Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.

 

¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una beneficio máxima?

 

Solución:

 

 1  Elección de las incógnitas

 

{x = \mbox{n\'umero de pantalones}}

 

{y = \mbox{n\'umero de chaquetas}}

 

 2  Función objetivo

 

{f(x,y)= 50x + 40y}

 

 3  Restricciones

 

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

 

pantaloneschaquetasdisponible
algodón1

1,5

750

poliéster2

1

1000

 

{x + 1.5y  \le 750 2x+3y \le 1500}

{2x + y \le 1000}

 

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más:

 

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Hallar el conjunto de soluciones factibles

 

Tenemos que representar gráficamente las restricciones.

 

Al ser {x \ge 0} e {y \ge 0}, trabajaremos en el primer cuadrante.

 

Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

 

Ejercicio de programacion lineal 1 representación gráfica

 

Resolvemos gráficamente la inecuación: {x + 1.5y \le 750}, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el {(0,0)}.

 

{0 + 1.5(0) \le 750}

 

{0 \le 750} entonces el punto {(0,0)} se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad.

 

De modo análogo resolvemos {2x + y \le 1000}.

 

{2(0) + 0 \le 1 000}

 

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

 

 representación gráfica en Ejercicio de programacion lineal

 

 5  Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles.

 

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Estas son las soluciones a los sistemas:

 

{2x + 3y = 1500;  \  \  \ x = 0; \ \ \ \Longrightarrow  \ \ \ (0, 500)}

{2x + y = 1000; \ \ \  y = 0; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (500, 0)}

{2x + 3y =1500; \ \ \  2x + y = 1000; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (375, 250)}

 

Ejercicio de programacion lineal representación gráfica

 

 6  Calcular el valor de la función objetivo

 

En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.

 

{f(x, y) = 50x + 40y}

{f(0, 500) = 50(0) + 40(500) = 20 000}

{f(500, 0) = 50(500) + 40(0) = 25 000}

{f(375, 250) = 50(375) + 40(250) = 28 750} € entonces es un Máximo

 

La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 €.

 

Solución múltiple

 

La solución no siempre es única, también podemos encontrarnos con una solución múltiple.

 

Si la función objetivo del ejercicio anterior hubiese sido:

 

{f(x,y)= 20x + 30y}

{f(0,500) = 20(0) + 30(500) = 15 000} € entonces es un Máximo

{f(500, 0) = 20(500) + 30(0) = 10 000}

{f(375, 250) = 20(375) + 30(250) = 15 000} € entonces es un Máximo

 

En este caso todos los pares, con soluciones enteras, del segmento trazado en negro serían máximos.

 

Ejercicio de programación lineal 4 representación gráfica

 

{f(300, 300)= 20(300) + 30(300) = 15 000} €     Máximo

 

Superprof

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (3 votes, average: 4,67 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

Publicar un comentario

avatar
  Subscribe  
Notify of