Escoge la solución correcta de cada una de las siguientes inecuaciones:

1x^{2}-14x+13>0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

    $$x^{2}-14x+13=0$$

    $$x=\cfrac{14\pm\sqrt{(-14)^{2}-4\cdot1\cdot 13}}{2}=\cfrac{14\pm\sqrt{196-52}}{2}=$$

    $$=\cfrac{14\pm\sqrt{144}}{2}=\cfrac{14\pm 12}{2}.$$

Tenemos dos valores para x. x=\cfrac{14+12}{2}=\cfrac{26}{2}=13 y x=\cfrac{14-12}{2}=\cfrac{2}{2}=1.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

Intervalo entre dos puntos

Si p(x)=x^{2}-14x+13, entonces

p(0)=(0)^{2}-14(0)+13>0

p(2)=(2)^{2}-14(2)+13<0 p(14)=(14)^{2}-14(14)+13>0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Intervalo abierto

Por tanto, la solución es:

    $$(-\infty,1)\cup(13,+\infty)$$

24x^{2}-20x+25<0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

4x^{2}-20x+25=0

    $$x=\cfrac{20\pm\sqrt{(-20)^{2}-4\cdot4\cdot 25}}{2\cdot4}=\cfrac{20\pm\sqrt{400-400}}{8}=$$

    $$=\cfrac{20\pm\sqrt{0}}{8}=\cfrac{5}{2}.$$

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, como 4x^{2}-20x+25=4\cdot(x-5/2)^{2}, o lo que es lo mismo 4x^{2}-20x+25=(2x-5)^{2} y todo número elevado al cuadrado es siempre positivo, entonces la inecuación no tiene solución.

    $$S=\emptyset$$

364x^{2}+1+16x>0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

64x^{2}+16x+1=0

    $$x=\cfrac{-16\pm\sqrt{(16)^{2}-4\cdot64\cdot 1}}{2\cdot64}=\cfrac{-16\pm\sqrt{256-256}}{128}=$$

    $$=\cfrac{-16\pm\sqrt{0}}{128}=\cfrac{-1}{8}.$$

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, 64x^{2}+16x+1=64\cdot(x+1/8)^{2}, o lo que es lo mismo 64x^{2}+16x+1=(8x+1)^{2}

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución de la inecuación 64x^{2}+16x+1>0 son todos los números reales menos la raíz de la ecuación de segundo grado. Luego, S=\mathbb{R}-\left\lbrace \cfrac{-1}{8}\right\rbrace

416x^{2}+56x+49\geq0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

16x^{2}+56x+491=0

    $$x=\cfrac{-56\pm\sqrt{(56)^{2}-4\cdot16\cdot 49}}{2\cdot16}=\cfrac{-56\pm\sqrt{3136-3136}}{32}=$$

    $$=\cfrac{-56\pm\sqrt{0}}{32}=\cfrac{-7}{4}.$$

En este caso tenemos una raíz doble. Entonces, 16x^{2}+56x+49=16\cdot(x+7/4)^{2}, o lo que es lo mismo, 16x^{2}+56x+49=(4x+7)^{2}. Como un número elevado al cuadrado siempre es positivo la solución de la inecuación 16x^{2}+56x+49\geq0 son todos los números reales. Luego, S=\mathbb{R}.

55x^{2}-8\geq-6x

Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos: 5x^{2}+6x-8\geq0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

    $$5x^{2}+6x-8=0$$

    $$x=\cfrac{-6\pm\sqrt{(6)^{2}-4\cdot5\cdot (-8)}}{2\cdot5}=\cfrac{-6\pm\sqrt{36-160}}{10}=$$

    $$=\cfrac{-6\pm\sqrt{196}}{10}=\cfrac{-6\pm 14}{10}.$$

Tenemos dos valores para x. x=\cfrac{4}{5} y x=-2.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

Intervalo entre dos puntos cerrados

p(-3)=5\cdot(-3)^{2}+6(-3)-8>0

p(0)=5\cdot(0)^{2}+6(0)-8<0 p(2)=5\cdot(2)^{2}+6(2)-8>0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

Intervalo cerrado hacia infinito

Por tanto, la solución es:

S=(-\infty,-2]\cup[4/5,+\infty).

64x^{2}-1\geq0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

    $$4x^{2}-1=0$$

    $$4x^{2}=1$$

    $$x=\pm\sqrt{\cfrac{1}{4}}=\pm\cfrac{1}{2}.$$

Tenemos dos valores para x. x=\cfrac{1}{2} y x=-\cfrac{1}{2}.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

intervalo centrado en cero cerrado

p(-1)=4\cdot(-1)^{2}-1>0

p(0)=4\cdot(0)^{2}-1<0 p(1)=4\cdot(1)^{2}-1>0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

complemento cerrado de una intervalo

Por tanto, la solución es:

S=(-\infty,-1/2]\cup[1/2,+\infty)

7x^{2}<-1+2x

Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos:

x^{2}-2x+1<0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

    $$x^{2}-2x+1=0$$

    $$x=\cfrac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2}=\cfrac{2\pm\sqrt{4-4}}{2}$$

    $$=\cfrac{2\pm\sqrt{0}}{2}=\cfrac{2\pm0}{2}=1$$

En este caso tenemos una raíz doble, entonces:

    $$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$$

Como un número elevado al caudrado siempre es mayor o igual que cero, la inecuación no tiene solución. Así

    $$S=\emptyset$$

8x^{2}+x\leq6

Pasando todos los términos al primer miembro de la inecuación obtenemos: x^{2}+x-6\leq0

Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

    $$x^{2}+x-6=0$$

    $$x=\cfrac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)}}{2}=\cfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}$$

    $$=\cfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}.$$

Tenemos dos valores para x. x=\cfrac{4}{2}=2 y x=-\cfrac{-6}{2}=-3.

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo obtenido y evaluamos el signo en cada uno de estos intervalos:

segmento entre dos puntos

p(-4)=(-4)^{2}+(-4)-6>0

p(0)=(0)^{2}+(0)-6<0 p(3)=(3)^{2}+(3)-6>0

La solución está compuesta por el intervalo o los intervalos que tengan el mismo signo que el polinomio.

segmento que une dos puntos en la recta real

Por tanto, la solución es:

S=[-3,2].

9\cfrac{3x+7}{x+5}\geq5

Pasamos el 5 al primer miembro, pasamos a común denominador la expresión resultante y efectuamos las operaciones:

    $$\cfrac{3x+7}{x+5}-5\geq0$$

    $$\cfrac{3x+7-5(x+5)}{x+5}\geq0$$

    $$\cfrac{3x+7-5x+25}{x+5}\geq0$$

    $$\cfrac{-2x-18}{x+5}\geq0$$

Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

    $$-2x-18=0\Rightarrow x=\cfrac{18}{-2}=-9$$

    $$x+5=0\Rightarrow x=-5$$

Escogemos un punto de los tres intervalos que determinan las raíces del numerador y el denominador que son (-\infty, -9), (-9, -5) y (-5, +\infty) y evaluamos el signo:

    $$(-\infty, -9)\Rightarrow x=10\Rightarrow\cfrac{-2(-10)-18}{-10+5}=\cfrac{2}{-5}<0$$

    $$(-9,-5)\Rightarrow x=-7\Rightarrow\cfrac{-2(-7)-18}{-7+5}=\cfrac{-4}{-2}=2>0$$

    $$(-5,+\infty)\Rightarrow x=0\Rightarrow\cfrac{-2(0)-18}{0+5}=\cfrac{-18}{5}<0$$

segmento semi abierto

Como tenemos un mayor o igual en la inecuación original tendremos que tener en cuenta las raíces del numerador a la hora de dar la solución, es decir, el −9 forma parte de la solución final. Hay que tener cuidado de excluir siempre las raíces del denominador, es decir, el −5 no forma parte de la solución final.

intervalo semi abiert

    $$S=[-9,-5).$$

10\cfrac{4x-12}{x^{2}-5x+6}<1

Pasamos el 1 al primer miembro, pasamos a común denominador la expresión resultante y efectuamos las operaciones:

    $$\cfrac{4x-12}{x^{2}-5x+6}-1<0$$

    $$\cfrac{4x-12-(x^{2}-5x+6)}{x^{2}-5x+6}<0$$

    $$\cfrac{4x-12-x^{2}+5x-6}{x^{2}-5x+6}<0$$

    $$\cfrac{-x^{2}+9x-18}{x^{2}-5x+6}<0$$

Hallamos las raíces del numerador y del denominador:

Numerador:

    $$-x^{2}+9x-18=0$$

    $$x^{2}-9x+18=0$$

    $$x=\cfrac{9\pm\sqrt{(-9)^{2}-4\cdot1\cdot 18}}{2}=\cfrac{9\pm\sqrt{81-72}}{2}=$$

    $$=\cfrac{9\pm\sqrt{9}}{2}=\cfrac{9\pm 3}{2}.$$

Tenemos dos valores para x. x=\cfrac{9+3}{2}=6 y x=\cfrac{9-3}{2}=3.

Denominador:

    $$x^{2}-5x+6=0$$

    $$x=\cfrac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot 6}}{2}=\cfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=$$

    $$=\cfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\cfrac{5\pm 1}{2}.$$

Tenemos dos valores para x. x=\cfrac{5+1}{2}=3 y x=\cfrac{5-1}{2}=2.

Escogemos un punto de los cuatro intervalos que determinan las raíces del numerador y el denominador que son (-\infty, 2), (2, 3), (3, 6) y (6, +\infty) y evaluamos el signo:

    $$-\cfrac{(x-3)(x-6)}{(x-3)(x-2)}<0$$

    $$(-\infty, 2)\Rightarrow x=0\Rightarrow-\cfrac{(-)(-)}{(-)(-)}<0$$

    $$(2,3)\Rightarrow x=2.5\Rightarrow-\cfrac{(-)(-)}{(-)(+)}>0$$

    $$(3,6)\Rightarrow x=5\Rightarrow-\cfrac{(+)(-)}{(+)(+)}>0$$

    $$(6,+\infty)\Rightarrow x=7\Rightarrow-\cfrac{(+)(+)}{(+)(+)}<0$$

union de intervalos abiertos

Como tenemos un menor en la inecuación original no tendremos en cuenta las raíces del numerador.

complemento de una union de intervalos

    $$S=(-\infty,2)\cup(6,+\infty).$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗