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¡Bienvenidos a la sección de Ejercicios de Ecuaciones Matriciales!
Las ecuaciones matriciales son una herramienta poderosa en álgebra lineal, permitiéndonos expresar y resolver sistemas de ecuaciones de manera eficiente. En esta serie de ejercicios, nos sumergiremos en el mundo de las matrices y exploraremos cómo las ecuaciones matriciales nos ayudan a modelar y resolver problemas en diversas disciplinas.
A lo largo de estos ejercicios, abordaremos la notación matricial, la suma y multiplicación de matrices, y cómo representar sistemas de ecuaciones lineales usando matrices. La capacidad de resolver ecuaciones matriciales es una habilidad esencial con aplicaciones prácticas en diversos campos, desde la ingeniería hasta la física y más allá.
Ecuaciones con Matrices
Dadas las matrices:
Resolver la ecuación:
1 Revisamos si matriz 
tiene inversa. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz
Esto nos dice que la matriz es invertible.
2 Calcular la matriz inversa de .
La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente:
donde
La matriz adjunta en este caso es:
Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:
Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de es:
3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Dado que tiene inversa, entonces podemos multiplicar por 
, a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:
Donde 
representa la matriz identidad (en este caso de
).
4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Dadas las matrices:
Resolver la ecuación:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación. Primero hay que despejar 
en la ecuación, por lo que hacemos: 
2 Calcular la matriz inversa de .Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:
Tenemos la ecuación:
Sustituyendo los valores de , 
y 
tenemos:
Dadas las matrices:
Resolver la ecuación:
1 Revisamos si matriz tiene inversa. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz
Esto nos dice que la matriz es invertible.2 Calcular la matriz inversa de .La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente
donde
La matriz adjunta en este caso es:
Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:
Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de es:
3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Dado que tiene inversa, entonces podemos multiplicar por , a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:
Donde representa la matriz identidad (en este caso de).
4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Dadas las matrices:
Resolver la ecuación:
1 Revisamos si matriz tiene inversa. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz
Esto nos dice que la matriz es invertible.2 Calcular la matriz inversa de .La formula para calcular la matriz inversa es la siguiente:
donde
La matriz adjunta en este caso es:
Mientras que la matriz traspuesta de la adjunta es:
Por lo que la si hacemos el calculo, la matriz inversa de es:
3 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Dado que tiene inversa, entonces podemos multiplicar por , a ambos lados de la ecuación por el "lado izquierdo" de la siguiente manera para obtener:
Donde representa la matriz identidad (en este caso de).
4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Dadas las matrices:
Resolver la ecuación:
1 Revisamos si matriz tiene inversa. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero, por lo que procedemos a calcular el determinante de la matriz
Esto nos dice que la matriz no es invertible, por lo que no existe una solución.
Resuelve las siguientes ecuaciones, conociendo 3 matrices
Calcular el valor de en las siguientes ecuaciones:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
Donde denota la matriz identidad (de 
en este caso).
2 Calcular la matriz inversa de .
Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:
Tenemos la ecuación:
Sustituyendo los valores de , y tenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Calcular la matriz inversa de .
Del ejercicio 
tenemos que la matriz inversa de es:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:
Tenemos la ecuación:
Sustituyendo los valores de , y tenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Calcular la matriz inversa de .
Del ejercicio tenemos que la matriz inversa de es:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:
Tenemos la ecuación:
Sustituyendo los valores de , y tenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Calcular la matriz inversa de 
.
Primero tenemos que hacer la suma de las matrices y , la cual es:
La inversa de una matriz 
esta dada por la formula:
donde
Por lo que si hacemos los cálculos obtenemos que la matriz inversa de es:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:
Tenemos la ecuación:
Sustituyendo los valores de 
y tenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Encontrar la matriz dada por 
Si sustituimos el los valores de , y y realizamos las operaciones correspondientes tenemos:
3 Encontrar la matriz inversa de .
Antes de encontrar la matriz inversa, tenemos que verificar que sea invertible. Para esto necesitamos calcular su determinate.
Lo que nos dice que es invertible. Ahora la inversa de una matriz esta dada por la formula:
donde
Por lo que en este caso si hacemos los cálculos deberíamos de obtener que:
4 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación:
Tenemos la ecuación:
Sustituyendo los valores de 
y tenemos:
Ecuaciones matriciales
Dadas las matrices:
Resolver las ecuaciones:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Encontrar la matriz inversa de .
Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.
Si sustituimos los valores de , y en la ecuación y desarrollamos obtenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.
Si sustituimos los valores de , y en la ecuación y desarrollamos obtenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.
Si sustituimos los valores de , y en la ecuación y desarrollamos obtenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.
Si sustituimos los valores de , y en la ecuación y desarrollamos obtenemos:
1 Usar algebra de matrices para reescribir la ecuación.
Primero hay que despejar de la ecuación, por lo que hacemos:
2 Recordemos que 
. Sustituir los valores obtenidos y resolver la ecuación.
Si sustituimos los valores de 
, 
y 
en la ecuación y desarrollamos obtenemos:
Sistemas de ecuaciones con matrices
Resolver; en forma matricial, el sistema:
1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial.Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz:
Ahora tomamos las 3 incógnitas 
y formamos el vector columna:
Por ultimo usamos las soluciones de las ecuaciones y las acomodamos en un vector columna de la siguiente manera:
Por lo que si reescribimos las ecuaciones de forma matricial tenemos:
2 Encontrar la inversa de .
Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Tenemos la ecuación:
Sí sustituimos los valores de 
, 
y 
, y desarrollamos la ecuación tenemos:
Esto implica que:
Resolver; en forma matricial, el sistema:
1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz:
2 Encontrar la inversa de .Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Tenemos la ecuación:
Esto implica que:
3Resolver; en forma matricial, el sistema:
1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz:
2 Encontrar la inversa de .Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Tenemos la ecuación:
Esto implica que:
Resolver; en forma matricial, el sistema:
1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz:
2 Encontrar la inversa de .Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Tenemos la ecuación:
Esto implica que:
Resolver; en forma matricial, el sistema:
1 Reescribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Con los coeficientes de las ecuaciones podemos formar siguiente matriz:
2 Encontrar la inversa de .Primero revisaremos que sea invertible, por lo que necesitamos calcular el determinante que es:
Esto nos dice que la matriz es invertible.
La matriz inversa de esta dada por:
donde
Por lo que haciendo los cálculos obtenemos:
3 Sustituir los valores encontrados y resolver la ecuación.
Tenemos la ecuación:
Esto implica que:
Calculo de Matriz en sistema de ecuaciones
Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
Multiplicamos la segunda ecuación por 
Sumamos le sumamos la segunda ecuación a la primera, por lo que tenemos:
Ahora tomamos la primera ecuación y despejamos para , sustituyendo el valor encontrado de
Resolver la ecuación:
Sin desarrollar los determinantes.
Para resolver está ecuación sin hacer el calculo de los determinantes recordemos que el determinante es 0 cuando la matriz no tiene rango completo. Esto es equivalente a que alguna de las filas sea combinación lineal de las otras dos.Denotemos como 
a la primera fila, 
a la segunda fila y 
a la tercera fila. Entonces, el determinante será 0 si se cumple: 
Por lo tanto, con esto podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:
Notemos que, aunque es un sistema no lineal, se tienen 3 variables y tres ecuaciones. Entonces es posible que la podamos resolver. Empezamos igualando las primeras dos ecuaciones:
Aquí hay dos casos, que 
o que 
. Si , entonces podemos dividir la ecuación por 
para tener que 
.
Supongamos ahora que , de la primera ecuación se sigue que:
por lo tanto, 
. Luego, en la tercera ecuación tenemos:
e donde se sigue que 
.
Por lo tanto, las soluciones son 
y 
.
Resolver la ecuación:
Sin desarrollar los determinantes.
El determinante de este ejercicio es más complicado que el del ejercicio anterior debido a que tenemos entradas arbitrarias 
, 
y 
.
Sin embargo, si deseamos encontrar todas las soluciones, debemos proceder como en el ejercicio anterior. Primero, denotamos las filas como , y . Así, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
Observemos que las variables de este sistema de ecuaciones son , 
y 
. Las letras , y no son variables, por lo que las soluciones deben estar en términos de , y .De nuevo tenemos un sistema no lineal. Aquí empezamos despejando de la primera ecuación, lo que nos da:
en este caso asumimos que 
(en el caso de 
, cualquier valor de resuelve la ecuación).
Si sustituimos el valor de en la segunda ecuación y despejamos , obtenemos:
Con esto ultimo ya resolvemos que una solución es 
.
Ahora, si en lugar de sustituir el valor de 
en la segunda ecuación, lo hacemos en la tercera tenemos que:
Por lo que tenemos que las soluciones de son: y 
.
Resolver la ecuación:
Sin desarrollar los determinantes.
Como ya ha sido mencionado en los ejercicio anteriores, la determinante es cero si una fila o columna es una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente. Entonces, tenemos que para algunas constantes 
se cumple\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix} 1\\ x\\ 1 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ x^2 \end{bmatrix}.
Que es equivalente al sistema de ecuaciones
Entonces, de la primer ecuación tenemos que 
, por lo que obtenemos
por lo que 
. Si usamos 
, obtenemos
que nos dice que 
.
Resolver la ecuación:
Sin desarrollar los determinantes.
Como ya ha sido mencionado en los ejercicio anteriores, la determinante es cero si una fila o columna es una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente. Entonces, tenemos que para algunas constantes se cumple\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ 2 \end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix} 0\\ x\\ 2 \end{bmatrix} + \beta\begin{bmatrix} 2\\ 2\\ x^2 \end{bmatrix}.
Que es equivalente al sistema de ecuaciones
Entonces, de la primer ecuación tenemos que 
, por lo que obtenemos
por lo que 
cuando 
. Si 
, obtenemos 
.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Muchas gracias , me ayudan mucho con mi examen, solo tenia una duda, en el ejercicio 2 de Sistemas de ecuaciones con matrices, me sale que Y= 8/5, no se en que estoy fallando o creo que se confundieron de símbolo en el elemento de la fila 2 columna 1 de la matriz inversa , debería ser 2/5 y no -2/5.
Hola tienes toda la razón, una disculpa ya se corrigió el error.
Hola, gracias por esto, bien explicado. Por favor, me gustaría también ―pues vengo de las Humanidades― una historia de las matrices. Cómo se inventaron, por quién ; qué necesidad resolvían y no estaba bien cubierta antes. He leído que fueron importantes en aeronáutica. Enhorabuena. ¡Gracias!
Lo tendremos en consideración para nuestro blog 😊 Gracias por tu aporte. Un saludo.
Como resolver 1/2 AB EN MATRICES
2/8x-5y-8z=-10
5/7x-8y+10z=3/9
8x-3y+20z=11
Sean las matrices: M = [[3, – 5, – 2], [5, 2, – 3], [2, 0, 0]] ,N=[n 0 ] 1*2 ^ i cos n ij =[ matrix 2j-3;i= j matrix yR = [[5, 2, 3], [2, – 4, 4], [7, – 7, 3]] .
a) Determina por extensión la matriz N.
b) Calcule N ^ T – 2M*Y_2 – 4R si existe, donde es una matriz identidad de orden 3 * 3 , Calcule MN si existe