Ejercicios propuestos 1 Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.Solución 2 Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira...
Ejercicio nº 1 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Aplicando la definición de...
Ejercicio nº 2 Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² + 2x + 1 1. Vértice xv = −2/2 = −1 yv = (−1)² + 2 · (−1) + 1= 0 V(− 1, 0) 2. Puntos de corte...
Ejercicio nº 6 Representa la función: f(x) = E(x/2) x 0 1 1.9 2 3 3.9 4 f(x) = E(x/2) 0 0 0 1 1 1 2
Ejercicio nº 7 Representa las funciones trigonométricas: 1 x f(x) 0 0 π/4 -0.7 π/2 -1 3π/4 -0.7 π 0 5π/4 0.7 3π/2 1 7π/4 0.7; 2π 0 2 x f(x) 0 0 π/4 1...
Ejercicio nº 3 Representa las funciones de la parte entera de x: 1f(x) = x + 1 − E(x) x f(x) = x + 1 − E(x) 0 1 0.5 1.5 0.9 1.9 1 1 1.5 1.5 1.9 1.9 2 1 2 f(x) = 2x − E(x)
Ejercicio nº 2 Representa las funciones valor absoluto: 1 f(x) = |x − 2| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. Se forman intervalos...
Ejercicio nº 5 Representa la función valor absoluto: 1f(x) = |−x² + 5x − 4| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces −x² + 5x − 4...
Ejercicio nº 3 Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación. La coordenada x del vértice es 1 1 = −b/2a b = −2a...
Ejercicio nº 6 Representa la funciones logarítmicas: 1 x f(x) 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2; 1 4 2 8 3 2 x f(x) 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1; 0 2; −1 4 −2 8; −3 3f(x) = ln x x f(x)...
Ejercicio nº 5 Representa las funciones exponenciales: 1 x f(x) = 3x -3 1/27 -2; 1/9 -1 1/3 0 1 1 3 2 9 3 27 2 x f(x) = (2/5)x −3 15.625 −2 6.25 −1 2.5 0 1 1 0.4 2 0.16 3...
Ejercicio nº 11 La cantidad (y) de manera acumulada en una máquina tragaperras durante un día si una ley del tipo: donde la variable x representa el tiempo en horas (de 0 a...
Ejercicio nº 8 Representa la función logarítmica: x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 f(x) 3/2 1 1/2 0 −1/2 −1 −3/2
Ejercicio nº 7 Representa la función exponencial: x −3 −2 −1 0 1 2 3 f(x) = (3/2)x 8/27 4/9 2/3 1 3/2 9/4 27/8
Ejercicio nº 4 Encuentra la expresión analítica de la función
Ejercicio nº 2 Representa gráficamente: y = x² + x + 1 1. Vértice xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1 = 3/4 V(−1/ 2, 3/ 4) 2. Puntos de corte con el eje OX x² + x...
Ejercicio nº 4 Hallar la función inversa de: Se escribe la función con x e y Elevamos al cubo en los dos miembros Se despeja la variable x en función de la variable y. Se...
Ejercicio nº 3 Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 1 f(x) = |x| en x = −2 Tomamos un incremento, h = 0.001, en el...
Ejercicio nº 7 La curva f(x) = x³ + a x² + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
Ejercicio nº 12 Sea f(x) = x³ + ax² + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1 una inflexión, y cuya recta tangente en ese punto...
Ejercicio nº 2 Representar la función: Dominio Simetría Simetría respecto al eje OY. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX Punto de corte con OY Asíntotas...
Ejercicio nº 4 Representa las funciones racionales y determina su centro: 1f(x) = 6/x x f(x) = x + 1 − E(x) −6 -1 −3 -2 −2 -3 −1 -6 1 6 2 3 3 2 6 1 El centro de la...
Ejercicio nº 1 Halla el dominio, el recorrido y representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos: 1 D = ℛ – {0} R = (4, ∞) 2 D = ℛ R = [0, 3] 3 f(2)...
Ejercicio nº 5 Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4 5Probar que: Se cumple que la composición de una función con la función inversa es la función identidad
Ejercicio nº 2 Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por por el punto (1, 2) aquella que forma con la partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área...
Ejercicio nº 1 El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos rubíes formados...
Ejercicio nº 3 Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b). Demostrar que ∃ c ∈ (a, b) tal que f(c) = g(c). Sea la función h...
Ejercicio nº 1 Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4. 1 Representar la función. f(0) = 3 3 = a · 0 + b b = 3 f(1) = 4 4 = a · 1 + b a =...
Ejercicio nº 2 Estudia la simetría de las siguientes funciones: 1 . Función par 2 . Función impar
Ejercicio nº 9 Hallar a y b para qué la función: f(x) = aln x + bx 2 + x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos...
Ejercicio nº 6 Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de...
Ejercicio nº 8 Dada la función: Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.
Ejercicio nº 1 Representar la función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX Punto de corte con OY Asíntotas Asíntota horizontal Asíntotas...
Ejercicio nº 1 Calcular el dominio de las funciones: 1 2 En el primer trozo se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero En el segundo trozo al ser 3 una...
Ejercicio nº 5 Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). f(x) = ax³ + bx 2 + cx +...
Ejercicio nº 3 Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x³ − 6x² + 4 en su punto de inflexión. f′(x) = 6x2 − 12xf′′(x) = 12x − 12 12x − 12 =...
Ejercicio nº 3 Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de...
Ejercicio nº 4 Determinar a, b y c para que la función f(x)=x³ +ax² + bx +c tenga un máximo para x = −4, un mínimo, para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1. f(x) = x³ +...
Ejercicio nº 2 Probar que la función f(x) = x + sen x − 1 es continua para toda ℛ y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0. La...
Ejercicio nº 5 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 3 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 6 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 4 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: El...
Ejercicio nº 2 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 2 Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto 0.4 cm³ de agua. Forma una tabla de valores de la función, tiempo-capacidad de agua. Representa...
Ejercicio nº 1 Dada la función f(x) = x³, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y mínimos. La...
Ejercicios propuestos 1 ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?Solución 2 Estudiar si la función f(x) = x − x³ satisface las...
Ejercicios propuestos 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4 Solución 5 Solución 6 Solución 7 Solución 8 Solución 9 Solución 10 Solución 11 Solución 12 Solución 13...
Ejercicio nº 1 1 y = 0 Es una función constante 2 y = ¾ Es una función constante 3y = 2x Es una función lineal x y = 2 x 0 0 1 2 4y = −¾x − 1 Es una función afín x y =...
Ejercicio nº 9 En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda. Los puntos A = (1, 1) y B...
Ejercicio nº 4 Dada la función: Determinar los puntos de discontinuidad de la función. La función exponencial es positiva para toda x ∈ ℛ, por tanto el denominador de la...
Estudiar la concavidad y convexidad 1 2 3 4 f" no se anula. 5 6 7 8. 9. 10. 11. 12.
Calcular las asíntotas 1 Asíntota horizontal Asíntotas verticales Asíntota oblicua 2 Asíntota horizontal Asíntotas verticales Asíntota oblicua 3 Asíntota...
Estudiar la simetría 1 Simétrica respecto al origen: Función impar. 2 Simétrica respecto al eje de ordenadas: Función par. 3 f(x) = x6 + x4 − x² f(−x)= (−x)6 + (−x)4...
Calcular las ramas parabólicas 1 Tiene dos ramas parabólicas en la dirección del eje OY. 2 Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX. 3 Tiene dos ramas parabólica...
Calcular los puntos de corte 1 Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: 2 Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: 3 Puntos de corte con OX: Punto de corte...
Estudiar el crecimiento y decrecimiento 1 Dominio : ℛ Creciente: Decreciente: 2 Dominio : ℛ 3 Dominio : ℛ 4 Dominio : ℛ 5 6 7 Creciente: 8 9 10 Dominio : ℛ 11 12 13...
Responde a las preguntas planteadas en cada caso: 1La gráfica muestra la temperatura media de un enfermo en cada uno de los 10 días que ha estado ingresado en el hospital....
Ejercicios propuestos 1La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente...
Halllar los puntos de inflexión 1 f(x) = x³ − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 . Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión. f(0) = (0)³ −...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: No hay puntos de corte con el eje OX. Punto de...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas No tiene...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota horizontal: No hay asíntotas...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar. Puntos de corte con los ejes Punto de corte con OX:...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota horizontal: Asíntotas...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al eje OY, es decir, se trata de una función par. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX:...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX Punto de corte con OY Asíntotas Asíntota horizontal No tiene asintota...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al eje OY, es decir, la función es par. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría No presenta simetría. Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: Asíntotas Asíntota...
Representar la siguiente función: Dominio Simetría Simetría respecto al origen, es decir, función impar Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con OX: Punto de corte con...
Ejercicios propuestos Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio Simetría. Puntos de corte con los ejes Asíntotas y ramas parabólicas Crecimiento y...
Ejercicios propuestos Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio. Simetría. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas y ramas parabólicas. Crecimiento y...
Las ramas parabólicas se estudian sólo si: Rama parabólica en la dirección del eje OY f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando: Esto quiere decir que la...
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas: 1. Asíntotas horizontales Ejemplo Calcular las asíntotas...
Puntos de corte con el eje OX Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante. Ejemplo Hallar los puntos de corte con el...
Periodicidad de una función Una función es periódica cuando: La función se repite de T en T, siendo T el período. Ejemplos 1La función f(x) = x − E(x), es periódica de...
Respecto del eje de ordenadas Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si es una función par, es decir: f(−x) = f(x) Ejemplo Simetría respecto al origen Una...
El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. D = {x ∈ ℛ / ∃ f (x)} Cálculo del dominio de una función Dominio de la función...
Gráfica de una fución La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D. gráfica (f) = {(x, f(x)) / ∀ x ∈ D} Para...
Ejercicios propuestos 1El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos rubíes...
Ejercicio nº 9 Dada la función: Demuestra que existe un punto del intervalo abierto (2, 4) en el que f toma el valor 1. La función exponencial es positiva para toda x ∈ ℛ,...
Ejercicio nº 6 Justificar que la función polinómica f(x) = x³ + x + 1 tiene un cero comprendido entre −1 y 0. Por ser polinómica la función es continua en el intervalo...
Ejercicio nº 10 Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c. Sustituimos el valor de cada...
Ejercicio nº Hallar el área del triángulo determinado por los ejes de coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en el punto x = 1.
Ejercicio nº 1 Aplicando la definición de límite, probar que: tiene límite −1 cuando x 0
Ejercicios propuestos 1Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.Solución 2Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira...
Averigua el valor de la variable dependiente en cada caso: 1 y = 3x + 1 x = 0 y = x = 5 y = x = 0 y = 3 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 x = 5 y = 3 · 5 + 1 = 15 + […]
Ejercicio nº 6 Sea la función: Determinar el valor de a para que f(x) sea continua. En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios....
Ejercicio nº 5 Dada la función Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo valor de x. La imagen de -π/2 es igual a su límite por la izquierda La imagen...
Ejercicio nº 11
Ejercicio nº 7 Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas. f′(x) = 1 +...
Ejercicio nº 8 ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/x² en [0, 2]? La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.
Ejercicio nº 11 Dada la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en...
Ejercicio nº 7 Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua. Por tanto no existe límite en x = 0 No se puede conseguir que f(x) sea continua en x = 0, sea...
Ejercicio nº 9 Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a. Sustituimos el punto en la función...
Ejercicios propuestos 1Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.Solución 2Dada la curva de...
Ejercicio nº 15 Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:
Ejercicio nº 8 Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.
Ejercicio nº 14
Ejercicio nº 13
Ejercicio nº 10
Ejercicio nº 10 La gráfica de la función y = ax² + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz...
Ejercicio nº 8 Demostrar que existe algún número real x tal que sen x = x. Consideremos la función f(x) = sen x − x. Es continua en toda ℛ. f(−π) = sen (−π) −...
Ejercicio nº 12
Ejercicio nº 9 Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax² + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1)., y en este último punto su tangente tiene de...
Ejercicio nº 6 Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x³ + 13x² + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX. m = 1 f'(x) = 4x³ + 21x² + 26x +1...
Ejercicio nº 9 Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea continua. Estudiamos la continuidad en x = 0 b= 1 Estudiamos la continuidad en x = 3 3a + 1 = −2...
Ejercicio nº 10 La función definida por: es continua en [0, ∞). Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.
Ejercicios propuestos 1Calcular la diferencial de las siguientes funciones: 1 2 3 4 5 6 Solución 2Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos...
Ejercicio nº 5 Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de...
Ejercicio nº 5 Sea la función f(x) = x³ − x² + 1. ¿Se puede afirmar que existe al menos un punto c en el interior del intervalo [1, 2] tal que f(c) = 0? f(x) es continua en...
Ejercicio nº 7 Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x. La función es continua en toda ℛ.
Ejercicio nº 7 Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: 1 y = x² − 5x + 3 b² − 4ac = 25 − 12 > 0 Dos puntos de...
Ejercicio nº 9
Ejercicio nº 16
Ejercicio nº 3 Dada la función: Determinar el valor de a para que la función sea continua para x = 3. Resolvemos la indeterminación descomponiendo el numerador en factores y...
1 De las funciones a las que se refieren los siguientes enunciados, separa las variables en dependientes e independientes: La electricidad consumida y el importe del recibo a...
Ejercicio nº 1 Encontrar los puntos de la función f(x) = x² + 1+ |2x − 1| es discontinua. Pasamos la función a una función a trozos Estudiamos la comtinuidad en 1/2 La...
Ejercicio nº 8 Estudiar la continuidad en x = 0 de la función: f(0) = 0 La función está acotada . por tanto se verifica: El límite es 0, ya que cualquier número multiplicado...
Ejercicio nº 5 Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x³, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia. Sea el punto de tangencia (a,...
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que...
Ejercicio nº 11 Dadas las funciones: Calcular: 1 2
Ejercicios propuestos 1 Dada la función f(x) = x³, estudiar si está acotada superiormente e inferiormente en el intervalo [1, 5] e indica si alcanza sus valores máximos y...
Ejercicio nº 11 Probar que:
Ejercicios propuestos 1Demuestra que la función f(x) = x²− 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2].¿Se puede decir lo mismo de la función: ?Solución 2Sea...
Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k. También...
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. Ejemplos...
Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es...
Continuidad en un intervalo cerrado Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] si: f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a, b). f...
Continuidad de una función en un punto Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. Que el punto x= a...
Ejercicio nº 7 Demostrar que la ecuación e−x + 2 = x tiene al menos una solución real. La función es continua en el intervalo [0, 3]. f(0) = e0 + 2 − 0 > 0. f(3) =...
Ejercicio nº 4 Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x³ + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1 < a < 2. f(x) es continua en...
Ejercicios propuestos 1Encontrar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = x² + 1 + |2x − 1|.Solución 2Se considera la función Si f(2) = 3, determinar los valores de...
Ejercicio nº 8 Hallar a y b para que la función sea continua. Estudiamos la continuidad en x = 0 Estudiamos la continuidad en x = 1
Ejercicio nº 9 Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:
Ejercicio nº 8
Ejercicio nº 3 Sea la función f(x)= x² + 1. ¿Se puede afirmar que la función toma todos los valores del intervalo [1,5]? x² + 1 = 1 x = 0 x² + 1 = 5 x = 2 La función es...
Ejercicios propuestos 1Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 1 2 3 4 5 6 Solución 2Estudia la continuidad de f(x) en x = 0. Solución 3Estudia, en el intervalo...
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a. Ejemplos 1. En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene...
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos. Salto Salto es la diferencia en valor absoluto de los...
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y este es finito. Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable: Caso 1: La función no está definida en x =...
1. Discontinuidad evitable. 1. No existe imagen. 2. La imagen no coincide con el límite. 2. Discontinuidad inevitable o de primera especie. 1. De salto finito. 2. De salto...
Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto. La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen La función es...
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio. La función es continua en...
Continuidad por la izquierda Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si: Continuidad por la derecha Una función f(x) es continua por la derecha en el...
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel....
Ejercicio nº 4 En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la...
Ejercicios propuestos Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. 1Aplicando la...
Ejercicio nº 2 Sea la función: ¿Se puede afirmar que f(x) está acotada en el intervalo [1,4]? Por no ser continua f(x) en x = 1, la función no es continua en el intervalo...
Ejercicio nº 6 Estudiar la continuidad de la función: La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0. La función no es continua en x = 0,...
Ejercicio nº 6 Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: 1 y = (x − 1)² + 1 V = (1, 1) x = 1 2 y = 3(x − 1)² + 1 V = (1, 1) x = 1...
Ejercicio nº 8 Representa gráficamente las funciones cuadráticas: 1 1. y = −x² + 4x − 3 1. Vértice xv = − 4/ −2 = 2 yv = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1) 2. Puntos de...
Ejercicio nº 8 Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican: 1 f(x) = 5x² − 3x + 1 en x = 1 Tomamos un incremento, h =...
Caso 1: Si a > 1 Caso 2: Si 0 < a < 1 Ejemplos 1. 2. 3. 4.
Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞. Límite de funciones polinómicas en el infinito El límite cuando x → ∞ de una función...
Cálculo del límite en un punto Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces...
Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Debemos tener claro que infinito no...
Límite de una constante Límite de una suma Límite de un producto Límite de un cociente Límite de una potencia Límite de una función g puede ser una raíz, un log, sen ,cos,...
Límite cuando x tiende a infinito Límite cuando x tiende a menos infinito Ejemplos
Límite infinito Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se verifica que f(x) > k para todos los valores próximos...
Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a − δ, a) ,...
Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e. 1er Método A la base le sumamos y restamos 1 Ponemos a común denominador los dos últimos sumandos En el...
La indeterminación ∞ · 0 se transforma en otras indeterminaciones como ∞/∞ o 0/0, que ya hemos visto como se resuelven. Ejemplo Introducimos el primer factor en la raíz...
Vamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos: Caso 1. Función racional Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción. 1. El numerador es un...
Para resolver la indeterminación ∞ − ∞ tenemos varios métodos: 1. Por comparación de infinitos 2. Con funciones racionales Ponemos a común denominador. x² – 4x + 3 =...
Para resolver resolver la indeterminación infinito partido infinito podemos utilizar uno de estos dos métodos: 1. Por comparación de infinitos 1. El numerador tiene mayor grado...
El límite puede ser +∞, −∞ o no tener límite. Ejemplos Calcular el límite: 1. Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞. Si le damos a la...
1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si: 2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si: 3. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si: Dadas dos potencias de x,...
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no...
Caso 1: Si a > 0 Caso 2: Si 0 < a < 1 Ejemplo
Límite en un punto El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es...
Ejercicios propuestos Representa las funciones en valor absoluto 1f(x) = |x − 2|Solución 2Solución 3Solución 4f(x) = |x² − 4x + 3|Solución 5f(x) = |−x² + 5x −...
Ejercicio nº 2 Se considera la función Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea continua. Sólo existe duda de la continuidad en x = 1. Para que la...
Ejercicio nº 6 Calcular el dominio de las funciones trigonométricas: 1 El valor del seno está comprendido entre 0 y 1, por tanto el sen² x será menor o igual que 1 2 El valor...
Ejercicio nº 6
Ejercicios propuestos Representa las funciones a trozos 1Solución 2Solución 3Solución 4f(x) = sgn(x)Solución 5f(x) = E(x)Solución 6f(x) = x − E(x)Solución 7f(x) = x + 1...
Ejercicio nº 8 Representa las función f(x) = 2x − E(x)
Ejercicio nº 6 Si el lugar de se halla . ¿Cuáles son las aproximaciones del error absoluto y relativo?
Ejercicios propuestos Representa las funciones 1y = 2Solución 2y = –2Solución 3y = ¾Solución 4y = 0Solución 5x = 0Solución 6x = −5Solución 7y = xSolución 8y =...
Ejercicio nº 7
Ejercicio nº 9 Representa la función de la parte entera de x: f(x) = E(x/2) x 0 1 1.9 2 3 3.9 4 f(x) = E(x/2) 0 0 0 1 1 1 2
Ejercicios propuestos Hallar la función inversa 1Solución 2Solución 3Solución 4Solución 5Solución 6Solución 7Solución 8Solución 9Solución 10 1Probar que: 2Probar que:...
Ejercicio nº 4
Ejercicio nº 3 Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la función que define el coste de los boquerones en función de los kilogramos comprados. 18/3 =...
Ejercicio nº 11 Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol...
Ejercicios propuestos Representa las funciones cuadráticas 1y = −x² + 4x − 3Solución 2y = x² + 2x + 1Solución 3y = x² + x + 1Solución 4Halla el vértice y la ecuación...
Ejercicio nº 9 Hallar las funciones inversas de: 1 Se escribe la función con x e y Se despeja la variable x en función de la variable y Se intercambian las variables 2 3...
Ejercicio nº 4 Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x³ − 3x² − 9x + 5 es paralela al eje OX. y' = 3x² − 6x − 9; x² − 2x − 3 = 0 (simplificando...
Ejercicios propuestos 1Calcular el dominio de las funciones polinómicas: 1f(x)= x² – 5x + 6 2 3Solución 2Calcular el dominio de las funciones racionales: 1 2 3 4 5 6...
Ejercicios propuestos 1Sean las funciones: Calcular: 1 2Solución 2Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4 5 6Probar que: 7Probar que: Solución 3Dadas las funciones: Calcular: 1 2...
Funciones constantes y = n La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son...
Ejercicio nº 7 Representa las función f(x) = x + 1 − E(x) x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = x + 1 − E(x) 1 1.5 1.9 1 1.5 1.9 1
Ejercicios propuestos 1Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b, si f(0) = 3 y f(1) = 4. 1Representar la función. 2Indicar los intervalos en los que es positiva o...
Ejercicio nº 5
Ejercicio nº 5 Calcula el error absoluto y relativo cometido en el cálculo del volumen de una esfera de 12.51 mm de diámetro, medido con un instrumento que aprecia milésimas...
Ejercicio nº 5 Dada la función: 1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5. f(5) = 0. Resolvemos la indeterminación factorizando el numerador y simplificando: f(x) no es...
Ejercicios propuestos 1Halla el dominio, el recorrido y representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos 1 2 3Solución 2Halla el dominio, el recorrido y...
Ejercicio nº 7 Estudia la simetría de las siguientes funciones: 1 f(x) = x6 + x4 − x² f(−x) = (−x)6 + (−x)4 − (−x)² = x6 + x4 − x² = f(x) Simétrica respecto al...
Ejercicio nº 5 Calcular el dominio de las funciones logarítmicas: 1 Para que exista el logaritmo la función tiene que ser mayor que cero 2 Como el denominador es siempre...
Ejercicios propuestos 1Representa las siguientes rectas: 1y = 2 2y = −2 3y = ¾ 4y = 0 5x = 0 6x = − 5 7y = x 8y = −2x − 1 9y = ½x − 1 10y = 2xSolución 2Representa las...
Las hipérbolas son las más sencillas de representar. Sus asítontas son los ejes El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen A...
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo...
Contracción de una función Una función f(k·x) se contrae si K > 1. Dilatación de una función Una función f(k·x) se dilata si 0 < K < 1.
Partimos de y = x² x y = x² -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 Caso 1: Traslación vertical y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades Si k < 0, y = x² se...
Función cuadrática Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. f(x) = ax² + bx + c Representación gráfica de la parábola Podemos...
Escoge la función a la que corresponde cada una de las siguientes gráficas: 1 y = 3x² y = x² La gráfica dada es una dilatación de la parábola y = x², puesto que es más...
La función afín es del tipo: y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen...
Completa las siguientes tablas de funciones lineales según indique cada uno de los enunciados: 1Ismael va a la frutería y compra plátanos a 1.50 €/Kg. Pero también compra...
Función lineal La función lineal es del tipo: y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo: y = 2x Para representar la función le damos...
Completa las siguientes tablas de funciones lineales según indique cada uno de los enunciados: 1María va a la frutería y compra plátanos a 1.70 €/Kg. Cantidad (en Kg) 0 1...
Función constante La función constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de...
1Arrastra las funciones según sean lineales, afines o continuas: y = 2x − 1 y = 3 y = x y = −3x + 4 y = 7 Función lineal Función afín Función constante Función lineal...
Función seno f(x) = sen x Dominio: ℛ Recorrido: [−1, 1] Período: 2π rad Continuidad: Continua en ∀x ∈ ℛ Impar: sen(−x) = −sen x Función coseno f(x) = cos x...
La función exponencial es del tipo: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de...
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus...
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. El dominio lo forman todos los números reales menos el 2. Función parte entera de x Es...
El criterio de las funciones radicales viene dado por la variable x bajo el signo radical. Función radical de índice impar El dominio es ℛ. Ejemplos Función radical de...
1. Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,...
Ejercicio nº 10 Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4 5 6 7Probar que:
Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro...
Ejercicios propuestos 1Calcular el dominio de las funciones: 1 2Solución 2Estudia la simetría de las siguientes funciones: 1 2Solución 3Estudia el crecimiento o decrecimiento...
Ejercicio nº 1 Demuestra que la función f(x) = x² − 4x + 2 corta al eje de las abscisas en el intervalo [0,2]. ¿Se puede decir lo mismo de la función: ? La primera función...
Ejercicio nº 4 ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0? 1 La función es continua en x = 0. 2 En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.
Ejercicio nº 10 Encuentra la expresión analítica de la función
Ejercicio nº 4 Hallar la variación de volumen que experimenta un cubo, de arista 20 cm, cuando ésta aumenta 0.2 cm su longitud.
Ejercicios propuestos 1Calcular el dominio de las funciones polinómicas: 1 2Solución 2Calcular el dominio de las funciones racionales: 1 2 3 4 5Solución 3Calcular el dominio de...
Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función. a = 0 Mínimo absoluto...
Escoge la opción correcta: 1El máximo absoluto de una función ... es el punto de abscisa x0 donde se alcanza el mayor valor de ordenada f(x0). es el punto de ordenada f(x0)...
Función acotada superiormente Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior....
1Arrastra cada función al recuadro correspondiente: Acotada No acotada Acotada No acotada Si tienes dudas puedes consultar la teoría Puntuación:
El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro. t.v.= f(x+h) – f(x) Función estrictamente creciente f es...
Escoge la opción correcta en cada caso para la siguiente gráfica: 1La función es estrictamente decreciente en ... (−∞, −2) ∪ (1, +∞) (3, −2) (−2, 1) 2La función...
En este tema para realizar el estudio de una función analizaremos los siguientes puntos: Crecimiento y decrecimiento Cotas Máximos y mínimos absolutos y relativos Simetría...
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a. Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4 Podemos...
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento...
Tabla de valores y representación Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado por la función f le corresponde en el plano cartesiano un único punto...
Escoge la opción correcta: 1En el dibujo siguiente se señala el ... eje de abscisas. eje de ordenadas. eje vertical. 2En el dibujo siguiente se señala ... el eje de ordenadas....
1 Arrastra cada gráfica al tipo de función que corresponda: Función continua Función discontinua con discontinuidad evitable Función discontinua con discontinuidad de salto...
El dominio de una función es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x ∈ ℛ / ∃f(x)} El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama...
Escoge la opción que indica el dominio de cada una de las funciones a las que corresponden estas gráficas: 1 [−4, 3] (−4, 3] [−5, 4] 2 [0, 6] (−∞, 4] (−∞, 4] −...
Escoge la opción que indica el recorrido de cada una de las funciones a las que corresponden estas gráficas: 1 (−4, 3] (−5, 4] [−5, 4] 2 [0, 6] [0, 6) (−∞, 4] − {0}...
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + zT) Estudio de funciones periodicas Función seno La función f(x) = sen x...
Escoge la opción correcta: 1 La función es periódica con periodo T = 2. La función es periódica con periodo T = 4. La función no es periódica. Sus imágenes se repiten...
Respecto del eje de ordenadas. Función par Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica: f(−x) = f(x) Las funciones...
Escoge el tipo de función para cada una de las siguientes gráficas o expresiones analíticas: 1 Función par. Función impar. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta....
Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna....
Indica si las siguientes relaciones son funciones: 1El coste de comprar fruta y el número de kilos comprados. Sí. No. 2El coste de una llamada telefónica y su duración. Sí....
Coordenadas en el plano Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas: El eje horizontal se...
Ejercicio nº 6 El nivel de contaminación de una ciudad a las 6 de la mañana es de 30 partes por millón y crece de forma lineal 25 partes por millón cada hora. Sea y la...
Ejercicios propuestos 1Representa las siguientes rectas: 1y = 0 2y = ¾ 3y = 2x 4y = −¾x − 1Solución 2Un grifo, que gotea, llena una probeta dejando caer cada minuto 0.4...
Ejercicio nº 3 Un cuadrado tiene 2 m de lado. determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al...
Ejercicios propuestos 1Representa las siguientes rectas: 1y = 2 2y = −2 3y = x 4y = 2x − 1 5y = −2x − 1 6y = ½x − 1Solución 2Representa las siguientes funciones,...
La función constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un número real. La pendiente es 0. La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Ejemplo:...
1Arrastra las funciones según sean lineales, afines o constantes: y = 2x − 1 y = 3 y = x y = −3x + 4 y = 7 Función lineal Función afín Función constante Función lineal...
La función afín es del tipo: y = mx + n m es la pendiente. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la...
La función lineal es del tipo: y = mx Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Para su representación son necesarios al menos dos puntos. Ejemplo:...
Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen. Ejemplo: El precio...
Gráfica creciente Una gráfica es creciente si al aumentar la variable independiente aumenta la variable dependiente. Gráfica decreciente Una gráfica es decreciente si al...
Arrastra cada representación gráfica al punto que corresponda: 1 Función creciente Función decreciente Fución constante Función con tramos distintos Función creciente...
Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable...
Arrastra cada gráfica a la tabla que corresponda 1 Nº de días 1 2 3 6 8 10 Precio(en €) 10 20 30 60 80 100 Número -3 -2 -1 1 2 3 Opuesto 3 2 1 −1 −2 −3 Lado(en cm)...
Una tabla de valores es una representación de datos, mediante pares ordenados, que expresan la relación existente entre dos magnitudes o dos situaciones. La siguiente tabla nos...
Completa las siguientes tablas según indique cada uno de los enunciados: 1El alquiler de una moto cuesta 10 €/día. Completa la tabla que relaciona el número de días de...
Representación de puntos Vamos a representar en unos ejes de coordenadas el punto P(2, 4): 1Marcamos la primera coordenada (la absisa) en el eje OX y la segunda coordenada (la...
Arrastra cada representación gráfica al punto que corresponda: 1 A(−4,0) B(−3,−3) C(1,−2) D(3,5) E(−2,−7) F(3,0) G(−7,4) H(0,0) I(8,2) J(0,−4) K(0,2)...
Para representar los puntos en el plano, necesitamos dos rectas perpendiculares, llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el...
Escoge la opción correcta: 1En el dibujo siguiente se señala el... eje de abcisas. eje de ordenadas. eje vertical. 2En el dibujo siguiente se señala el... el eje de ordenadas....
Ejercicio nº 4 Calcular el dominio de las funciones exponenciales: 1 El dominio de una función exponencial es ℛ 2 Como el exponente es racional, x = 0 no pertenece al dominio...
Ejercicio nº 6 Representa las función definida a trozos: f(x) = x − E (x) x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2 f(x) = x − E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0
Ejercicio nº 5 Representa la función valor absoluto: 1f(x) = |−x² + 5x − 4| −x² + 5x − 4 =0 x² − 5x + 4 =0 x = 1 x = 4
Ejercicio nº 7 Representa la función valor absoluto: f(x) = |x| / x x = 0
Ejercicio nº 2 Representa las siguientes funciones, sabiendo que: 1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1. m = −3, n = −1 y = −3x −1 x y = −3x − 1 0 −1...
Ejercicio nº 2 Dada la curva de ecuación f(x) = 2x² − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de...
Ejercicio nº 5 Cuando se excava hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula: t = 15 + 0.01 h. Donde t es la temperatura alcanzada...
Ejercicio nº 2 Representa las siguientes funciones, sabiendo que: 1 Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1. Se trata de una función afín que es del tipo y = mx + n...
Ejercicio nº 12 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 9 Calcular el dominio de la función definida a trozos: En el primer trozo se tiene que cumplir que el denominador sea distinto de cero En el segundo trozo al ser 3...
Ejercicio nº 5 Representa las función definida a trozos: f(x) = E (x) Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior. x f(x)...
Ejercicio nº 6 Representa la función valor absoluto: f(x) = |x| − x Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. x = 0 Se forman intervalos...
Ejercicio nº 7 Calcular el dominio de las funciones trigonométricas: 1 El valor del seno está comprendido entre 0 y 1, por tanto el sen² x será menor o igual que 1 2 El valor...
Ejercicio nº 16 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 10 1 Probar que: 2 Probar que:
Ejercicio nº 17 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 3 Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la función que define el coste de los boquerones en función de los kilogramos comprados. Se...
Ejercicio nº 3 Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función: Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la...
Ejercicio nº 8 Calcular el dominio de la función:
Ejercicio nº 10 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:
Ejercicio nº 3
Ejercicio nº 2 Estudia la continuidad de f(x) en x = 0. f(0) = 0 En x = 0 hay una discontinuidad esencial.
Ejercicio nº 11 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:
Ejercicio nº 8 Hallar la función inversa de:
Ejercicio nº 18 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular: Las...
Ejercicio nº 4 Representa la función valor absoluto: Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. x² − 4x + 3 = 0 x = 1 x = 3 Se forman...
Ejercicio nº 16 Pasa por el punto P(2, −3) y es paralela a la recta de ecuación y = −x + 7. La función es: y = mx + n Dos rectas paralelas tienen la misma penciente, m =...
Ejercicio nº 9 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: El...
Ejercicio nº 5 Calcular el dominio de las funciones exponenciales: 1 El dominio de una función exponencial es ℛ 2 Como el exponente es racional, x = 0 no pertenece al dominio...
Ejercicio nº 4 Representa las función definida a trozos: f(x) = sgn(x)
Ejercicio nº 19 Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4. f(0) = 3 3 = a · 0 + b b = 3 f(1) = 4 4 = a · 1 + b a = 1 f(x) = x + 3
Ejercicio nº 2 Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado. S = x ²dS = 2x dx d(S)= 2 · 2 · 0.001 = 0.004 m²
Ejercicio nº 8 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: El...
Ejercicio nº 12 Representa la función afín: y = -¾x - 1 x y = -¾x − 1 0 −1 4 −4
Ejercicio nº 6 Calcular el dominio de las funciones logarítmicas: 1 Para que exista el logaritmo la función tiene que ser mayor que cero 2 Como el denominador es siempre...
Ejercicio nº 9 Hallar la función inversa de: Elevamos al cubo en los dos miembros
Ejercicio nº 7 Hallar la función inversa de:
Ejercicio nº 1 Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. y = xm= 1 f'(a) = 1.
Ejercicio nº 6 Hallar la función inversa de:
Ejercicio nº 11 Representa la función afín: y = ½x - 1 x y = ½x − 1 0 −1 2 0
Ejercicio nº 2 Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.
Ejercicio nº 1 Representa las siguientes rectas: 1 y = 2 Es una función constante Trazamos una recta paralela al eje de abscisas que pase por (0, 2) 2 y = −2 Es una función...
Ejercicio nº 15 Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7). La función es: y = mx + n Pasa por (−1, 5): 5 = −m + n Pasa por (3, 7) : 7 = 3m + n Resolvemos el sistema por...
Ejercicio nº 7 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 13 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 5 Representa la recta vertical x = 0
Ejercicio nº 7 Representa la función: y = x x y = x 0 0 1 1
Ejercicio nº 4 Dadas las funciones: Calcular: 1 2
Ejercicio nº 1 Representa las siguientes rectas: 1 y = 2 2 y = −2 3y = ¾ 4y = 0 5 x = 0 6 x = −5 7y = x x y = x 0 0 1 1 8y = −2x − 1 x y = −2x − 1 0 −1 1 −3...
Ejercicio nº 15 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 6 Representa la recta vertical x = −5
Ejercicio nº 1 Calcular la diferencial de las siguientes funciones: 1 2 3 4 5 6 Aplicamos la definición de logaritmo:
Ejercicio nº 4 Representa la función contante: y = 0
Ejercicio nº 6 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: Como...
Ejercicio nº 18 Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número...
Ejercicio nº 14 Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2). La función es: y = mx + n m = 4, sustituimos el valor de m: y = 4x + n Un punto es (−3, 2), sustituimos el...
Ejercicio nº 8 Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación. La coordenada x del vértice es 1 1 = −b/2a b = −2a...
Ejercicio nº 8 Representa la función lineal y = 2x x f(x)=2x 0 0 1 2
Ejercicio nº 3 Representa las función valor absoluto e indica su dominio: Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces Se forman intervalos con...
Ejercicio nº 5 Hallar la función inversa de: Cambiamos f(x) por y Quitamos denominadores Quitamos paréntesis y pasamos al primer miembro las x Sacamos común x y la despejamos...
Ejercicio nº 1
Ejercicio nº 7 Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = ax² + bx + c pasa por los puntos (1,1), (0, 0) y (−1,1). Calcula a, b y c. Sustituimos el valor de cada...
Ejercicio nº 3 Calcular el dominio de las funciones radicales: 1 El dominio de una función irracional de índice par está formado por el conjunto los valores que hacen que el...
Ejercicio nº 4 Hallar la función inversa de: No existe función inversa porque cualquier elemento tiene dos imágenes y una función puede tener a lo sumo una imagen
Ejercicio nº 17 En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la...
Ejercicio nº 5 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: Como...
Ejercicio nº 14 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de:...
Ejercicio nº 10 Representa la función afín: y = −2x − 1 x y = −2x − 1 0 −1 1 −3
Ejercicio nº 2 Representa las función valor absoluto e indica su dominio. Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces Se forman intervalos con...
Ejercicio nº 9 9Partiendo de la gráfica de la función f(x) = x², representa: 1y = x² + 2 2y = x² − 2 3y = (x + 2)² 4y = (x − 2)² 5y = (x − 2)² + 2 6y = (x + 2)²...
Ejercicio nº 3 Representa las función definida a trozos: f(2) =1, D = ℛ R = [0, ∞)
Ejercicio nº 13 Representa la siguiente función, sabiendo que: Tiene pendiente -3 y ordenada en el origen -1. y = -3x -1 x y = −3x − 1 0 -1 1 −4
Ejercicio nº 1 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 1 La función es continua en todos los puntos de su dominio menos en los valores que anulan el denominador. D...
Ejercicio nº 3 Representa la función contante: y = ¾
Ejercicio nº 9 Representa la función afín: y = 2x − 1 x y = 2x 1 0 −1 1 1
Ejercicio nº 6 Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a. Sustituimos el punto en la función...
Ejercicio nº 3 Hallar la función inversa de: Quitamos denominadores Quitamos paréntesis y sacamos factor común x
Ejercicio nº 4 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: Para...
Ejercicio nº 2 Representa las función definida a trozos: D = ℛ R = [0, 3]
Ejercicio nº 3 Calcular el dominio de las funciones radicales: 1 El dominio de una función irracional de índice impar es ℛ 2 Hallamos los valores que anulan el denominador x...
Ejercicio nº 3 Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4Probar que: La composición de una función con la función inversa es igual a la función identidad
Ejercicio nº 4 Calcular el dominio de las funciones radicales: 1 El dominio de una función irracional de índice par está formado por el conjunto los valores que hacen que el...
Ejercicio nº 5 Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas: 1 y = x² − 5x + 3 b² − 4ac = 25 − 12 > 0 Dos puntos de...
Ejercicio nº 2 Representa la función contante: y = −2
Ejercicio nº 2 Hallar la función inversa de:
Ejercicio nº 2 Calcular el dominio de las funciones racionales: 1 El dominio de una función racional es ℛ menos los valores que anulan el denominador Tenemos que igualar el...
Ejercicio nº 2 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Observa la gráfica de esta...
Ejercicio nº 1 Representa las función definida a trozos: D = ℛ – {0} R = (4, ∞)
Ejercicio nº 1 Representa la función valor absoluto: 1 f(x) = |x − 2| Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. Se forman intervalos con...
Ejercicio nº 2 Sean las funciones: Calcular: 1 2
Ejercicio nº 1 Sean las funciones: Calcular: 1 2
Ejercicio nº 3 Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites. Calcular el límite de: Para...
Ejercicio nº 3 Representa gráficamente: y = x² + x + 1 1. Vértice xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1 = 3/4 V(−1/ 2, 3/ 4) 2. Puntos de corte con el eje OX x² + x...
Ejercicio nº 4 Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: 1 y = (x − 1)² + 1 V = (1, 1) x = 1 2 y = 3(x − 1)² + 1 V = (1, 1) x = 1...
Ejercicio nº 1 Calcular el dominio de las funciones polinómicas: 1 El dominio de una función polinómica entera es ℛ 2 Esta función también es polinómica entera porque no...
Ejercicio nº 1 Hallar la función inversa de: Se escribe la función con x e y Se despeja la variable x en función de la variable y Se intercambian las variables
Ejercicio nº 1 Calcular el dominio de las funciones polinómicas: 1 f(x)= x² – 5x + 6 El dominio de una función polinómica entera es ℛ 2 3 Esta función también es...
Ejercicio nº 1 Representa la función contante: y = 2
Ejercicio nº 1 Representa gráficamente la función cuadrática: y = −x² + 4x − 3 1. Vértice xv = − 4/ −2 = 2 yv = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1) 2. Puntos...
