Límite de una sucesión

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 1

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

El límite es 0.

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 2

a1= 0.5

a2= 0.6666....

a1000= 0.999000999001

a1000 000 = 0.999999000001

El límite es 1.

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 3

a1= 5

a2= 7

a1000= 2 003

a1000 000 = 2 000 003

Ningún número sería el límite de esta sucesión, el límite es .

 

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término ak, a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an−L| < ε.

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 4

 

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 5

Límite de una función

El límite de la función f(x) en el punto x0,
es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a
x0
.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
... ...
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
... ...
2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 6

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 7

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 8 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio Explicaciones y ejemplos de concepto de límite - 9 , existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).