El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 1

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 2

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 3

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 4

Expresión analítica del producto escalar

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 5

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 6

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 7

Expresión analítica del módulo de un vector

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 8

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 9

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 10

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 11

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 12

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 13

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 14

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 15

Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 16

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 17

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 18

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 19

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 20
Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 21 Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 22

OA' es la proyección escalar de Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 23 sobre el vector Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 24.

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 25, de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

La proyección escalar del vector u sobre v es el módulo de la proyección vectorial de u sobre v.

Ejemplo

Hallar la proyección del vector Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 26 = (2, 1) sobre el vector Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 27 = (−3, 4).

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 28

Propiedades del producto escalar

1

Conmutativa

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 29

2

Asociativa

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 30

3

Distributiva

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 31

4

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 32

Producto escalar de vectores del espacio

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 33

Ejemplo

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 34

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 35 = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 36

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 37

Determinar el ángulo que forman los vectores Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 38 = (1, 2, −3) y Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 39 = (−2, 4, 1).

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 40

Explicaciones y ejemplos de producto escalar - 41