Dos rectas en el plano

Secantes

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 1

Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene una solución.


Paralelas

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 2

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas no tiene solución.


Coincidentes

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 3

Dos rectas son coincidentes si tienen todos los puntos son comunes.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene infinitas soluciones.


Ecuación explícita

r ≡ y = mx + n

s ≡ y = m'x + n'

Ecuación general

r ≡ Ax + By + C =0

s ≡ A'x +B'y + C' =0
r y s secantes m ≠ m' Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 4
r y s paralelas m = m'n ≠ n' Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 5
r y s coincidentes m = m'n = n' Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 6

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 7

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 8

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 9

Dos rectas en el espacio

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 10 y Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 11 y la recta s por Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 12 y Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 13, la posición relativa de r y s viene dada por la posición de Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 14.

Si Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 15 hay dos posibilidades:

1.

Rectas coincidentes si Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 16.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 17

2.

Rectas paralelas si Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 18.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 19

Si Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 20 hay otras dos posibilidades:

3.

Rectas secantes si Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 21.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 22


4.

Rectas que se cruzan si Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 23.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 24

Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 25 Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 26

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas r y s.

1.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 27

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 28

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 29

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 30

Comparamos los rangos

Las dos rectas se cruzan.


2.

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Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 33

Explicaciones y ejemplos de posiciones de dos rectas - 34

Las dos rectas son secantes.