Recordemos que una inecuación es una desigualdad algebraica, es decir, es una expresión algebraica separada por el signo < (menor que), > (mayor que),  \leq (menor o igual que) o  \geq (mayor o igual que). En este caso analizaremos las inecuaciones cuadráticas o de segundo grado de la forma ax^2+bx+c>0; con a, b, y c números reales y  a\neq 0.

 

Procedimiento para la resolución de una inecuación cuadrática

 

Procederemos a resolver la ecuación cuadrática x^2-6x+8>0 considerando la siguiente serie de pasos.

 

1Igualar el primer miembro a cero y calcular las raíces de la ecuación cuadrática asociada

 

 x^2-6x+8=0

 

En este caso, el método más inmediato es el de factorización:

 

 0=x^2 -6x+8=(x-4)(x-2)

 

     \begin{align*} x-4&=0\qquad &x-2=0 \\ x_1 &= 4 &x_2=2 \end{align*}

 

Nota: Este primer paso, el obtener las raíces de la ecuación cuadrática asociada, también se le conoce como obtener los valores críticos de la inecuación.

 

2Representar estos valores en la recta real

 

La recta real queda dividida en tres intervalos a partir de los valores x_1 y x_2 :  (-\infty, 2), (2, 4) y (4, \infty). Se toma un punto de cada intervalo y se evalúa en la inecuación cuadrática para conocer el signo de cada intervalo. Por ejemplo, la triada de valores  0, 3, 5.

 

intervalo abierto

 

     \begin{align*} P(0)&=0^2-6(0)+8=8>0\\ P(3)&=3^2-6(3)+8=9-18+8=-1<0\\ P(5)&=5^2-6(5)+8=25-30+8=3>0 \end{align*}

 

Nota: En caso de que la inecuación estuviera representada por los signos menor o igual que, o bien, mayor o igual que, los intervalos de los extremos deberían ser  (-\infty, 2], [2, 4] y [4, \infty); es decir, deberán incluir a los extremos de los intervalos, convirtiéndose en intervalos cerrados o semi cerrados.

 

3Análisis del signo de los valores y de la expresión cuadrática

 

La solución está compuesta por aquellos intervalos que tengan el mismo signo que la expresión cuadrática. En este caso, la expresión es positiva porque se lee en la inecuación "la expresión algebraica es mayor que cero"; es decir, se usó el signo mayor que:  \geq .

 

intervalo

 

Por tanto, la solución de la inecuación cuadrática es el conjunto de intervalos  S=(-\infty,2) \cup (4, \infty).

 

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Casos espaciales en la resolución de inecuaciones cuadráticas

 

Una inecuación formada por un binomio al cuadrado

 

A continuación se analizará la inecuación  x^2+2x +1 \geq 0. Aplicando el método de factorización:

 

 0 \leq x^2 +2x+1=(x+1)(x+1)\quad \Longrightarrow \quad (x+1)^2 \geq 0.

 

Como cualquier número real elevado al cuadrado siempre es positivo, siempre que una inecuación positiva y asociada al signo  \geq corresponda a un binomio al cuadrado, su solución será toda la recta real:  \mathbb{R} .

En caso de que la inecuación esté relacionada con otros signos de desigualdad, las soluciones se siguen de la siguiente tabla:

 

 \begin{tabular}{| c | c | c |} \hline \textup{Inecuaci\'on}& \textup{Factorizaci\'on}& \textup{Soluci\'on}\\ \hline $x^2+2x+1\geq 0$ & $(x+1)^2\geq 0$ & $\mathbb{R}$\\ \hline $x^2+2x+1> 0$ & $(x+1)^2>0$ & $\mathbb{R}- \left \{ -1 \right \}$\\ \hline $x^2+2x+1\leq 0$ & $(x+1)^2\leq 0$ & $x= -1 $\\ \hline $x^2+2x+1< 0$ & $(x+1)^2< 0$ & $\varnothing $\\ \hline \end{tabular}

 

Una inecuación sin puntos críticos

 

Se analizará la inecuación x^2+x+1>0, cuya ecuación cuadrática asociada es x^2+x+1=0.

 

Una manera de conocer cuántas soluciones tiene una ecuación cuadrática es calculando el discriminante b^2-4ac. Si este valor es positivo la ecuación tendrá dos raíces, si es cero tendrá sólo una raíz y si es negativo, no tendrá solución. Así:

 

 1^2-4(1)(1)=-4<0.

 

Entonces la inecuación no tiene puntos críticos y, por tanto, la recta numérica no se divide. Debido a esto, la inecuación puede tener como solución a todos los números reales o ninguna solución; si el signo del término cuadrático no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

 

 \begin{tabular}{| c | c | } \hline \textup{Inecuaci\'on}& \textup{Soluci\'on}\\ \hline $x^2+x+1\geq 0$ & $\mathbb{R}$\\ \hline $x^2+x+1> 0$& $\mathbb{R}$\\ \hline $x^2+x+1\leq 0$ & $\varnothing$\\ \hline $x^2+x+1< 0$ & $\varnothing $\\ \hline \end{tabular}

 

Ejercicios de inecuaciones cuadráticas

17x^2+21x-28<0

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7x^2+21x-28<0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

0=7(x^2+3x-4)=7(x+4)(x-1)

 

 x_1=-4\qquad x_2=1

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x_1=-4 y x_2=1, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-4), (-4,1) y  (1, \infty).

 

Tomando los valores -6, 0 y  3,

 

     \begin{align*} P(-6)&=7(-6+4)(-6-1)=98>0\\ P(0)&=7(4)(-1)=-28<0\\ P(3)&=7(3+4)(3-1)=98>0 \end{align*}

 

intervalo 1

 

Como la expresión cuadrática es negativa, la solución es el intervalo S=(-4,1).

 

2-x^2+4x-7<0

-x^2+4x-7<0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

Como no puede factorizarse como el producto de dos binomios, se calcula el valor del discriminante:

 

 (-4)^2-4(-1)(-7)=16-28=-12<0.

 

Como el discriminante es negativo, la inecuación o no tiene soluciones o son todos los números reales. Ya que el signo del término cuadrático coincide con el de la desigualdad (negativo-menor que), la solución de la inecuación son todos los números reales S= \mathbb{R}.

 

34x^2-16\geq 0

4x^2-16\geq 0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

0=4(x^2-4)=4(x-2)(x+2)

 

 x_1=2\qquad x_2=-2

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x_1=2 y x_2=-2, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-2], [-2,2] y  [2, \infty).

 

Tomando los valores -3, 0 y  3,

 

     \begin{align*} P(-3)&=4(-3+2)(-3-2)=20>0\\ P(0)&=4(2)(-2)=-16<0\\ P(3)&=4(3+2)(3-2)=20>0 \end{align*}

 

intervalo cerrado

 

Ya que la expresión cuadrática es positiva, la solución de la inecuación es la unión de dos intervalos: S(-\infty, -2]\cup [2,\infty).

 

44x^2-4x+1 \leq0

4x^2-4x+1 \leq0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

0 \geq 4\left (x^2-x+\dfrac{1}{4}\right ) = 4\left(x^2+2\left (- \dfrac{1}{2}x\right ) + \left(- \dfrac{1}{2} \right)^2 \right) =4\left ( x-\dfrac{1}{2} \right)^2

 

Como el binomio al cuadrado es negativo y el signo es menor o igual que, la inecuación tiene una única solución: x=\frac{1}{2}.

 

5x^4+12x^3-64x^2 \geq 0

x^4+12x^3-64x^2 \geq 0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

0\leq x^2 (x^2+12x -64)=x^2(x-4)(x+16)

 

Como el factor x^2 siempre es mayor a cero si x\neq 0, únicamente se consideran los binomios para calcular los valores críticos. Así

 

 x_1=4\qquad x_2=-16

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x_1=4 y x_2=-16, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-16], [-16,4] y  [4, \infty).

 

Tomando los valores -20, -10 y  5,

 

     \begin{align*} P(-20)&=(-20)^2(-20-4)(-20+16)=400(-24)(-4)>0 \\ P(-10)&=(-10)^2(-10-4)(-10+16)=100(-14)(6)<0\\ P(5)&=5^2(5-4)(-5+16)=25(11)>0 \end{align*}

 

intervalo cerrado

 

Como la expresión cuadrática es positiva, la solución es la unión de los intervalos S=(-\infty,-16]\cup [4, \infty).

 

6x^4-25x^2+144< 0

x^4-25x^2+144< 0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

0 = (x^2)^2-25(x^2)+144=(x^2-16)(x^2-9)

 

     \begin{align*} x^2-16&=0\qquad \qquad &x^2-9=0\quad \ \ \ \\ (x+4)(x-4)&=0 \qquad &(x+3)(x-3)=0\quad \ \ \ \\ x_1=4&\quad x_2=-4 &x_3 =3 \quad x_4=-3 \end{align*}

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x_1=4, x_2=-4, x_3=3 y x_4=-3, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-4),(-4,-3),(-3,3), (3,4) y  (4, \infty).

 

Tomando los valores -5, -3.5, 0, 3.5 y  5,

 

     \begin{align*} P(-5)&=(-1)(-9)(-2)(-8)>0 \\ P(-3.5)&=(0.5)(-7.5)(-0.5)(-6.5)<0 \\ P(0)&=(4)(-4)(3)(-3)>0 \\ P(3.5)&=(-0.5)(7.5)(0.5)(6.5)<0 \\ P(5)&=(1)(9)(2)(8)>0 \\ \end{align*}

 

intervalo 2

 

Como la expresión cuadrática es negativa, la solución es la unión de los intervalos S=(-4,-3)\cup (3,4).

 

7x^4-16x^2-225 \geq 0

x^4-16x^2-225\geq 0

 

1 Obtener los valores críticos de la inecuación

 

0 = (x^2)^2-16(x^2)-225=(x^2-25)(x^2+9)=(x-5)(x+5)(x^2+9)

 

Como el binomio x^2 +9 siempre es mayor a cero para cualquer valor de x, únicamente se consideran los binomios lineales para calcular los valores críticos. Así

 

 x_1=-5&\qquad x_2=5

 

2 Representar los valores críticos en la recta numérica

 

Como las raíces son x_1=-5 y x_2=5, la recta real se divide en los intervalos (-\infty,-5],[-5, 5] y  [5, \infty).

 

Tomando los valores -10, 0 y  10,

 

     \begin{align*} P(-10)&=(-10-5)(-10+5)((-10)^2+9)=(-15)(-5)(109)\geq 0\\ P(0)&=(-5)(5)(9)\leq 0\\ P(10)&=(10-5)(10+5)(10^2+9)=(15)(5)(109)\geq 0\\ \end{align*}

 

intervalo cerrado 2

 

Como la expresión cuadrática es positiva o cero, la solución es la unión de los intervalos  (-\infty,-5]\cup [5, \infty).

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗