y que f(1) = – 1.

Para determinar nuestra función, podemos emplear dos métodos: el cálculo y la lectura sobre el eje de coordenadas.

Cómo representar funciones
Calcula los valores de «a» y «b» para poder trazar la recta.

Determinar una función a partir de la representación gráfica

Es el método más sencillo, pero a partir de la segunda clase, como verás, la gráfica no siempre vendrá en los ejercicios.

Para determinar gráficamente f(x) = 2x – 3, bastará con ver qué puntos de la recta cortan los ejes x e y. En nuestro caso, encontramos los puntos A (0; – 3), B (2; 1) y C (3;3), de donde deducimos que la recta d1 presenta una ecuación de tipo y =2x – 3.

Determinar una función mediante cálculos

Si no contamos con la representación gráfica o el profesor de matemáticas nos pide que razonemos cuál es la representación, ¿cómo lo podemos hacer?

Pues aquí te dejamos una fórmula mágica.

Cuando f es una función afín no lineal, los valores de «x» que cumplen f(x) no son proporcionales; sin embargo, sí lo son entre los valores de «x».

Para calcular el coeficiente de dirección con dos números x1 y x2 y su representación f: a =. Tenemos que x1 = 0 y x2 = 0, con f(x1) = – 3y y f(x2) = 1.

Al reemplazar las incógnitas, obtenemos a = (– 3, – 1) / (0, – 2) = – 4 / – 2, donde a = 2.

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Estudiar el signo de una función afín

Ahora que tenemos la pendiente de la recta y su representación gráfica, ¿cómo estudiamos el signo de f?

Motivación con las funciones afines.
Tranquilo, no hace falta recurrir a la fuerza. Persevera y ya verás que lo consigues.

Cualquier persona que haya cursado estudios superiores de estadística, sin tener que ser «matemáticas» puras, habrá estudiado la noción del signo.

Si «a» es positivo, la función f es creciente y si no, será negativa.

Si x1 < x2, entonces ax1 < ax2 y ax1 + b < ax2 + b y f(x1) < f(x2). En este caso, – 2 es inferior a 0 y – 7 es inferior a – 3.

Por lo tanto, nuestra función f(x) = 2x – 3 es creciente. Los valores de f(x) comenzarán así de negativo a positivo cruzando el punto 0 en la ordenada – 3.

La ecuación ax + b = 0 (siendo a ≠ 0) tiene una solución única que es x = ((– b) / a). La recta de la ecuación y = ax + b corta el eje de abscisas en el punto de coordenadas ((– b/a; 0).

Como b = – 3 y a = 2, deducimos que el signo de f es positivo en el punto de coordenadas (2/3; 0).

Para estudiar la variación de f(x), tendrás que conocer la derivación matemática.

Ten en cuenta que f es derivable en todos los ℝ y que para todo x​∈​ℝ, f ‘(x) = 2x – 3 = 2. Por lo que f ‘ (x)  es positiva.

Los signos de f serán: negativos de – ∞ al punto 2/3, y positivo desde el punto 2/3 hacia +∞.

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Descubre también nuestra definición de las tablas de multiplicar...

Problemas sobre funciones afines

Aquí te dejamos algunos ejercicios en los que tendrás que poner en práctica lo aprendido sobre la función afín. Se trata de problemas de matemáticas similares a los que encontrarás en tu libro de matemáticas de la ESO. Veamos:

Ejercicio 1

Esta gráfica representa una función afín:

Una función afín sencilla
Función afín.

Tenemos estas cuatro fórmulas:

a) f(x) = 5x

b) f(x) = -3x + 4

c) f(x) = 3/4x + 3

d) f(x) = – 3/4x + 3

  1. ¿Cuál es la que define a la función?
  2. Dibuja sobre estos ejes la gráfica de f(x) = 2x – 3
  3. Determina gráficamente el punto M de intersección de las dos rectas anteriores. Calcula las coordenadas exactas de M.

Ejercicio 2

María Isabel quiere invitar a sus amigos a un concierto. El concierto es en un club privado, del que María Isabel no es socia, por lo que hay dos tarifas distintas para las entradas: precio para socios y precios para no socios. Por lo tanto, María Isabel tiene las siguientes dos opciones:

Las funciones sirven para resolver dilemas de la vida.
¿A quién invitarías a un concierto?

a) Hacerse socia del club en el que se va a dar el concierto, que cuesta 18 € y pagar las entradas para socios a 7 € cada una.

b) Pagar 10 € por cada entrada.

Toma n como el número de amigos a los que va invitar María Isabel. Obtén en función de n el precio que tiene que pagar en cada uno de los casos.

Finalmente María Isabel va al concierto con 7 amigos. ¿Qué opción es la más económica?

Ejercicio 3

¿Sabías que la temperatura no se mide de la misma forma en todo el mundo? Si un estadounidense te dice que en dónde vive hace 77 grados, ¡no es que viva en medio del desierto! Si no que hace 77 grados Fahrenheit, que vienen a ser 25 grados centígrados. ¿Mejor así, no?

Bien, pues en la actualidad se utilizan tres unidades diferentes para medir la temperatura: grados Celsius o centrígrados (la que utilizamos nosotros en España), grados Fahrenheit (común en países anglosajones) y grados Kelvin (utilizada en el mundo científico).

¿Cómo pasar de una medida a otra? A través de funciones afines.

Tomando C para grados Celcius, F para grados Fahrenheit y K para grados Kelvin, la función es la siguiente:

K = C + 273

El problema que tenemos es: imagina que sois un grupo de científicos de diferentes nacionalidades que estáis trabajando con distintos materiales. Necesitáis saber la temperatura de fusión de estos cuerpos para el trabajo que estáis desarrollando. Para que cada uno visualice y entienda mejor si una temperatura es muy elevada o no, habéis decidido elaborar una tabla con el punto de fusión en grados Kelvin, Celsius y Fahrenheit de cada material.

 HierroZincFósforoWolframioPlomoEtano
Celsius1535420-183
Kelvin3273660600
Fahrenheit2795788

Obtén F en función de C.

Obtén F en función de K.

Completa la tabla.

Ejercicio 4

Milagros sale a pasear todos los días con su perrito por el barrio. Por desgracia, Milagros tiene una pierna un poco mala y no es capaz de ir tan rápido como quisiera su perrito, que está lleno de energía. Milagros está ya volviendo de su paseo y está a 1 km de distancia de su casa y va a una velocidad de 6 km/h. Su perrito, que ya se conoce el camino sale corriendo a una velocidad de 18 km/h, llega al portal y como ve que a Milagros aún le quedan unos cuantos metros, corre hacia ella. El perrito va y viene desde donde está Milagros hasta el portal y desde el portal hasta donde está Milagros hasta que esta llega a la altura del portal.

Representa gráficamente la distancia ente Milagros y su casa en función del tiempo y la distancia entre el perro y la casa. ¿Qué distancia ha recorrido el perrito?

Ejercicio 5

Una sala de eventos en la que se hacen todo tipo de fiestas: bodas, bautizos, comuniones, graduaciones... tiene la siguiente forma sobre el plano:

Las matemáticas en la arquitectura
Plano de la sala de fiestas.

En este plano podemos observar una pared móvil representada por el segmento MN, que permite reducir la superficie de la sala.

Las rectas MN y AB son paralelas.

1. Imagina que eres una persona organizadora de eventos y este domingo hay una fiesta temática. La decoración es una parte muy importante de la fiesta, por lo que estás pensando en decorar las paredes con papel pintado o con enormes murales. Para ello necesitas saber de cuántos metros dispones. Por lo tanto, precisas conocer el perímetro del polígono MNCEFGHD. La unidad de longitud es un metro.
Notamos por x la longitud AM (con 0 ≤ x ≤ 50) y por f(x) este perímetro.
a. Calcula f(0) y f(50)
b. Obtén f(x) en función de x y comprueba que es una función afín.
c. Lee aproximadamente un valor del perímetro f(x) cuando M esté en la mitad del segmento AD.

 

2. Estamos en pleno invierno y lo último que quieres es que la gente se queje del frío que hace. La sala es considerablemente grande, pero hay que calentarla para crear un ambiente agradable. Para ello necesitas conocer el volumen de la sala. El techo está a una altura de 3 metros. Notamos g(x) al volumen de la sala en m³.
d. Obtén g(x) en función de x y comprueba que es una función afín.
e. Dibuja en unos ejes la función g (1 cm por cada 5 metros en abscisas y 1 cm por 500 m³ en ordenadas)
f. Aunque la sala tiene algunos radiadores, sabes que no será suficiente. Por lo tanto, decides alquilar material de calefacción suplementario cuando el volumen de la sala sea superior a 3000 m³. Basándote en la gráfica anterior, encuentra aproximadamente los valores de x para los que el material de calefacción suplementario será necesario.

Tipos de funciones

Aunque no dudamos que con estos ejercicios seas ya un as de las funciones afines, es importante también que nunca las confundas con otros tipos de funciones. Si necesitas ampliar tus conocimientos, encontrarás un artículo del blog dedicado a cada tipo de función. Así mismo, si necesitas más práctica tenemos un montón de apuntes y ejercicios sobre funciones en nuestra página de material didáctico.

Veamos ahora otros tipos de funciones:

  • Función acotada: función f tal que para cualquier valor de x: —m ≤ f(x) ≤ m
  • Función algebraica: las que representan expresiones algebraicas de números y variables.
  • Función compleja: f: S → C, donde C es el conjunto de los números complejos.
  • Función continua: función cuya curva está formada por un trazo continuo sin saltos.
  • Función constante: f(x) = m, donde m es constante.
  • Función creciente: función f tal que f(x1) ≤ f(x2) para cualquier par de puntos x1 < x2
  • Función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c
  • Función cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
  • Función decreciente: función f tal que f(x1) ≥ f(x2) para cualquier par de puntos x1 > x2.
  • Función discontinua: función cuya curva está formada por un trazo con saltos o roto en su trazo.
  • Función escalar: f: Rn → R
  • Función explícita: y = f(x)
  • Función exponencial: l: f(x) = ex
  • Función identidad: f(x) = x
  • Función impar: f(-x) = -f(x)
  • Función implícita: y ≠ f(x)
  • Función inversa: f-1(x)
  • Función lineal: f(x) = mx
  • Función logarítmica: f(x) = loga x
  • Función par: f(x) = f(-x)
  • Función parte entera: f(x) = E(x)
  • Función periódica: f(x) = f(x + T)
  • Función polinómica: f(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a2x2 + a1x + a0
  • Función potencial: f(x) = xa
  • Función primitiva: F(x)
  • Función racional: f(x) = P(x) / Q(x) donde P y Q son dos polinomios.
  • Función real: f: R → R
  • Función trigonométrica: incluye en su fórmula alguna razón trigonométrica (seno, coseno, tangente...).
  • Función valor absoluto: f(x) = |P(x)| en la que P es un polinomio.
  • Función vectorial: f: Rn → Rm
Existen decenas de tipos de funciones.
Representa gráficamente cada tipo de función para memorizarlas.

Diferencia entre función afín y función lineal

Entre tantas funciones es normal que nos hagamos un lío, aunque el nombre que tiene cada función nos da muchas pistas. Las funciones más estudiadas en los primeros niveles de la ESO son la función afín y la función lineal. Muy importante no confundirlas ante su aparente similitud.

¿Cómo diferenciarlas? Partiendo de la base de que la gráfica de la función es una recta: si dicha recta pasa por el punto de origen de coordenadas, es una función lineal (y = mx) y su pendiente (m) es la ordenada de x = 1. Si esta recta NO pasa por el origen de coordenadas, es una función afín (y = mx + n), en la que n es ordenada de x = 0 y m es la ordenada de x = 1 menos n.

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Cristina

Redactora, traductora y revisora. Me encanta contar historias, escuchar a los demás y ver atardeceres. Me gusta bailar y perderme haciendo senderismo. Mi lugar preferido es el mar, que todo lo cura.