Ecuaciones con Matrices

1 Dadas las matrices:

 

A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \hspace{1cm} B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & -5 \end{pmatrix}
 

Resolver la ecuación:

 

A\cdot X = B
 

 

1 Revisamos si matriz A tiene inversa.Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz A 
|A|=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\neq 0
Esto nos dice que la matriz A es invertible.2 Calcular la matriz inversa de A.

 

La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente:

 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

La matriz adjunta en este caso es:

 

A^{*}=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix}
 

Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:

 

(A^{*})^{t}=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}
Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de A es:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}
 

3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

 

Dado que A tiene inversa, entonces podemos multiplicar por A^{-1}, a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:

A^{-1} \cdot(A\cdot X)=A^{-1}\cdot B \Rightarrow (A^{-1} \cdot A)\cdot X=A^{-1}\cdot B
 

\Rightarrow (I)\cdot X=A^{-1}\cdot B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot B
 

Donde I representa la matriz identidad (en este caso de2x2).

 

4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

 

X=A^{-1}\cdot B \Rightarrow X=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & -5 \end{pmatrix}
 

X=\begin{pmatrix} 0 & 17\\ 1 & -11 \end{pmatrix}
 


2 Dadas las matrices:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} B=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\hspace{0.5cm} C=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}
 

Resolver la ecuación:

 

X \cdot A+B=C

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.Primero hay que despejar X en la ecuación, por lo que hacemos: 
X \cdot A+B=C \Rightarrow X \cdot A=C-B \Rightarrow X=(C-B)\cdot A^{-1}
2 Calcular la matriz inversa de A

Primero revisaremos que A sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

 

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\neq 0
 

Esto nos dice que la matriz A es invertible.

 

La matriz inversa de A esta dada por:

 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

 

Tenemos la ecuación:

 

X=(C-B)\cdot A^{-1}
 

Sustituyendo los valores de A^{-1}, B y C tenemos:

 

X=\Bigg(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -3 & 2\\ 4 & -3 \end{pmatrix}
 

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} B=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.5cm} C=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
 

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

1 X\cdot A=B+I

 

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

Primero hay que despejar X de la ecuación, por lo que hacemos:

 

X\cdot A=B+I \Rightarrow X=(B+I)\cdot A^{-1}
 

Donde I denota la matriz identidad (de 2\times 2 en este caso).

 

2 Calcular la matriz inversa de A.

 

Primero revisaremos que A sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

 

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\neq 0
 

Esto nos dice que la matriz A es invertible.

 

La matriz inversa de A esta dada por:

 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

 

Tenemos la ecuación:

 

X=(B+I)\cdot A^{-1}
 

Sustituyendo los valores de A^{-1}, B y I tenemos:

 

X=\Bigg(\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 9 & -2\\ -2 & 1 \end{pmatrix}
 


¿Y si pruebas con nuestras clases particulares de matematicas?

 

2 A\cdot X+B=C

 

 

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

 

Primero hay que despejar X de la ecuación, por lo que hacemos:

 

A\cdot X+B=C \Rightarrow A\cdot X=C-B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot(C-B)
 

2 Calcular la matriz inversa de A.

 

Del ejercicio 1 tenemos que la matriz inversa de A es:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

 

Tenemos la ecuación:

 

X=A^{-1}\cdot(C-B)
 

Sustituyendo los valores de A^{-1}, B y C tenemos:

 

X=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\cdot\Bigg(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}
 

 

3 X\cdot A+B=2\cdot C

 

 

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

 

Primero hay que despejar X de la ecuación, por lo que hacemos:

 

X\cdot A+B=2\cdot C \Rightarrow X\cdot A=2\cdot C-B \Rightarrow X=(2\cdot C-B)\cdot A^{-1}
 

2 Calcular la matriz inversa de A.

 

Del ejercicio 1 tenemos que la matriz inversa de A es:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

 

Tenemos la ecuación:

 

X=A^{-1}\cdot(C-B)
 

Sustituyendo los valores de A^{-1}, B y C tenemos:

 

X=\Bigg(2\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\Bigg(\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 2 & 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 0 & 3\\ 1 & 5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 & -1\\ -3 & 1 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -9 & 3\\ -11 & 4 \end{pmatrix}
 

 

4 A\cdot X+B\cdot X=C

 

 

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

 

Primero hay que despejar X de la ecuación, por lo que hacemos:

 

A\cdot X+B\cdot X=C \Rightarrow (A+B)\cdot X = C \Rightarrow X=(A+B)^{-1}\cdot C
 

2 Calcular la matriz inversa de A+B.

 

Primero tenemos que hacer la suma de las matrices A y B, la cual es:

 

A+B=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 4 & 5 \end{pmatrix}
 

La inversa de una matriz M esta dada por la formula:

 

\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{|M|}\cdot (M^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} M^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |M| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ M^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (M^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Por lo que si hacemos los cálculos obtenemos que la matriz inversa de A+B es:

 

(A+B)^{-1}=\begin{pmatrix} 5/7 & -2/7\\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

 

Tenemos la ecuación:

 

X=(A+B)^{-1}\cdot C
 

Sustituyendo los valores de (A+B)^{-1} y C tenemos:

 

X=\begin{pmatrix} 5/7 & -2/7\\ -4/7 & 3/7 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 3/7 & 4/7\\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}
 

 

5 X\cdot A\cdot B-X\cdot C=2\cdot C

 

 

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

 

Primero hay que despejar X de la ecuación, por lo que hacemos:

 

X\cdot A\cdot B-X\cdot C=2\cdot C \Rightarrow X\cdot(A\cdot B-C)=2\cdot C \Rightarrow X=2\cdot C \cdot (A\cdot B-C)^{-1}
 

2 Encontrar la matriz dada por A\cdot B-C

 

Si sustituimos el los valores de A, B y C y realizamos las operaciones correspondientes tenemos:

 

A\cdot B-C=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}
 

=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 10 & 7 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 9 & 4 \end{pmatrix}
 

3 Encontrar la matriz inversa de A\cdot B-C.

 

Antes de encontrar la matriz inversa, tenemos que verificar que sea invertible. Para esto necesitamos calcular su determinate.

 

|A\cdot B-C|=\begin{vmatrix} 2 & 0\\ 9 & 4 \end{vmatrix}=8\neq 0
 

Lo que nos dice que A\cdot B-C es invertible. Ahora la inversa de una matriz M esta dada por la formula:

 

 

\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{|M|}\cdot (M^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} M^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |M| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ M^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (M^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Por lo que en este caso si hacemos los calculos deberiamos de obtener que:

 

(A\cdot B-C)^{-1}=\begin{pmatrix} 4/8 & 0\\ -9/8 & 2/8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ -9/8 & 1/4 \end{pmatrix}
 

4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:

 

Tenemos la ecuación:

 

X=2\cdot C\cdot(A\cdot B-C)^{-1}
 

Sustituyendo los valores de (A\cdot B-C)^{-1} y C tenemos:

 

X=2\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}\codt\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ -9/8 & 1/4 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 2 & 6 \end{pmatrix}\codt\begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ -9/8 & 1/4 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} -7/2 & 1\\ -23/4 & 3/2 \end{pmatrix}
 

 

Ecuaciones matriciales

 

Dadas las matrices:

 

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \hspace{0.5cm} B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\hspace{0.5cm} C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 

resolver la ecuación:

 

1 A\cdot X+2\cdot B=3\cdot C

 

 

1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.

 

Primero hay que despejar X de la ecuación, por lo que hacemos:

 

A\cdot X+2\cdot B=3\cdot C \Rightarrow A\cdot X=3\cdot C-2\cdot B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot(3\cdot C-2\cdot B)
 

2 Encontrar la matriz inversa de A.

 

Primero revisaremos que A sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

 

|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1\neq 0
 

Esto nos dice que la matriz A es invertible.

 

La matriz inversa de A esta dada por:

 

\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

 

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.

 

Si sustituimos los valores de A^{-1}, B y C en la ecuación y desarrollamos obtenemos:

 

X=A^{-1}\cdot(3\cdot C-2\cdot B)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\Bigg(3\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}-2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\Bigg(\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
 

\RightarrowX=\begin{pmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -5 & 5 & 2 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix}
 

 

Sistemas de ecuaciones con matrices

 

1Resolver; en forma matricial, el sistema:

 

\left\{\begin{matrix} x+y+z & =6\\ x+2y+5z& =12 \\ x+4y+25z & =36 \end{matrix}\right.
 

1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial.Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz: 
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25 \end{pmatrix}
Ahora tomamos las 3 incógnitas (x,\ y,\ z) y formamos el vector columna:

 

V=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}
 

Por ultimo usamos las soluciones de las ecuaciones y las acomodamos en un vector columna de la siguiente manera:

 

S=\begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 36 \end{pmatrix}
 

Por lo que si reescribimos las ecuaciones de forma matricial tenemos:

 

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 36 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow M\cdot V= S
 

\Rightarrow V=M^{-1}\cdot S
 

2 Encontrar la inversa de M.

 

Primero revisaremos que M sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:

 

|M|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 25 \end{vmatrix}=12\neq 0
 

Esto nos dice que la matriz M es invertible.

 

La matriz inversa de M esta dada por:

 

\displaystyle M^{-1}=\frac{1}{|M|}\cdot (M^{*})^t
donde

 

    \begin{align*} M^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |M| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ M^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (M^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}

 

Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:

 

M^{-1}=\begin{pmatrix} 30/12 & -21/12 & 3/12 \\ -20/12 & 24/12 & -4/12 \\ 2/12 & -3/12 & 1/12 \end{pmatrix}
 

3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.

 

Tenemos la ecuación:

 

V=M^{-1}\cdot S
 

Sí sustituimos los valores de V, M^{-1} y S, y desarrollamos la ecuación tenemos:

 

\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 30/12 & -21/12 & 3/12 \\ -20/12 & 24/12 & -4/12 \\ 2/12 & -3/12 & 1/12 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 36 \end{pmatrix}
 

\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}
 

Esto implica que:

 

x=3 \hspace{0.5cm} y=2 \hspace{0.5cm} z=1 \hspace{0.5cm}
 

 

Calculo de Matriz en sistema de ecuaciones

 

1Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

 

\left\{\begin{matrix} 2\cdot A+B=&\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\vspace{0.5cm} \\ A-3\cdot B=&\begin{pmatrix} -4 & -3 & -2\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.
 

Multiplicamos la segunda ecuación por −2 
\left\{\begin{matrix} 2\cdot A+B=&\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\vspace{0.5cm} \\ -2\cdot A+6\cdot B=&\begin{pmatrix} 8 & 6 & 4\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.
Sumamos le sumamos la segunda ecuación a la primera, por lo que tenemos: 
\begin{matrix} 7\cdot B= &\begin{pmatrix} 9 & 8 & 6\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{matrix}
 
\Rightarrow B=& \frac{1}{7}\cdot\begin{pmatrix} 9 & 8 & 6\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{9}{7} & \frac{8}{7} & \frac{6}{7}\vspace{0.2cm}\\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}
 

Ahora tomamos la primera ecuación y despejamos para A, sustituyendo el valor encontrado de B

 

2\cdot A+B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
 

\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot\Bigg(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{9}{7} & \frac{8}{7} & \frac{6}{7}\vspace{0.2cm}\\ 0 & \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}\Bigg)
 

\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot\begin{pmatrix} \frac{-2}{7} & \frac{6}{7} & \frac{8}{7}\vspace{0.2cm}\\ -2 & \frac{6}{7} & \frac{-2}{7} \end{pmatrix}
 

\Rightarrow A=\begin{pmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{3}{7} & \frac{4}{7}\vspace{0.2cm}\\ -1 & \frac{3}{7} & \frac{-1}{7} \end{pmatrix}
 

2Resolver la ecuación:

 

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & x & 1\\ 1 & 1 & x^{2} \end{vmatrix}=0
 

Sin desarrollar los determinantes.

 

Para resolver está ecuación sin hacer el calculo de los determinantes recordemos que el determinante es 0 cuando la matriz no tiene rango completo. Esto es equivalente a que alguna de las filas sea combinación lineal de las otras dos.Denotemos como F_1 a la primera fila, F_2 a la segunda fila y F_3 a la tercera fila. Entonces, el determinante será 0 si se cumple: 
F_1=\alpha\cdot F_2+\beta\cdot F_3
Por lo tanto, con esto podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones: 

\left\{\begin{matrix} \alpha+\beta=1 \\ \alpha\cdot x+\beta=1 \\ \alpha +\beta\cdot x^{2}=1 \end{matrix}\right.
 

Notemos que, aunque es un sistema no lineal, se tienen 3 variables y tres ecuaciones. Entonces es posible que la podamos resolver. Empezamos igualando las primeras dos ecuaciones:

 

\alpha+\beta=\alpha\cdot x+\beta \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \alpha=\alpha\cdot x
 

Aquí hay dos casos, que \alpha = 0 o que \alpha \neq 0. Si \alpha \neq 0, entonces podemos dividir la ecuación por \alpha para tener que x = 1.

 

Supongamos ahora que \alpha = 0, de la primera ecuación se sigue que:

 

1=\alpha+\beta=\beta
 

por lo tanto, \beta = 1. Luego, en la tercera ecuación tenemos:

 

1=\alpha+\beta\cdot x^{2}\Rightarrow 1=x^{2}
 

de donde se sigue que x = \pm 1.

 

Por lo tanto, las soluciones son x=1 y x=-1.

 

3Resolver la ecuación:

 

\begin{vmatrix} a & b & c\\ a & x & c\\ a & b & x^{2} \end{vmatrix}=0
 

Sin desarrollar los determinantes.

 

El determinante de este ejercicio es más complicado que el del ejercicio anterior debido a que tenemos entradas arbitrarias a, b y c.
Sin embargo, si deseamos encontrar todas las soluciones, debemos proceder como en el ejercicio anterior. Primero, denotamos las filas como F_1, F_2 y F_3. Así, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 
\left\{\begin{matrix} \alpha\cdot a+\beta\cdot a=a \hspace{1cm} Primera\ columna\\ \alpha\cdot x+\beta\cdot b=b \hspace{1cm} Segunda\ columna\\ \alpha\cdot c+\beta\cdot x^{2}=c \hspace{1cm} Tercera\ columna \end{matrix}\right.
Observemos que las variables de este sistema de ecuaciones son \alpha, \beta y x. Las letras a, b y c no son variables, por lo que las soluciones deben estar en términos de a, b y c.De nuevo tenemos un sistema no lineal. Aquí empezamos despejando \alpha de la primera ecuación, lo que nos da: 

\alpha\cdot a+\beta\cdot a=a \Rightarrow \alpha+\beta=1 \Rightarrow \alpha=1-\beta
 

en este caso asumimos que a \neq 0 (en el caso de a = 0, cualquier valor de x resuelve la ecuación).

 

Si sustituimos el valor de \alpha en la segunda ecuación y despejamos \beta, obtenemos:

 

\alpha\cdot x+\beta\cdot b=b \Rightarrow (1-\beta)\cdot x+\beta\cdot b=b \Rightarrow (1-\beta)\cdot x=(1-\beta)\cdot b \Rightarrow x=b
 

Con esto ultimo ya resolvemos que una solución es x=b.

 

Ahora, si en lugar de sustituir el valor de \alpha=1-\beta en la segunda ecuación, lo hacemos en la tercera tenemos que:

 

\alpha\cdot c+\beta\cdot x^{2}=c \Rightarrow (1-\beta)\cdot c+\beta\cdot x^{2}=c
 

\Rightarrow \beta\cdot x^{2}=\beta\cdot c \Rightarrow x=\pm\sqrt{c}
 

Por lo que tenemos que las soluciones de son: x=b y x=\pm\sqrt{c}.

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,00/5 - 31 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗