Ecuación lineal con n incógnitas:

Cualquier expresión del tipo: a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \cdots + a_nx_n = b, donde a_i, \ b \in \mathbb{R}. Los valores a_i se denominan coeficientes, b término independiente y los valores x_i incógnitas.

 

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación

Ejemplo: Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son solución de ella: (1, -1, 1, -1), (-2, -2, 0, 4).

 

Aquellas ecuaciones que tienen la misma solución se llaman ecuaciones equivalentes.

 

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Vamos

Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

 

 \left \{ \begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{array} \right.

 

  • x_i son las incógnitas, (i = 1,2, \dots, n).
  • a_{ij} son los coeficientes, (i = 1,2, \dots,m) \ (j = 1,2, \dots,n).
  • b_i son los términos independientes, (i = 1,2, \dots, m).
  • m, n \in \mathbb{N}; \ m > n \ \mbox{ó} \ m = n \ \mbox{ó} \ m < n.
  • Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
  • a_{ij} y b_i \in \mathbb{N}.
  • Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, \dots
  • Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.
  • Solución de un sistema es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

 

Clasificación de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar de diferentes maneras:

Atendiendo al número de sus soluciones

 

  • Incompatible: no tiene solución.
  • Compatible: tiene solución.
  • Compatible determinado: solución única.
  • Compatible indeterminado: infinitas soluciones.

 

Atendiendo al número de sus ecuaciones

Sistemas escalonados

Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

 

Sistemas equivalentes

Son aquellos que tienen la misma solución , aunque tengan distinto número de ecuaciones. Obtenemos sistemas equivalentes por:

 

Eliminación de ecuaciones dependientes

  • Todos los coeficientes son ceros.
  • Dos filas son iguales.
  • Una fila es proporcional a otra.
  • Una fila es combinación lineal de otras.

 

Transformaciones

Se pueden realizar las siguientes transformaciones:

  • Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
  • Cambiar el orden de las incógnitas en la ecuación .
  • Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
  • Sustituir una ecuación del sistema por una combinación lineal de ella y de las restantes siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero.

 

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

 

\left ( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & c_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} & c_n \end{array} \right ) \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left ( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \cdots & a_{1n} & c_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \overline{a}_{mn} & \overline{c}_n \end{array} \right )

 

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Pasos a seguir:

1 Leer y comprender el enunciado.
2 Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol...
3 Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.
4 Plantear y resolver el sistema.
5 Comprobar la solución.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗