Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales y escoge la opción correcta:

1La ecuación \sqrt{x^2+7}+2=2x tiene ...

1 Aislamos el radical

\sqrt{x^2+7}=2x-2

 

2 Elevamos ambos lados al cuadrado

\begin{array}{rcl}(\sqrt{x^2+7})^2&=&(2x-2)^2\\ x^2+7&=&4x^2-8x+4\end{array}

 

3 Obtenemos la ecuación

3x^2-8x-3=0

 

4 Factorizamos la ecuación

\begin{array}{rcl}3x^2-8x-3&=&0\\ (3x+1)(x-3)&=&0\end{array}

 

5 Obtenemos las raíces x_1=3 \ \ \text{y} \ \ x_2=-1/3

 

6 Sustituimos las raíces en la ecuación original y observamos que x_1=3 si satisface la ecuación, mientras que x_2=-1/3 no la satisface.

 

7 Así, concluimos que \sqrt{x^2+7}+2=2x tiene una solución la cual es x_1=3.

 

2La ecuación \cfrac{6-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\cfrac{1}{2} tiene ...

1 Aislamos el radical

\begin{array}{rcl}\cfrac{6-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}&=&\cfrac{1}{2}\\ 12-2\sqrt{x}&=&x-\sqrt{x}\\ 12-x&=&\sqrt{x}\end{array}

 

2 Elevamos ambos lados al cuadrado

\begin{array}{rcl}(12-x)^2&=&\sqrt{x}^2\\ 144-24x+x^2&=&x\end{array}

 

3 Obtenemos la ecuación

x^2-25x+144=0

 

4 Factorizamos la ecuación

\begin{array}{rcl}x^2-25x+144&=&0\\ (x-9)(x-16)&=&0\end{array}

 

5 Obtenemos las raíces x_1=9 \ \ \text{y} \ \ x_2=16

 

6 Sustituimos las raíces en la ecuación original y observamos que x_1=9 si satisface la ecuación, mientras que x_2=16 no la satisface.

 

7 Así, concluimos que \cfrac{6-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\cfrac{1}{2}x tiene una solución la cual es x_1=9.

 

3La ecuación \sqrt{2\sqrt{x}+\sqrt{x^2+3}}=0 tiene ...

1 En este caso ya tenemos aislado el radical, por lo que elevamos ambos lados al cuadrado y se obtiene

2\sqrt{x}+\sqrt{x^2+3}=0

 

2 Aislamos los radicales

\sqrt{x^2+3}=-2\sqrt{x}

 

3 Elevamos ambos lados al cuadrado

(\sqrt{x^2+3})^2&=&(-2\sqrt{x})^2

 

4 Obtenemos la ecuación

x^2-4x+3=0

 

5 Factorizamos la ecuación

\begin{array}{rcl}x^2-4x+3&=&0\\ (x-1)(x-3)&=&0\end{array}

 

6 Obtenemos las raíces x_1=1 \ \ \text{y} \ \ x_2=3

 

7 Sustituimos las raíces en la ecuación original y observamos que x_1=1 y x_2=3 no satisfacen la ecuación original.

 

8 Así, concluimos que \sqrt{2\sqrt{x}+\sqrt{x^2+3}}=0 no tiene ninguna solución real.

 

4La ecuación \sqrt{4-8x}+x=2 tiene ...

1 Aislamos el radical

\sqrt{4-8x}=2-x

 

2 Elevamos ambos lados al cuadrado

\begin{array}{rcl}(\sqrt{4-8x})^2&=&(2-x)^2\\ 4-8x&=&4-4x+x^2\end{array}

 

3 Obtenemos la ecuación

x^2+4x=0

 

4 Factorizamos la ecuación

\begin{array}{rcl}x^2+4x&=&0\\ x(x+4)&=&0\end{array}

 

5 Obtenemos las raíces x_1=-4 \ \ \text{y} \ \ x_2=0

 

6 Sustituimos las raíces en la ecuación original y observamos que x_1=-4 y x_2=0 si satisfacen la ecuación.

 

7 Así, concluimos que \sqrt{4-8x}+x=2 tiene dos soluciones las cuales son x_1=-4 y x_2=0.

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗