A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.

El determinante de A se denota por |A| o por det (A).

A = Explicaciones y ejemplos de determinantes - 1

Determinante de orden uno

  |a 11| = a 11

  |5| = 5

Determinante de orden dos

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 2 = a 11 a 22 - a 12 a 21

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 3

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 4 =

= a11
a22
a33 +

a12
a23
a 31 +
a13
a21
a32 -

- a 13
a22
a31 -
a12
a21
a 33 -
a11
a23
a32.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 5 =

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

La regla de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 6

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 7

Ejemplo

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 8

Menor complementario de un elemento de un determinante

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

  Explicaciones y ejemplos de determinantes - 9

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es +    si  i+j  es par.

El signo es -    si  i+j  es impar.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 10

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 11  

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 12

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 13
Explicaciones y ejemplos de determinantes - 14
Explicaciones y ejemplos de determinantes - 15
Explicaciones y ejemplos de determinantes - 16

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1.

Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 17

2.

En caso negativo:

1.

Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 18

2.

Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 19

3.

Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 20

4.

Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 21 = 2(-58)

Propiedades de los determinantes

1.

|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 22

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 23

2.

|A|=0
   Si:

Posee dos líneas iguales

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 24

Todos los elementos de una línea son nulos.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 25

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 26

F3 = F1 + F2

3.

Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 27

4.

Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 28

5.

Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 29

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 30

6.

Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 31

7.

Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

Explicaciones y ejemplos de determinantes - 32

8.

|A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.