Rango de una matriz

 

El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Utilizando esta definición se puede calcular usando el método de Gauss.

 

También, podemos decir que el rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

 

A este número se le conoce simplemente como rango de A (matriz A), y se denota por rang (A).

 

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Cálculo del rango de una matriz por determinantes

 

En general, como el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula, los pasos a seguir para el cálculo del rango por determinantes son:

 1  Descartamos las filas (o columnas) que cumplan con alguna de las condiciones:

 

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos filas (o columnas) iguales.

Una fila (o columna) es proporcional a otra.

Una fila (o columna) es combinación lineal de otras.

 

 2  Si al menos un elemento de la matriz no es cero su determinante no será nulo y, por tanto, el rango será mayor o igual a 1.

 

 3  El rango será mayor o igual a 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

 

 4  El rango será mayor o igual a 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

 

 5 El rango será mayor o igual a 4 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 4, tal que su determinante no sea nulo.

 

De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4, hasta que la submatriz (o las submatrices) del mayor orden posible tenga (o tengan) determinante nulo.

 

Ejemplo del cálculo del rango de una matriz por determinantes

 

 

1 Dada B la matriz, calcular su rango, rang(B).

{B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 0 & -7\\ 3 & -2 & 1 & 17\\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix}}

Solución:

De acuerdo a los pasos anteriores podemos realizar lo siguiente.

 1  Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras:
c_3= c_1 + c_2.

 

{\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2\\ 3 & 2 & 5 & 1\\ -1 & 1 & 0 & -7\\ 3 & -2 & 1 & 17\\ 0 & 1 & 1 & -4 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -7\\ 3 & -2 & 17\\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}}

 

 2  Comprobamos si tiene rango mayor o igual que 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

 

\left | 2 \right |=2\neq 0

 

 3  Tendrá rango mayor o igual que 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

{ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 }

 

 4  Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

 

{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & 1 & -7 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 3 & -2 & 17 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix} = 0 }

 

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos, tienen rango menor que 3, por tanto rang(B) = 2.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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