Sistemas de ecuaciones I

Sistema de ecuaciones

Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .....................+a_1nx_n = b₁

a_21x1 + a₂₂x₂ + .....................+a_2nx_n = b₂

...............................................................

a_m1x₁ + a_m2x₂ + .....................+a_mnx_n = b_m

• x_i son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).
• a_ij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).
• b_i son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).
• m, n ∈ ℕ; m > n, ón , m = n, ón , m < n.
• Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.
• a_ij y b _i ∈ ℕ.
• Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...
• Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

solución de un sistema: Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Clasificación de sistemas

Atendiendo al número de sus soluciones:

• Incompatible: no tiene solución.
• Compatible: tiene solución.
• Compatible determinado: solución única.
• Compatible indeterminado: infinitas soluciones.

Sistemas escalonados:

Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

Sistemas equivalentes

Son aquellos que tienen la misma solución , aunque tengan distinto número de ecuaciones. Obtenemos sistemas equivalentes por:

eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

• Todos los coeficientes son ceros.
• Dos filas son iguales.
• Una fila es proporcional a otra.
• Una fila es combinación lineal de otras.

Transformaciones:

Se pueden realizar las siguientes transformaciones:

• Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema.
• Cambiar el orden de las incógnitas en la ecuación .
• Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.
• Sustituir una ecuación del sistema por una combinación lineal de ella y de las restantes siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero.

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Pasos a seguir:

Leer y comprender el enunciado.

Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol...

Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.

Plantear y resolver el sistema.

Comprobar la solución.