¿Qué son las ecuaciones exponenciales?

 

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la variable se encuentra en el exponente de un número.

Por ejemplo:

a^{x-1}=b

 

Siendo a y b constantes

 

Para resolver las ecuaciones exponenciales, en general, nos encontraremos con dos casos: ecuaciones cuyos miembros puedan expresarse en una sola base y ecuaciones cuyos miembros NO puedan expresarse en una sola base. Aunque hay ecuaciones exponenciales en las que debemos emplear algún artilugio matemático para resolverlas.

 

Ecuaciones cuyos miembros pueden expresarse en una sola base

Para resolver este tipo de ecuaciones expresaremos los dos miembros de la ecuación en función de la misma base y luego igualamos los exponentes. Finalmente, resolvemos la ecuación que se obtenga al igualar los exponentes

 

Ecuaciones cuyos miembros NO pueden expresarse en una sola base

Para resolver estás ecuaciones, emplearemos logaritmos y sus propiedades para que la incógnita no quede en la potencia y posteriormente resolveremos la ecuación resultante

 

Otros tipos de ecuaciones exponenciales

Existen ecuaciones exponenciales en las que debemos emplear algunos artilugios matemáticos para poder despejar la variable

 

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Vamos

Ejercicios de ecuaciones exponenciales cuyos miembros pueden expresarse en una sola base

 

 

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

 

1   2^{2x+1}=4

 

2^{2x+1}=4

 

1 Ya que el número 4 puede escribirse como 2^{2}, podemos reescribir la ecuación como:

 

2^{2x+1}=2^{2}

 

2 Ya que tenemos base 2 en ambos miembros de la ecuación, podemos igualar las potencias

 

2x+1=2

 

3 Resolvemos la ecuación de primer grado que resultó

 

2x=2-1

2x=1

x=cfrac{1}{2}

 

2 sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=sqrt{27}

 

sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=sqrt{27}

1 Transformamos las raíces en potencias de exponente fraccionario e igualamos los exponentes

 

3^{frac{x-3}{2x-1}}=3^{frac{3}{2}}

cfrac{x-3}{2x-1}=cfrac{3}{2}

 

2 Resolvemos la ecuación resultante

 

2left ( x-3 right )=3left ( 2x-1 right )

2x-6=6x-3

-4x=3

x=-cfrac{3}{4}

3 2^{1-x^{2}}=cfrac{1}{8}

 

2^{1-x^{2}}=cfrac{1}{8}

 

1 Reescribimos el cfrac{1}{8} como 2^{-3} e igualamos los exponentes

2^{1-x^{2}}=2^{-3}

1-x^{2}=-3

 

2 Resolvemos la ecuación resultante

 

x^{2}=4

x=pm 2

4 sqrt[3]{8^{x}}=65536

 

sqrt[3]{8^{x}}=65536

1 Reescribimos la raíz en forma de potencia de exponente fraccionario y  el 65536 se descompone en factores

left (2^{3} right )^{frac{x}{3}}=2^{16}

2^{x}=2^{16}

x=16

5 4^{x^{2}-6x}=16384

 

4^{x^{2}-6x}=16384

 

1 Descomponemos en factores al  4 y al 16384 e igualamos los exponentes

 

left (2^{2} right )^{x^{2}-6x}=2^{14}

2^{2x^{2}-12x}=2^{14}

2x^{2}-12x=14

 

2 La ecuación resultante se puede simplificar y posteriormente se resuelve

 

x^{2}-6x-7=0

(x-7)(x+1)=0

x_{1}=7          x_{2}=-1

6 4^{sqrt{x+1}}-2^{sqrt{x+1}+2}=0

 

4^{sqrt{x+1}}-2^{sqrt{x+1}+2}=0

1 Pasamos a la derecha al segundo término, descomponemos en factores al 4 e igualamos los exponentes

2^{2sqrt{x+1}}=2^{sqrt{x+1}+2}

2sqrt{x+1}=sqrt{x+1}+2

 

2 Resolvemos la ecuación irracional que obtuvimos

x=3

 

Ejercicios de ecuaciones exponenciales cuyos miembros NO pueden expresarse en una sola base

 

1 3^{x^{2}-1}=134

 

3^{x^{2}-1}=134

 

1 Como tenemos base distintas, aplicamos logaritmos en los dos miembros

 

logleft (3^{x^{2}-1} right )=logleft (134 right )

 

2 Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer miembro

 

left ( x^{2}-1 right )logleft (3 right )=logleft (134 right )

 

3 Pasamos log(3) al otro miembro y resolvemos la ecuación

 

x^{2}-1=cfrac{log(134)}{log(3)}=4,4582

 

x^{2}=5,4582

x=pm 2,336

2 2^{2x}cdot 2=3^{x}cdot 3^{5}

 

2^{2x}cdot 2=3^{x}cdot 3^{5}

 

1 Podemos reescribir la ecuación como

 

4^{x}cdot 2=3^{x}cdot 243

 

2 Pasamos 3^{x} al primer miembro y 2 al segundo miembro

 

cfrac{4^{x}}{3^{x}}=cfrac{243}{2}

 

left (cfrac{4}{3} right )^{x}=121,5

 

3 Aplicamos logaritmo a los dos miembros

 

logleft (cfrac{4}{3} right )^{x}=logleft (121,5 right )

 

4 Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia en el primer miembro y resolvemos la ecuación resultante

 

xcdot logleft (cfrac{4}{3} right )=logleft (121,5 right )

 

x=cfrac{log(121,5)}{logleft ( cfrac{4}{3} right )}

 

x=16,685

3 3^{x}cdot 5^{2x}=150

 

3^{x}cdot 5^{2x}=150

1 Aplicamos logaritmo en los dos miembros y aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto en el primer miembro

 

logleft (3^{x}cdot 5^{2x} right )=logleft (150 right )

logleft ( 3 right )^{x}+logleft ( 5 right )^{2x}=logleft (150 right )

 

2 Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia y sacamos factor común x

 

xcdot log(3)+2xcdot log(5)=log(150)

xcdot left [log(3)+2log(5) right ]=log(150)

 

3 Despejamos la incógnita y resolvemos las operaciones con los logaritmos

 

x=cfrac{log(150)}{log(3)+2log(5)}

 

x=1.16

 

 

 

Ejercicios de ecuaciones exponenciales mediante artilugios matemáticos

 

1 2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28

 

2^{x+1}+2^{x}+2^{x-1}=28

1 Aplicamos la propiedad de la potencia del producto y del cociente, para quitar la suma o la resta de los exponentes

2^{x}cdot 2+2^{x}+cfrac{2^{x}}{2}=28

 

2 Extraemos 2^{x} como factor común

 

2^{x}cdot left ( 2+1+cfrac{1}{2} right )=28

 

3 Despejamos 2^{x} y expresamos ambos miembros con base 2

 

2^{x}cdot cfrac{7}{2}=28

2^{x}=8

2^{x}=2^{3}

 

4 Igualamos los exponentes

x=3

 

2 3^{1-x}-3^{x}=2

 

3^{1-x}-3^{x}=2

 

1 Aplicamos la propiedad de la potencia del cociente, para quitar la resta del exponente

 

cfrac{3}{3^{x}}-3^{x}=2

 

2 Realizamos un cambio de variable y sustituimos en la ecuación

 

t=3^{x}

cfrac{3}{t}-t=2

 

3 Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por t y pasando todos los términos al primer miembro obtenemos

 

t^{2}+2t-3=0

 

4 Al resolver la ecuación cuadrática obtendríamos

 

t_{1}=1          t_{2}=-3

 

5 Sustituimos los valores de t en t=3^{x}

3^{x}=1   ... (1)

3^{x}=-3  ... (2)

 

6 La ecuación (2) no tiene solución, ya que una potencia con base positiva no puede dar un número negativo, así que resolvemos únicamente la ecuación (1)

x=0

3 2-3^{-x}+3^{x+1}=0

 

2-3^{-x}+3^{x+1}=0

 

1 Aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes

 

2-cfrac{1}{3^{x}}+3cdot 3^{x}=0

 

2 Realizamos el cambio de variable t=3^{x} y lo sustituimos en la ecuación

 

2-cfrac{1}{t}+3t=0

 

3 Multiplicamos ambos miembros por t y resolvemos la ecuación resultante

 

3t^{2}+2t-1=0

t_{1}=-1   Rightarrow    3^{x}=-1     No tiene solución

t_{2}=cfrac{1}{3}   Rightarrow    3^{x}=cfrac{1}{3}

x=-1

 

4 4^{x-1}+2^{x+2}=48

 

 

4^{x-1}+2^{x+2}=48

 

1 Descomponemos 4 en factores, aplicamos las propiedades del producto y del cociente de potencias para quitar las sumas y restas de los exponentes

 

2^{2x-2}+2^{x+2}=48

cfrac{2^{2x}}{4}+4cdot 2^{x}-48=0

 

2 Realizamos el cambio de variable t=2^{x} y resolvemos la ecuación resultante

 

cfrac{t^{2}}{4}+4t-48=0

t^{2}+16t-192=0

t_{1}=8          t_{2}=-24

 

3 Volvemos a la variable original y verificamos si las soluciones son válidas

 

2^{x}=-24     No tiene solución

2^{x}=8    Rightarrow    x=3

5 4^{3x}=8^{x}+3

 

 

4^{3x}=8^{x}+3

 

1 Descomponemos en factores al 4 y al 8

 

left ( 2^{2} right )^{3x}=2^{3x}+3

 

2 Realizamos el cambio de variable t=2^{3x} y resolvemos la ecuación resultante

 

t^{2}=t-3

t^{2}-t-3=0

t=cfrac{1pm sqrt{13}}{2}

 

3 Deshacemos el cambio de variable solo con la solución positiva.

 

2^{3x}=cfrac{1pm sqrt{13}}{2}

 

4 Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad de la potencia

 

logleft (2^{3x} right )=logleft (cfrac{1pm sqrt{13}}{2} right )

3xcdot logleft (2 right )=logleft (cfrac{1pm sqrt{13}}{2} right )

 

5 Despejamos la variable x

 

x=cfrac{logleft ( cfrac{1+sqrt{13}}{2} right )}{3cdot logleft ( 2 right )}

 

x=0.411

 

6 Para la solución negativa de la ecuación cuadrática no obtendriamos solución para nuestra ecuación exponencial ya que al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

 

2^{3x}=cfrac{1-sqrt{13}}{2}     No tiene solución

 

6 e^{x}-5e^{-x}+4e^{-3x}=0

 

e^{x}-5e^{-x}+4e^{-3x}=0

 

1 Quitamos exponentes negativos haciendo el inverso

 

e^{x}-cfrac{5}{e^{x}}+frac{4}{e^{3x}}=0

 

2 Quitamos denominadores multiplicando por e^{-3x}

 

e^{4x}-5e^{2x}+4=0

 

3 Realizamos el cambio de variable t=e^{2x} y resolvemos la ecuación resultante

 

t^{2}-5t+4=0

t_{1}=1          t_{2}=4

 

4 Regresamos a la variable original y resolvemos para x

 

e^{2x}=1          Rightarrow          x_{1}=0

e^{2x}=4    Rightarrow    lnleft ( e^{2x} right )=lnleft ( 4 right )    Rightarrow    x_{2}=cfrac{ln(4)}{2}

7 2^{4x}-2^{2x}-12=0

 

 

2^{4x}-2^{2x}-12=0

 

1 Realizamos el cambio de variable 2^{2x}=t

 

t^{2}-t-12=0

 

2 Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable

 

t_{1}=4          Rightarrow          x=1

t_{2}=-3         Rightarrow          2^{2x}=-3     No tiene solución

 

8 1+2+4+8+...+2^{x}=1023

 

1+2+4+8+...+2^{x}=1023

1 Aplicamos la fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica

 

cfrac{2^{x}cdot 2-1}{2-1}=1023

 

2 Despejamos 2^{x}

 

2^{x}=512

 

3 Reescribimos el 512 como 2^{9} e igualamos las potencias

 

2^{x}=2^{9}

x=9

9 cfrac{1}{8}+cfrac{1}{4}+cfrac{1}{2}+1+...+2^{x}=cfrac{127}{8}

 

 

cfrac{1}{8}+cfrac{1}{4}+cfrac{1}{2}+1+...+2^{x}=cfrac{127}{8}

1 Aplicamos la fórmula de la suma de n términos de una progresión geométrica 

cfrac{2^{x}cdot 2-cfrac{1}{8}}{2-1}=cfrac{127}{8}

 

2 Ponemos los términos con común denominador

 

cfrac{16cdot 2^{x}-1}{8}=cfrac{127}{8}

 

3 Quitamos denominadores y resolvemos la ecuación resultante

 

16cdot 2^{x}-1=127

2^{x}=cfrac{128}{16}

2^{x}=2^{3}

x=3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗