Escoge la solución correcta de cada una de las siguientes inecuaciones:

1x² − 14x + 13 > 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

P(0) = 0² − 14 · 0 + 13 > 0

P(2) = 2² − 14 · 2 + 13 < 0

P(14) = 14² − 14 · 14 + 13 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Por tanto, la solución es:

S = (−∞, 1)∪(13, +∞).

24x² − 20x + 25 < 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, como , o lo que es lo mismo y todo número elevado al cuadrado es siempre positivo, entonces la inecuación no tiene solución.

S = ∅.

364x² + 1 + 16x > 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, , o lo que es lo mismo

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución de la inecuación 64x² + 1 + 16x > 0 son todos los números reales menos la raíz de la ecuación de segundo grado. Luego,

416x² + 56x + 49 ≥ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, , o lo que es lo mismo,

Como un número elevado al cuadrado siempre es positivo la solución de la inecuación 16x² + 56x + 49 ≥ 0 son todos los números reales. Luego,

55x² − 8 ≥ −6x

Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos: 5x² + 6x − 8 ≥ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

P(−3) = 5 · (−3)² + 6 · (−3) − 8 > 0

P(0) = 5 · 0² + 6 · 0 − 8 < 0

P(2) = 5 · 2² + 6 · 2 − 8 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Por tanto, la solución es:

S = ( −∞, −2]∪[4/5, +∞)

64x² − 1 ≥ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

P(−1) = 4 · (−1)² − 1 > 0

P(0) = 4 · 0 − 1 < 0

P(1) = 4 · 1 − 1 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Por tanto, la solución es:

S = (−∞, −½]∪[½, +∞)

7x² < −1 + 2x

Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos:

x² − 2x + 1 < 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

En este caso tenemos una raíz doble, entonces:

Como un número elevado al caudrado siempre es mayor o igual que cero, la inecuación no tiene solución.

8x² + x ≤ 6

Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos: x² + x − 6 ≤ 0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

P(−4) = (−4)² + (−4) − 6 > 0

P(0) = 0² + 0 − 6 < 0

P(3) = 3² + 3 − 6 > 0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Por tanto, la solución es:

S = [−3, 2].

9

Pasamos el 5 al primer miembro, pasamos a común denominador la expresión resultante y efectuamos las operaciones:

Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

Escogemos un punto de los tres intervalos que determinan las raíces del numerador y el denominador que son (−∞, −9), (−9, −5) y (−5, +∞) y evaluamos el signo:

Como tenemos un mayor o igual en la inecuación original tendremos que tener en cuenta las raíces del numerador a la hora de dar la solución, es decir, el −9 forma parte de la solución final. Hay que tener cuidado de excluir siempre las raíces del denominador, es decir, el −5 no forma parte de la solución final.

S = [−9, −5)

10

Pasamos el 1 al primer miembro, pasamos a común denominador la expresión resultante y efectuamos las operaciones:

Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

−x² + 9x − 18 = 0

x² − 5x + 6 = 0

Escogemos un punto de los cuatro intervalos que determinan las raíces del numerador y el denominador que son (−∞, 2), (2, 3), (3, 6) y (6, +∞) y evaluamos el signo:

Como tenemos un menor en la inecuación original no tendremos en cuenta las raíces del numerador.

S = (−∞, 2) ∪ (6, +∞)

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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