Definición de logaritmos

Seguramente has estudiado ya las potencias y sabes que, por ejemplo:

 

    \[10^{4}=10000\]

 

Pero, supongamos que quieres encontrar una potencia a la cual elevar al número 10 y que el resultado sea 10000000. Eso se puede escribir de la siguiente forma:

 

    \[10^{x}=10000000\]

 

¿Podrías despejar la letra 'x' de dicha ecuación?

 

La ecuación que escribimos es una ecuación exponencial. Para poder despejar la variable 'xrequerimos utilizar un logaritmo. Un logaritmo es una "operación" o "función" que te devuelve la potencia a la que debes elevar una base dada para obtener un resultado deseado. En nuestro ejemplo, la base es 10 y el resultado deseado es 10000000, por lo que podemos escribir que:

 

\log_{10}10000000=X

 

De manera general, podemos expresar la notación logarítmica de la siguiente forma:

 

\log_{a}X=Y

 

donde:

 

es la base

x es el resultado deseado (también conocido como argumento)

y es la potencia a la que se eleva la base a

A continuación, te mostramos algunos ejemplos de expresiones en notación exponencial y notación logarítmica:

 

4^{3} = 64         \Rightarrow        \log_{4}64 = 3

\displaystyle 5^{-2} = \frac{1}{25}       \Rightarrow        \displaystyle\log_{5}\frac{1}{25} = -2

\displaystyle 36^{\frac{1}{2}} = 6        \Rightarrow        \displaystyle \log_{36}6 = \frac{1}{2}}

 

 
Cabe destacar que las bases más utilizadas en los logaritmos son 10 y e (Número de Euler, e = 2,718281828459...)

Cuando usamos base 10  no es necesario escribir la base del logaritmo:

 

\log_{10}A=\log A

 

Al logaritmo con base e se le conoce como logaritmo neperiano (o logaritmo natural) y se representa así:

 

\log_{e}X = \ln X

 

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Propiedades de los logaritmos

 

1 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

 

\log(A\cdot B) = \log A + \log B

 

2 El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor

 

\displaystyle\log(\frac{A}{B}) = \log A - \log B

 

3 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

 

\log A^{n} = n\cdot \log A

 

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz

 

\displaystyle \log\sqrt[n]{A} = \frac{\log A}{n} = \frac{1}{n}\cdot \log A

 

De las propiedades 3 y 4 podemos deducir que:

 

\displaystyle \log\sqrt[n]{A^{m}} = \frac{m\cdot \log A}{n} = \frac{m}{n}\cdot \log A

 

5 El logaritmo base 'a' de 'a' es '1'

\log_{a}a = 1

 

6 El logaritmo de 1 es 0 (Sin importar la base del logaritmo)

 

\log 1=0

 

Por lo tanto:

\log 10=1

\ln e=1

 

7 El argumento de un logaritmo siempre debe ser mayor que cero

 

Para      \log X=Y      se cumple que      X> 0

 

Uso de las propiedades de los logaritmos

 

Cambios de base

 

Para escribir un logaritmo de base 'b' en una expresión equivalente con logaritmo de base 'a' podemos realizar lo siguiente:

Sea

\log _{b}N =x

 

Podemos reescribir la expresión en su notación exponencial como:

 

b^{x} = N

 

Aplicando   \log _{a}   en ambos lados de la igualdad:

 

\log _{a}b^{x} = \log _{a}N

 

Aplicando la propiedad 3 y despejando a 'x' obtenemos:

 

x\cdot \log _{a}b=\log _{a}N

\displaystyle x=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

 

Por lo que:

\displaystyle \log _{b}N=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

 

Ejemplo: Reescribe el \log _{4}64 en \log _{2}

 

Aplicando:    \displaystyle \log _{b}N=\frac{\log _{a}N}{\log _{a}b}

\displaystyle \log _{4}64=\frac{log_{2}64}{\log _{2}4}

 

Resolver una expresión con operaciones combinadas aplicando las propiedades de los logaritmos

 

 

Ejemplo: Resuelve la operación \displaystyle \frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}} aplicando las propiedades de los logaritmos.

Igualemos a 'x' la expresión que queremos resolver:

 

\displaystyle x=\frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}

 

Como todos los números son potencias de 2, podemos aplicar \log _{2} en ambos lados:

 

\displaystyle \log _{2}x=\log _{2}\frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos del lado derecho obtenemos:

 

\log _{2}x=\log _{2}64+\log _{2}8+\log _{2}128-\log _{2}16^{4}

\log _{2}x=\log _{2}64+\log _{2}8+\log _{2}128-4\cdot \log _{2}16

 

Resolviendo los logaritmos:

\log _{2}x=6+3+7-4\cdot 4

\log _{2}x=16-16

\log _{2}x=0

 

Reescribiendo en notación exponencial:

x=2^{0}

x=1

 

Por lo que:

\displaystyle \frac{64\cdot 8\cdot 128}{16^{4}}=1

 

 

Escribir una expresión que contiene operaciones con logaritmos como una expresión que contenga un sólo logaritmo

 

 

Ejemplo: Escribe la siguiente operación con logaritmos como una expresión con un solo logaritmo

 

\log 9+4\cdot \log 27-\log 81

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

 

\log 9+4\cdot \log 27-\log 81

=\log 9+\log 27^{4}-\log 81

=\log (9\cdot 27^{4})-\log 81

\displaystyle =\log \frac{9\cdot 27^{4}}{81}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Flores
Flores
Guest
13 Jun.

Hola, el primer ejercicio a mí me da incorrecto, ¿alguien sabe que hice mal? Me da Syntax Error. Por favor necesito ayuda

Huergo
Huergo
Guest
28 Mar.

Me agradaron los diversos ejercicios, los que me resultaron fácilmente entendibles. Debo aclarar que me jubilé como profesor de materias técnicas, los cuales representan muchos años, en que me alejé de la matemática pura. No voy a negar que siempre fui buen estudiante, en las ciencias exactas. A mí como repaso los temas aquí desarrollados, me han resultado magníficos, para volverlos a reflotar, luego de muchos años en que me he alejado de estos.

Superprof
Superprof
Admin
30 Mar.

Muchas gracias por su mensaje, nos alegramos mucho de leer que nuestro trabajo diario sirve para aclarar los temas a veces difíciles de las matemáticas. Y sobre todo, ¡qué alegría contarle a usted como usuario de nuestra plataforma! Un saludo de todo el equipo de Superprof.