Elige la opción correcta:

1Si x=5 es raiz del polinomio P(x) entonces...

Recordemos el Teorema del Factor:

Un polinomio P(x) tiene un factor (x-k) si y solo si P(k)=0 donde P(x) es un polinomio de grado n\geq 1 y k es cualquier número real.

Por lo tanto si x=5 es raiz del polinomio P(x), significa que P(5)=0 y que P(x) es divisible por (x-5). Esto nos dice que la respuesta correcta es

    $$P(5)=0.$$

2Hallar las raíces de un polinomio consiste en...

Recordemos el Teorema del Factor:

Un polinomio P(x) tiene un factor (x-k) si y solo si P(k)=0 donde P(x) es un polinomio de grado n\geq 1 y k es cualquier número real.

Es decir, encontrar las raíces k de un polinomio significa que P(k)=0 y que P(x) tiene un factor (x-k). Por lo tanto la respuesta correcta es

    $$\text{buscar los números } x=a\text{ tales que }P(x)\text{ es divisible por }(x-a)}.$$

3Dado un polinomio del tipo P(x)=x^{5}+kx^{3}-2x+c, podemos afirmar que...

Sea a una raíz de P(x) =x^{5}+kx^{3}-2x+c. Entonces tenemos que

    $$P(a) =a^{5}+ka^{3}-2a+c=0,$$

de esta ecuación podemos concluir que

    $$a^{5}+ka^{3}-2a+c=0\Leftrightarrow c=-(a^{5}+ka^{3}-2a)\Leftrightarrow c=a(-a^{5}-ka^{3}+2a).$$

Lo cual implica que todas las raíces de P(x) dividen a c.

4Dado un polinomio del tipo P(x)=ax^3+bx^{2}+cx, podemos afirmar que...

En cada uno de los sumandos del polinomio P(x)=ax^3+bx^{2}+cx aparece la variable x. Entonces al evaluar el polinomio en x=0, tenemos que

    $$P(0)=a(0)^3+b(0)^{2}+c(0)=0.$$

Así que el valor x=0 es una raíz del polinomio.

5Un polinomio primo es aquel que...

La solución a este problema es muy sencilla, solo debemos recordar la definición de polinomio primo.

Un polinomio que no pueden ser factorizado en polinomios de grado menor, es llamado un polinomio irreducible o primo.

Así que la respuesta correcta es que dicho polinomio primo no puede descomponerse en factores.

6El grado del polinomio que tiene por factorización (x-4) (x-5)^{2} (x^{2}+1) es...

Recordemos que el grado de un polinomio es el mayor exponente que puede aparecer en la variable. En el caso de un polinomio escrito a través de sus factores tenemos que el grado total del polinomio es la suma de los grados de sus factores. Dado que

    $${\rm grado}(x-4)=1,\quad {\rm grado}(x-5)^{2}=2,\quad {\rm grado}(x^{2}+1)=2.$$

Podemos concluir que el grado de nuestro polinomio es 5,

    $${\rm grado}(x-4)(x-5)^{2}(x^{2}+1)=1+2+2=5.$$

7Un ejemplo de polinomio que admite el cero como factor es...

De nuevo recordemos el Teorema del Factor:

Un polinomio P(x) tiene un factor (x-k) si y solo si P(k)=0 donde P(x) es un polinomio de grado n\geq 1 y k es cualquier número real.

A la luz de este teorema debemos buscar un polinomio que tenga un factor igual a (x-0)=x. Por lo tanto el polinomio

    $$(x + 4) x (x - 2)(x^{3} - 1),$$

nos da la respuesta correcta.

8De los siguientes polinomios aquel que tiene por raíces -4, 4, -5 es...

A la luz del teorema del factor debemos buscar un polinomio que tenga como factores a (x-(-4))=x+4, (x-4) y (x-(-5))=x+5. Ahora al analizar las opciones tenemos que

    $$(x^{2}-4)(x-5)=(x-2)(x+2)(x-5),$$

    $$7(x^{2}-4)(x+5)=7(x-2)(x+2)(x+5),$$

    $$10(x^{2}-16)(x+5)=(x-4)(x+4)(x+5).$$

El ultimo polinomio 10(x^{2}-16)(x+5) nos da la respuesta correcta.

Escoge la opción correcta:

9A(x) = x^{2} - 3x + 2 tiene...

Debemos evaluar los divisores de 2 en A(x): \pm 1, \pm 2

    $$A(1) = 1^{2} -3\cdot1 + 2 = 1 -3 + 2 = 0,$$

    $$A(−1) = (-1)^{2} - 3\cdot(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \neq 0,$$

    $$A(2) = 2^{2} -3\cdot2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0,$$

    $$A(−2) = (−2)^{2} - 3\cdot(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 \neq 0.$$

A(x) tiene dos raíces simples que son: x_{1}=1 y x_{2}=2.

    $$A(x) = (x - 1)\cdot(x - 2).$$

El cálculo de las raíces también se puede hacer mediante la fórmula de la ecuación de segundo grado.

10P(x) = 2x^{3} - 2x^{2} - 10x -6 tiene...

Hallaremos las raíces del polinomio P(x) = 2x^{3} - 2x^{2} - 10x -6 usando el algoritmo de la división. Veremos que P(x) = 2x^{3} - 2x^{2} - 10x -6 is divisible por x=-1.

    $$P(x) = 2x^{3} - 2x^{2} - 10x -6=2(x^{3} - x^{2} - 5x -3)$$

Ahora aplicamos el algoritmo de la division a x^{3} - x^{2} - 5x -3 y x+1

    $$1\quad -1\quad -5\quad -3$$

    $$\underline{-1\quad \quad -1\quad 2\quad 3}$$

    $$1\quad -2\quad -3\quad 0$$

Al obtener cero como residuo podemos concluir que

    $$(x^{3} - x^{2} - 5x -3)=(x+1)(x^{2}-2x-3),$$

    $$P(x) = 2x^{3} - 2x^{2} - 10x -6=2(x^{3} - x^{2} - 5x -3)=2(x+1)(x^{2}-2x-3).$$

Ahora debemos analizar el polinomio

    $$(x^{2}-2x-3).$$

Por la formula de la ecuación de segundo grado, podemos concluir que

    $$(x^{2}-2x-3)=(x+1)(x-3).$$

Por lo tanto

    $$P(x) = 2x^{3} - 2x^{2} - 10x -6=2(x^{3} - x^{2} - 5x -3)=2(x+1)(x^{2}-2x-3)=.$$

    $$P(x)=2(x+1)(x+1)(x-3).$$

Finalmente podemos decir que el polinomio P(x) tiene tres raíces, una raíz doble en x_{1}=-1 y otra simple en x_{2}=3.

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00 (6 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗