Ejemplos de programación lineal

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una beneficio máxima?

 1  Elección de las incógnitas.

x = número de pantalones

y = número de chaquetas

 2  Función objetivo

f(x,y)= 50x + 40y

 3  Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y ≤ 1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante.

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos gráficamente la inecuación: x + 1.5y ≤ 750, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

0 + 1.5· 0 ≤ 750

0 ≤ 750 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000.

2 · 0 + 0 ≤ 1 000

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)

2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

 6  Calcular el valor de la función objetivo

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

f(x, y) = 50x + 40y

f(0, 500) = 50 · 0 + 40 · 500 = 20 000 €

f(500, 0) = 50 · 500 + 40 · 0 = 25 000 €

f(375, 250) = 50 · 375 + 40 · 250 = 28 750 €    Máximo

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

La solución no siempre es única, también podemos encontrarnos con una solución múltiple.

Si la función objetivo del ejercicio anterior hubiese sido:

f(x,y)= 20x + 30y

f(0,500) = 20 · 0 + 30 · 500 = 15 000 €       Máximo

f(500, 0) = 20 · 500 + 30 · 0 = 10 000 €

f(375, 250) = 20 · 375 + 30 · 250 = 15 000 €     Máximo

En este caso todos los pares, con soluciones enteras, del segmento trazado en negro serían máximos.

f(300, 300)= 20 · 300 + 30 · 300 = 15 000 €     Máximo