Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3    Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3

1.

Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)

2.

Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3

3.

Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3

P(x) −  Q(x) = 3x2 + x - 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 - 3    Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8    Q(x) = 3x2 −2 x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 1

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 2

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 3

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 4

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 5

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2 ) : (x −3)

1

Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2

Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3

Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4

Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 6

5

Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 7

6

Sumamos los dos coeficientes.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 8

7

Repetimos el proceso anterior.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 9

Volvemos a repetir el proceso.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 10

Volvemos a repetir.

Explicaciones y ejemplos de operaciones con polinomios - 11

8

El último número obtenido, 56 , es el resto.

9

El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18