En lo siguiente listaremos varias propiedades sobre logaritmos. Muchas de estas se siguen de la definición y de las propiedades de la exponenciación. Empezamos con la definición de logaritmo. Definimos el logaritmo de x en base a, {\rm log}_{a}x, como el valor y tal que a^{y}=x, para a>0 y a\neq1. Formulas para el logaritmo,

1 De la definición podemos concluir que no existe el logaritmo para valores negativos de a ni el logaritmo de cero, esto es, no existe {\rm log}_{-a}x ni {\rm log}_{a}0.

2 Dado que a>0, entonces no existe el logaritmo para valores negativos de x, es decir, no existe {\rm log}_{a}(-x).

3 Dado que

    $$a^{0}=1,$$

podemos concluir que

    $${\rm log}_{a}1=0.$$

4 Dado que

    $$a^{1}=a,$$

podemos concluir que

    $${\rm log}_{a}a=1.$$

5 Para n\in\mathbb{N}, tenemos que

    $${\rm log}_{a}a^{n}=n.$$

6 Dado que

    $$a^{x+y}=a^{x}a^{y},$$

podemos concluir que

    $${\rm log}_{a}xy={\rm log}_{a}x+{\rm log}_{a}y.$$

7 Dado que

    $$a^{x-y}=\cfrac{a^{x}}{a^{y}},$$

podemos concluir que

    $${\rm log}_{a}(x/y)={\rm log}_{a}x-{\rm log}_{a}y.$$

8 Para n\in\mathbb{N}, tenemos que

    $${\rm log}_{a}x^{n}=n{\rm log}_{a}x.$$

9 Para n\in\mathbb{N}, tenemos que

    $${\rm log}_{a}\sqrt[n]{x}=\cfrac{1}{n}{\rm log}_{a}x.$$

10 Si a=b^{z} y {\rm log}_{a}x=y, entonces

    $$x=a^{y}=a^{yz/z}=b^{zy}$$

,

de esta forma podemos concluir que

    $${\rm log}_{a}x=\cfrac{{\rm log}_{b}x}{{\rm log}_{b}x}.$$

.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗